田忌賽馬與一次性博弈

丁立新

田忌賽馬可以通過博弈論來解讀，具體案例如下：

“齊使者如粱，孫臏以刑徒陰見，說齊使。齊使以為奇，竊載與之齊。齊將田忌善而客待之。忌數與齊諸公子馳逐重射。孫子見其馬足不甚相遠，馬有上、中、下輩。于是孫臏謂田忌日：“君弟重射，臣能令君勝。”田忌信然之，與王及諸公子逐射千金。及臨質，孫臏日：“今以君之下駟與彼上駟，取君上駟與彼中駟，取君中駟與彼下駟。”既馳三輩畢，而田忌一不勝而再勝，卒得王千金。于是忌進孫臏于威王。威王問兵法，遂以為師。” 出自《史記》卷六十五：《孫子吳起列傳第五》

田忌的與齊威王賽馬，田忌的馬分上中下三等，齊威王的馬也分上中下三等，比賽時齊威王的上等馬對田忌的上等馬，齊威王的中等馬對，齊威王的下等馬對田忌的下等馬，結局是3比O負。如果齊威王的最差的馬也比田忌最好的馬跑得快，那么比賽毫無懸念，這里有一個信息就是，田忌的上等馬比齊威王的中等馬強，田忌的中等馬齊威王的下等馬強。如果知道了這個信息就有可能進行新的組合。勝者用1表示，負者用0表示。

第一次賽馬用圖示表示如下（組合1）：

齊威王

田忌

結局（田忌）

上等馬——上等馬

O

中等馬——中等馬

O

下等馬——下等馬

O

第二次賽馬用圖表示如下（組合2）：

齊威王

田忌

結局（田忌）

上等馬——下等馬

O

中等馬——上等馬

1

下等馬——中等馬

1

我們把所有的組合羅列如下：

從田忌的角度，齊威王出上等馬的時候，田忌的對應有3種，分別可以出上等馬、中等馬和下等馬，田忌獲勝的可能是0.

如果齊威王出中等馬的時候，田忌的對應有3種，分別可以出上等馬、中等馬和下等馬，田忌獲勝的可能是1次或者說是三分之一，前提是由田忌的上等馬應對。

如果齊威王出下等馬的時候，田忌的對應有3種，分別可以出上等馬、中等馬和下等馬，田忌獲勝的可能是2次，或者說是三分之二，前提是田忌的上等馬對應齊威王的下等馬或田忌的中等馬對應齊威王的下等馬。

以上的第二次賽馬對田忌來說是最佳組合，還可以有羅列以下幾種組合：

組合3：

齊威王

田忌

結局（田忌）

上等馬——上等馬

O

中等馬——下等馬

O

下等馬——一中等馬

1

組合4：

齊威王

田忌

結局（田忌）

上等馬——下等馬

O

中等馬——中等馬

O

下等馬——上等馬

1

組合5：

齊威王

田忌

結局（田忌）

上等馬——中等馬

O

中等馬——上等馬

1

下等馬——下等馬

O

從田忌賽馬的博弈中我們可以得到的啟示是，即使自己沒有優勢的資源，只要有相對的優勢仍然可以取勝。一個人是這樣，一個企業是這樣，一個國家也可以是這樣。反過來，即使有絕對的優勢如果措施不當也可能失敗。

中國的乒乓球比賽，從前發生過一些讓球事件，目的是讓最強的選手（相對于外國選手）來對付外國的選手，如果在半決賽時都是中國選手，那么就可以人為確定哪一個勝出，并不是通過比賽結果確定，也就是有一個人必須輸，那么，勝出的人對外國選手勝出的幾率增大。

進一步論述，假設有A、B兩個中國選手進入半決賽，外國的選手為C已經確定。A與B比賽的歷史記錄是A失敗的幾率大，但是A與C的比賽歷史記錄獲勝的幾率大而B獲勝的歷史記錄幾率小。

如果比較A與B

B>A

如果A、B、C三者比較

A>C

B

在這種情況下，如果事先讓球的話，勝率明顯增大，是一個理想選擇。這是從球隊的整體利益或國家的整體利益看的。但是對于讓球者就失去了機會，雖然他獲勝的幾率小，但是并不是沒有，這也有悖于體育精神。如果從純粹的理論來看，讓球者如果能分享最終的比賽成果可能會公平一些。在體育比賽中適當的使用博弈的方法并無不可。

在軍事上集中優勢兵力有的也可以歸為博弈。明末明朝的軍隊遠遠地大于清的兵力，明分五路進攻清，清則集中兵力對應明的一路大軍，最后清沒有失敗。

從田忌賽馬的案例中會給我們很多啟示，但是，這個案例是不能重復的，非重復博弈，也就是說只能用一次。從案例中，田忌知道齊威王每次出什么馬，也就是說對于田忌信息是對稱的，對于齊威王來講信息就不是對稱的了，也就是說每次比賽齊威王知道自己出什么馬卻不知道田忌出什么馬。田忌可以根據齊威王的出馬情況決定自己出什么馬，比賽的規則明顯對田忌有利。

如果改變規則，由田忌先出馬，如果齊威王也了解田忌馬的等級，那么田忌必輸無疑。從利益最大化的角度看，齊威王肯定要求田忌先出馬。如果彼此雙方都不了解對方馬的等級，隨機出馬，比賽的結果只能服從概率分布了。在體育比賽、戰爭及商業，了解信息是十分必要的，可以改變自己的不利地位。

目前也仍然有賽馬，規則不是用田忌賽馬時的規則了，每方出一匹馬，跑在前面即獲勝。田忌賽馬作為一次性博弈不能重復，但是也不能說這樣的博弈沒有意義。畢竟是孫臏發現了制度（游戲規則）的漏洞取得了比賽的勝利。從另一個角度看，對制度也是一個完善的過程。戰爭與企業的經營亦然。軍事家就是發現敵人的漏洞而采取對策。企業家發現市場的缺陷而采取行動。很多成功是不能復制和重復的，這就是一次性博弈的魅力。