斜齒輪齒面接觸線計算及齒根彎曲強度有限元分析

孫智金，喬穎敏

（陜西法士特齒輪有限責任公司，陜西 西安 710119）

引言

齒輪傳動過程中同時參與嚙合的輪齒對數在不斷變化，在輪齒交替嚙合時，輪齒彈性變形引起的剛度改變使齒輪產生振動和噪聲。而齒輪的嚙合剛度也是隨著齒輪嚙合而變化，齒輪接觸載荷線的位置和長度的改變直接影響齒輪的嚙合剛度，進而對輪齒的接觸強度產生影響。

接觸線的位置隨著齒輪的重合度而變化，馮守衛等人改進了斜齒輪接觸線長度的計算公式，并總結了接觸線長度隨εα和εβ的變化規律及嚙合過程的動態統計規律。張國鋒對直齒輪的接觸分析及嚙合剛度進行了計算，并采用有限元法建立直齒輪副接觸模型進行防治分析，計算了齒輪副接觸應力，但沒有研究接觸線對齒輪彎曲應力的影響。張亮等人對斜齒輪嚙合線位置及長度進行了數值仿真，計算了嚙合線長度總和，并討論了螺旋角對斜齒輪的嚙合線長度總和的影響。

基于國內學者們目前對斜齒輪嚙合線的分析，本文將另辟蹊徑，利用有限元仿真方法和ISO 6336齒輪標準的經驗公式兩種方法對斜齒輪齒根彎曲強度進行計算，兩種計算方法互相驗證，能夠得到更令人信服的齒根彎曲應力值，給齒輪的斷齒分析和齒輪強度分析提供有力的理論依據。

1 斜齒輪嚙合線計算

1.1 齒輪參數及重合度計算

根據端面嚙合線的幾何關系，記R0為齒頂圓半徑，Rb為基圓半徑，Cr為中心距，可以得到如下關系式：

pb為徑節，其值為：

n1為小齒輪齒數。

則齒輪副的端面重合度為：

軸向重合度為：

其中：齒寬b為50.7mm，螺旋角為25度，法向模數3.86.

則齒輪嚙合總重合度為3.4437。

根據嚙合總重合度，可以得知齒輪嚙合過程中嚙合線的變化情況，齒輪嚙合總重合度介于3和4之間，則在一個輪齒嚙合周期內參與嚙合的輪齒對數有3齒和4齒兩種情況。

圖1 端面嚙合線

1.2 主動輪齒面載荷線

對于主動輪，嚙合線從齒根向齒頂方向移動，對于被動輪，則嚙合線從齒頂向齒根方向移動。

根據公式

可以得出。

可以得出

從而可以畫出齒輪的載荷線如下圖所示。

對主動輪單個齒面的嚙合線進行分析，從左下角M處進入嚙合，隨著齒輪轉動，嚙合線逐漸往右上方移動，處于 4齒同時嚙合狀態，當嚙合線移動到a線處，由4齒嚙合進入3齒嚙合，然后4齒，3齒，4齒，3齒，最后接近齒頂位置時是4齒嚙合狀態，然后從N點退出嚙合。

從整體來看，從4齒進入3齒嚙合狀態的分界線為a,c,e，從3齒進入4齒嚙合狀態的分界線是b,d,f。

為了校核齒輪強度，選擇齒輪嚙合最惡劣的工況，齒輪載荷線臂長越長，則齒根處承受的彎矩越大，應力也越大。因此選擇齒輪嚙合退出3齒即將進入4齒嚙合的時刻，即嚙合載荷線為b,d,f。最先進入嚙合的齒面載荷線位于f處，中間齒面的載荷線位于d處，第3齒面的載荷線位于b處。

圖2 主動輪嚙合區載荷線

根據幾何關系，可以得出各載荷線的位置,各載荷線與齒輪軸線的夾角為βb。

b線：

齒面前端面與載荷線交點處半徑為：

齒寬位置：

d線：

齒面后端面與載荷線交點處半徑為：

齒寬位置：

f線：

齒面后端面與載荷線交點處半徑為：

齒寬位置：

1.3 被動輪齒面載荷線

對被動輪單個齒面的嚙合線進行分析，從左上角N處進入嚙合，隨著齒輪轉動，嚙合線逐漸往右下方移動，處于 4齒同時嚙合狀態，當嚙合線移動到f線處，由4齒嚙合進入3齒嚙合，然后4齒，3齒，4齒，3齒，最后接近齒根位置時是4齒嚙合狀態，然后從齒根M點退出嚙合。

從整體來看，從4齒進入3齒嚙合 狀態的分界線為f,d,b，從3齒進入4齒嚙合狀態的分界線是e,c,a。

圖3 被動輪嚙合區載荷線

為了校核齒輪強度，選擇齒輪嚙合最惡劣的工況，齒輪載荷線臂長越長，則齒根處承受的彎矩越大，應力也越大。因此選擇齒輪嚙合退出4齒剛剛進入3齒嚙合的時刻，即嚙合載荷線為f,d,b。最先進入嚙合的齒面載荷線位于b處，中間齒面的載荷線位于d處，第3齒面的載荷線位于f處。

b線：

齒面后端面與載荷線交點處半徑為：

齒寬位置：

d線：

齒面前端面與載荷線交點處半徑為：

齒寬位置：

f線：

齒面前端面與載荷線交點處半徑為：

齒寬位置：

2 有限元分析

2.1 有限元模型

齒輪所用材料抗拉強度為 766MPa，使用第四強度理論的MISES應力進行強度校核。

使用ANSA進行有限元前處理，完成網格模型和分析模型的建立。通過 ABAQUS求解進行分析計算和后處理，計算中物理量采用T-mm-s單位制。

對齒輪的嚙合力進行計算。變速器額定輸入扭矩為2400Nm，采用三倍靜扭扭矩，則一軸分速齒輪扭矩為：

從而可以計算出齒輪嚙合力（分度圓處）：

主動輪有限元模型：

1）將齒輪花鍵表面約束所有自由度，以消除剛體位移。

2）將齒輪內孔耦合于中心處，保留軸向扭轉自由度，約束其他自由度。

3）將齒面載荷線處施加齒輪嚙合力，以模擬被動輪對其齒面的嚙合力。

被動輪有限元模型：

1）將齒輪內孔耦合于中心處，約束其所有自由度以消除剛體位移。

2）將齒面載荷線處施加齒輪嚙合力，以模擬主動輪對其齒面的嚙合力。

有限元模型如下圖所示：

圖4 齒輪有限元模型

完成有限元模型后，提交ABAQUS進行計算。

根據有限元分析結果，主動輪齒根處最大應力出現在中間嚙合齒面的齒根處，最大應力值 650MPa。被動輪齒根最大應力出現在中間嚙合齒面的齒根處，最大應力 560MPa，均低于材料抗拉強度766MPa，安全系數分別為1.18和1.37。

圖5 主動輪及被動輪齒根應力云圖

2.2 計算結果分析

齒根受脈沖循環載荷，為彎曲變形，根據ISO 6336標準，

齒根彎曲應力基本值計算公式為：

其中，Ft：端面內分度圓上的名義切向力，N；b：工作齒寬，mm；

mn：法向模數，mm；

YF：齒形系數，由式確定；

YS：應力修正系數，由確定；

Yβ：螺旋角系數。

YB：齒圈厚度系數；

YDT：深齒系數，對于齒輪精度大于4的齒輪，此系數為1。

上面公式未考慮齒輪副重合度的影響，引入重合度系數。

則本文中所計算的齒輪齒根彎曲強度的計算式為：

將具體數值帶入公式可得到主動輪的齒根應力計算值為：

被動輪的齒根應力計算值為：

與前面有限元計算結果相比，主動輪的有限元計算齒根應力最大值為 650MPa，與根據公式計算出的 640MPa誤差為1.56%。被動輪的有限元計算齒根應力最大值為560MPa，與根據公式計算出的558MPa誤差為0.36%。

3 結論

本文主要探討斜齒輪齒面接觸線的復雜情況，以某型號變速器的某對齒輪為例，計算了該齒輪副一個輪齒嚙合周期內的接觸線分布情況，該齒輪副重合度介于3和4之間，因此在一個嚙合周期內同時參與嚙合輪齒有3齒和4齒兩種情況。

為了計算出有限元仿真分析時齒面加載線的位置，將斜齒輪嚙合接觸線發生面上的接觸線向齒面投影，得到最惡劣嚙合時刻時接觸線在齒面上的位置，然后進行了有限元分析。同時用 ISO 6336齒輪標準中齒輪齒根彎曲強度的經驗公式進行計算了主動輪和被動輪的齒根彎曲應力。兩種方法得到的齒根彎曲應力進行對比后發現數值基本接近，驗證了本文計算的正確性，為以后進行斜齒輪接觸線的分布對齒輪副嚙合剛度的影響及傳動平穩性分析提供了有力的理論支持。

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