利用充分必要法求參數的取值范圍再探究

福建省漳州實驗中學 許毅翔

一、研究背景

在參考文獻[1]中的作者對充分必要法求參數的取值范圍做了比較全面系統的分析，利用高考試題以及自編例題總結了此類問題的通式通法，讀完覺得受益匪淺，對此也進行了深入的思考，近日，我在高中的數學教學中也出現了類似的問題，所以我在此再做一下探究。

2010年全國卷理科數學，2011年全國卷Ⅰ理科數學的壓軸題，這是在參考文獻[1]中探究的例題，近幾年的各地高考試卷當中也有不少壓軸題都是要求參數的取值范圍，2016年省質檢理科數學第21題也是此類問題，求參數的取值范圍可以用分離參數、分類討論、放縮等方法，各種方法都有利有弊，比如用分離參數法時會出現用高中知識不能得出答案（需要高數求極限的知識，如洛必達法則），分類討論有時又會過于麻煩，所以用充分必要法來進行求解，對于函數中求解參數范圍問題起著重要的作用。

二、方法對比與分析

例1 （2010全國理科21）設函數f(x)=ex-1-x-ax2。

（1）若a=0,求f(x)的單調區間;

（2）若當x≥0時f(x)≥0，求a的取值范圍。

解：（1）f(x)=ex-x-1，令

則x＞0，即f(x)的單調遞增區間是（0，+∞），f(x)的單調遞減區間是（0，-∞）。

分析：（2）如果立足學生的角度，對這個函數進行分析：

總結：解題之前要先對函數進行分析，考題的設計一般都是恰到好處，利用充分必要法解題比較容易找到解題的突破口，可以避開復雜的討論，確實是一種基本的、有效的方法。

三、好方法百試不厭

例2 （2016年福建省質檢理科數學第21題）已知函數f(x)=ax-ln(x+1)，g(x)=ex-x-1，曲線y=f(x)與y=g(x)在原點處的切線相同。

不符合題意，舍去。

點評：在本題的解答中，充分性也容易求出，在證明必要性時，單調遞減區間不容易計算，這時可以利用零點存在定理進行說明。用這樣的充分必要法求解參數的取值范圍，比較貼近學生的思維方式，本人覺得值得推薦。

四、方法總結

含參函數f(x)在某個范圍D有f(x)＞0或f(x)＜0恒成立（不妨設范圍D的端點為x0）且滿足f（x0）=0，那么考慮用f'（x0）＞0或（f'（x0）＜0）解得參數的取值范圍；若f'（x0）恒為零，那么考慮f''（x0）＞ 0（或f''（x0）＜ 0）解得參數的取值范圍，若f''（x0）恒為零，反復用上述方法，直到高階導數在x=x0處不為零，然后根據題目不等式方向令此時的導數f'（x）＞0或（f'（x）＜0），即可解得參數取值范圍，此為充分性。接下來需要說明此范圍的補集均不符合題意，即存在某個區間D1∈D,使得f(x)＜0（或f(x)＞0），一般為區間（x0，x1）或（x1，x0）。

[1]黃萬志．函數中求解參數范圍的通法：充分必要法． https：//wenku．baidu．com/view/4123644c376baf1ffd4fad61．html