數形結合討論二次方程的符號和范圍

龍袁媛

【摘 要】用數形結合的方法討論一元二次方程的根的問題

【關鍵詞】根分布；△；根與系數的關系

一元二次方程的根分布問題，表面是方程問題，實質上往往是二次函數的圖像、性質、解不等式的綜合問題。求解時既要注意求根公式、根與系數的關系、判別式等的應用，更要注意數形結合。一般要考慮的內容有：開口方向、對稱軸位置、判別式△、區間端點的函數值符號等。

下面通過實際例子來說明這一點：

例1 如果方程 x2+（k+2）x+k+5=0 ，有兩個不相等的正根，求k的范圍。

解：設f（x）=x2+（k+2）x+k+5

∵ a>0 拋物線開口向上

如圖1

又∵ 方程有兩個不等的正根

∴△> 0f（0）>0 ？陴 -50

∴ 當-5

例2 當 a 為何實數時，方程 （a2-1）x2-6（3a-1）x+72=0有一個正數根，一個負數根。

解：設f（x）=（a2-1）x2-6（3a-1）x+72

由題設可知a≠±1

討論： 1、當a2-1>0時，拋物線開口向上（圖2）

∵方程有一個正數根，一個負數根

∴a2-1>0f（0）<0 ？陴 a<-1 或a>172<0

無解

2、當a2-1<0 時，拋物線開口向下（圖3）

∵方程有一個正數根，一個負數根

∴a2-1>0f（0）<0 ？陴 -10

-1

∴ 當-1

例3 若方程7x2-（k+13）x+k2-k-2=0 有兩實根x1和x2，且滿足0< x1<1< x2<2，求實數k的取值范圍。

解：設f（x）=7x2-（k+13）x+k2-k-2

∵ a=7>0 ∴拋物線開口向上（圖4）

又∵ 0

∴f（0）>0f（1）<0f（2）>0 ？陴 k<-1或k>2-23或k<3

k∈（-2，-1）∪（3，4）

∴當k∈（-2，-1）∪（3，4）時，方程有兩實根x1和x2，且滿足0

以上三例說明，用數形結合的觀點去解決上述這類問題，能把知識融會貫通，又能開闊解題思路，提高解題能力，使許多抽象的概念更加形象化、直觀化，從中找出它的規律。利用數形結合的基本思路和方法，把所學的知識有機的結合起來，為今后進一步學習數學奠定基礎。