關(guān)注解析幾何解題中所設(shè)的隱患

鮑人燈

(浙江省天臺(tái)育青中學(xué) 317200)

在數(shù)學(xué)解題中，根據(jù)題目條件和解題需要，常需做出所設(shè).但由于對(duì)題目理解不透，使所設(shè)含有隱患，從而致解題不當(dāng)以致錯(cuò)誤.下面是解析幾何解題中的關(guān)注點(diǎn).

一、注意所設(shè)的全面性

在數(shù)學(xué)解題時(shí)，要對(duì)基本知識(shí)、基本概念理解透徹，對(duì)定理、公式的運(yùn)用條件要清楚，注意所設(shè)的全面性，這是正確解題的基本條件.

例1 求過點(diǎn)A(0，2)且與拋物線y2=2x有唯一公共點(diǎn)的直線方程.

錯(cuò)解設(shè)過點(diǎn)A(0，2)的直線的斜率為k,則所求直線方程為y=kx+2.

k2x2+(4k-2)x+4=0.

①

剖析上述解法有兩處不當(dāng).(1)設(shè)直線的斜率為k,默認(rèn)了直線存在斜率.實(shí)際上，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，該直線的方程是x=0(y軸)，該直線與拋物線相切于原點(diǎn)，也只有一個(gè)公共點(diǎn).(2)上述化得的方程①不一定是關(guān)于x的一元二次方程，當(dāng)k=0時(shí)，不能用判別式法求解.但此時(shí)的直線方程是y=2.顯然該直線過點(diǎn)A(0，2)，且與x軸平行，與拋物線y2=2x相交于一個(gè)點(diǎn)，符合題意.

二、注意所設(shè)的等價(jià)性

解答數(shù)學(xué)題的過程，就是一個(gè)不斷化歸轉(zhuǎn)化的過程.通過轉(zhuǎn)化將不熟悉的轉(zhuǎn)化為熟悉的；用熟知的知識(shí)方法來解決問題，但應(yīng)注意轉(zhuǎn)化的等價(jià)性.

錯(cuò)解可知所求直線必與雙曲線相切.

當(dāng)切線斜率k存在時(shí)，設(shè)切線是y=k(x-2)+2,代入雙曲線方程，化得

(1-4k2)x2+16k(k-1)x-16(k-1)2-4=0

②.

綜上所述，滿足條件的直線有兩條：5x-8y+6=0和x=2.

綜上，符合題意的直線有四條，分別是x=2,5x-8y+6=0,x-2y+2=0,x+2y-6=0.

三、注意所設(shè)的準(zhǔn)確性

數(shù)學(xué)解題中，要注意知識(shí)的準(zhǔn)確性，正確把握有關(guān)的概念、性質(zhì)、定理，這是正確做出所設(shè)的保證.

剖析該解法將橢圓參數(shù)方程x=acosθ,y=bsinθ中點(diǎn)P的離心角θ錯(cuò)當(dāng)成是直線OP的傾斜角，得出點(diǎn)Q的坐標(biāo)是錯(cuò)誤的，誤點(diǎn)是混淆了離心角與傾斜角兩個(gè)不同的概念.正確解答如下：

四、注意所設(shè)的合理性

在解題中，要準(zhǔn)確認(rèn)識(shí)題目條件，注重所做假設(shè)的合理性，這樣才能確保推理運(yùn)算準(zhǔn)確無誤.

例4 求圓x2+y2=r2上點(diǎn)M(x1,y1)處的切線方程.

剖析上述解法，只適用于點(diǎn)M不在坐標(biāo)軸上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)M在y軸上時(shí)，x1=0,y1=±r，切線方程是y=±r,當(dāng)點(diǎn)M在x軸上時(shí)，x1=±r,y1=0,切線方程是x=±r.

把這兩種情況補(bǔ)充到原錯(cuò)解過程中，解法就合理而全面了.當(dāng)然了，最終所求的切線方程可統(tǒng)一寫成x1x+y1y=r2.

五、注意所設(shè)的存在性

對(duì)于個(gè)別題目，若不注意方法的運(yùn)用前提，忽略了檢驗(yàn)結(jié)果的存在性，也可能出錯(cuò).

例5 是否存在過拋物線y2-2x+1=0和x2+4x-2y+4=0的交點(diǎn)的圓？若存在，求出圓的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.

錯(cuò)解設(shè)經(jīng)過兩條拋物線交點(diǎn)的圓的方程是

(y2-2x+1)+λ(x2+4x-2y+4)=0,

整理得λx2+y2-2(1-2λ)x-2λy+4λ+1=0.

由圓方程的特征可知，只有λ=1時(shí)，上述方程才表示圓.把λ=1代入，得到所求圓的方程是

x2+y2-2x-2y+5=0.

剖析將上述所求的方程配方，得(x+1)2+(y-1)2=-3,可見這個(gè)圓是不存在的.實(shí)際上用f(x,y)+λg(x,y)=0求解經(jīng)過兩條曲線交點(diǎn)的問題，前提是兩條曲線應(yīng)相交，而本題中的兩條拋物線并不相交，因此所求的圓的方程并不存在.

綜上所述，解答數(shù)學(xué)題時(shí)常常需要一“設(shè)”.但要特別注意所設(shè)的科學(xué)性、嚴(yán)謹(jǐn)性、可靠性，解題后要回顧或檢驗(yàn)，避免因誤設(shè)而導(dǎo)致的錯(cuò)誤.

參考文獻(xiàn)：

[1]李雪哲.淺談走出解題因“設(shè)”而錯(cuò)的誤區(qū)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2006(8).

[2]龔兵，李培鋒.慎用橢圓參數(shù)方程解題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2010(8).