例談不同視角下的三角函數(shù)計算中學(xué)生運(yùn)算素養(yǎng)的培養(yǎng)

（陜西省禮泉縣第一中學(xué) 陜西咸陽 713200）

高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)主要是指：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析這六個方面。其中數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)關(guān)乎學(xué)生成績的高低，高考數(shù)學(xué)《考試說明》對運(yùn)算能力也有明確的要求：會根據(jù)法則、公式進(jìn)行正確運(yùn)算、變形和數(shù)據(jù)處理，能根據(jù)問題的條件和目標(biāo)，尋找與設(shè)計合理、簡潔的運(yùn)算途徑，能根據(jù)要求對數(shù)據(jù)進(jìn)行估計和近似計算。

三角函數(shù)屬于高中數(shù)學(xué)主干知識，在高考試題中難度屬于中低檔，但是學(xué)生在這部分的得分情況并不盡人意，往往是會而不對、對而不全，實(shí)質(zhì)上學(xué)生只要真正掌握本章的知識，是可以拿全分的。同一個三角函數(shù)問題，學(xué)生思考的角度不同、維度不同，其涉及的運(yùn)算量是有差距的，合理地選擇運(yùn)算途徑，可以有效減少運(yùn)算量，從而提高運(yùn)算能力。但是簡潔的運(yùn)算是建立在學(xué)生有扎實(shí)的知識儲備，深刻靈活的思維基礎(chǔ)上的，由于現(xiàn)階段的高考不再是知識立意而是能力立意、素養(yǎng)立意，因而學(xué)生要適應(yīng)當(dāng)前高考對計算能力層次的考查，必須提升運(yùn)算素養(yǎng)。那么在教學(xué)中基于“運(yùn)算”視角下的三角函數(shù)教學(xué)觀，我們可以關(guān)注以下幾個方面：

一、掌握三角函數(shù)概念，完善知識體系

有學(xué)者說學(xué)數(shù)學(xué)就是學(xué)概念，概念是思維的細(xì)胞，要會根據(jù)概念的不同表征，深刻理解概念，對概念的理解會隨著知識的深化、完善而不斷發(fā)展變化，這是一個循序漸進(jìn)的過程，同時要注意定義在不同的題型中靈活應(yīng)用。在理解時要善于發(fā)現(xiàn)知識點(diǎn)之間的聯(lián)系和規(guī)律，學(xué)會知識信息的轉(zhuǎn)換，積極開展類比、聯(lián)想以完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，使學(xué)生系統(tǒng)、全面地理解知識，從中歸納出最簡捷的解題方法。

例1：已知，則tanα=_______.

學(xué)生易想到的解法如解法1：（構(gòu)造齊次式）

解法2：（方程思想）

解法3：（輔助角公式）

求解本題時，很少有學(xué)生能想到定義也是可以完成的，說明學(xué)生對定義的認(rèn)知有局限性，往往忽視定義在計算中的作用。

解法4：（定義法）

二、立足函數(shù)性質(zhì)，凸顯三角特性

三角函數(shù)作為學(xué)生高考的主要得分區(qū)域之一，無論試題如何變化，高考的重心仍會在性質(zhì)方面，一般考查三角函數(shù)定義域與值域、單調(diào)性、周期性、奇偶性與對稱性等，若靈活運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)，可有效減少運(yùn)算量。

例2：已知f(x)=為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a,b滿足的關(guān)系是_______.

以上解法1根據(jù)偶函數(shù)定義，思維量小，計算量大，解法2利用偶函數(shù)的必要性，解法3抓住奇偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)，解法4抓住三角函數(shù)的性質(zhì)，也使問題迎刃而解。

三、挖掘運(yùn)算的多樣性，提升學(xué)生的思維品質(zhì)

數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的表現(xiàn)有以下五個方面：敏捷性、靈活性、深刻性、獨(dú)創(chuàng)性、批判性。學(xué)生的運(yùn)算能力與思維品質(zhì)密不可分，思維品質(zhì)決定計算的方向、途徑、及改變障礙思維的能力，在本章中經(jīng)常涉及三角恒等變形、最值的運(yùn)算，學(xué)生會根據(jù)自己的認(rèn)知能力有不同的運(yùn)算途徑，要在對比中逐步完善學(xué)生思維品質(zhì)。

例2：設(shè)當(dāng)時，取得最大值，則cosθ=_______.

在以上的解法中，體現(xiàn)出學(xué)生不同的思維層次，其中解法1、2常規(guī)，大部分學(xué)生只想到輔助角公式，再通過角的變換或用方程求解，顯然解法3、4獨(dú)辟蹊徑，充分結(jié)合柯西不等式、導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最值的方法，可見對同一個問題思維的發(fā)力點(diǎn)不同，直接決定解題的簡潔程度，因而在教學(xué)提升學(xué)生的思維品質(zhì)顯得尤為重要。

四、抓住知識間縱橫聯(lián)系，培養(yǎng)創(chuàng)新意識

運(yùn)算是思維的載體，運(yùn)算能力體現(xiàn)學(xué)生思維能力，向量與三角函數(shù)密不可分，如上例中，構(gòu)造函數(shù)f(x)為兩個向量的數(shù)量積，使問題的解決別開生面，所以在教學(xué)中要善于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維，培養(yǎng)創(chuàng)新意識。

五、增強(qiáng)學(xué)習(xí)信心，培養(yǎng)學(xué)生的意志力

G.波利亞認(rèn)為，解題是一種信心和意志力的教育。縱觀歷年高考題，三角函數(shù)的考查都難度不大，所以教師在高一講授新課、高三復(fù)習(xí)本章時，都要給學(xué)生極大的信心支持，即使有創(chuàng)新題目，也要排除膽怯心理，大膽應(yīng)對，只要審題認(rèn)真、細(xì)心計算，均可將這一部分的分?jǐn)?shù)囊括手中。當(dāng)然自信心的培養(yǎng)需要一個過程，并且和學(xué)生運(yùn)算能力的逐漸提高緊密相連的。但是教師也要有意識的破除學(xué)生的畏難心理暗示，提高運(yùn)算的自信心。

學(xué)生運(yùn)算素養(yǎng)的培養(yǎng)是一個系統(tǒng)過程，往往我們教師只注重對問題思路、方法的點(diǎn)撥，忽視了對問題完整的解答過程，豈不知一個完整、完備的思維過程也應(yīng)包含計算過程，因而運(yùn)算素養(yǎng)的培養(yǎng)必須建立在運(yùn)算能力的基礎(chǔ)之上，教師只有從基于“運(yùn)算”的課堂抓起，在學(xué)生其他素養(yǎng)的綜合運(yùn)用下優(yōu)化運(yùn)算，從而提升運(yùn)算素養(yǎng)。