車輛拋物線板簧復合剛度數值計算方法

劉 程，呂恒緒，杜天強，陳志勇

(1.中國汽車技術研究中心， 天津 300300; 2.吉林大學 汽車仿真與控制國家重點實驗室， 長春 130022)

伴隨著輕量化技術及節能減排的發展，越來越多的汽車采用變剛度鋼板彈簧。拋物線板簧是一種板簧片寬保持不變、簧片斷面厚度尺寸沿長度方向呈拋物線變化的變截面板簧。它具有質量輕、性能好、動摩擦小、可避免高頻振動彈簧敲擊現象等諸多優點。單片拋物線板簧已經在部分汽車上得到應用[1-5]。對于多片拋物線板簧，由于制造業水平的限制，不能完全保證板簧可靠性，故此類板簧在汽車上還沒有得到廣泛應用。兩片式變剛度拋物線板簧是最簡單的兩級變剛度板簧，目前出于安全性的考慮，會使用兩片等長的拋物線板簧構成主簧，這樣就形成了本文所研究的三片式變剛度拋物線板簧。

剛度是板簧設計的重要參數之一，當前計算板簧剛度的方法主要分為公式計算法、有限元法以及實驗法。因實驗法耗費大量的人力、財力，并花費大量時間，當前研究較多的是公式計算法和有限元法。在公式計算法方面，很多學者[6]主要是抽象出板簧數學模型，建立某一類板簧的剛度計算公式，并通過有限元和臺架實驗對此方法進行驗證。還有許多學者利用有限元法對板簧剛度進行研究，文獻[7-11]利用有限元法對板簧剛度進行計算，并用臺架實驗驗證有限元計算結果。對比以上兩種剛度計算方法可以發現：有限元法通用性較好，適用于各種板簧的剛度計算，但有限元法比較復雜，需要專門的有限元軟件作為輔助，計算時間較長；公式法計算簡單、快速，但受板簧類型的影響，某些公式只能適合某一特定板簧，對于如多片式拋物線變截面這類板簧，由公式法直接求出剛度非常困難。而基于板簧數學模型建立的剛度數值計算方法有較好的通用性，不需要板簧剛度計算具體計算公式，只需要板簧的基本尺寸參數就可以快速得出板簧的剛度。當前，對于變截面板簧復合剛度的研究主要集中在有限元法，因此有必要建立一種通用的數值計算方法計算此類剛度值。本文結合所研究的實際項目，對三片式變剛度拋物線板簧這類變截面鋼板彈簧的復合剛度進行理論研究，為鋼板彈簧的設計與應用提供依據。

首先，對整體板簧模型進行簡化，建立板簧數學模型，從材料彎曲變形理論出發，推導出鋼板彈簧撓度計算一般積分式。其次，對于變截面鋼板彈簧，提出一種利用數值積分求解此復合剛度的方法，并編寫Matlab計算程序，通過程序快速計算出此類型板簧撓度。最后，建立一典型三片式拋物線板簧有限元模型，通過有限元計算和臺架試驗獲得此板簧的剛度值，并與所提方法計算結果進行對比分析。

1 兩級變剛度拋物線板簧模型簡化

1.1 板簧總成模型

一般情況下，汽車采用對稱式鋼板彈簧，但有些汽車由于設計上的要求，也采用非對稱板簧。在理論上，可以把對稱式鋼板彈簧作為非對稱板簧的一種特殊情況。為使汽車在空載和重載工況下具有同樣的減震效果和平順性，當前應用較多的兩級變剛度鋼板彈簧由主簧和副簧組成。主簧和副簧可以由單片或多片板簧組成。當載荷較小、副簧不工作、載荷達到一定值時，副簧與托架接觸，此時主副簧共同工作。由于板簧在整車布置上的限制，要求副簧長度小于主簧長度。不失一般性，本文以車輛的不等臂長的變剛度拋物線板簧為研究對象(如圖1所示)，該板簧為三片式兩級剛度拋物線板簧。第1片和第2片為主簧，一般情況下，兩片主簧的尺寸一樣，當然主簧的厚度與寬度尺寸也可以不一樣。

圖1 兩級變剛度拋物線板簧

1.2 模型的簡化

本文研究的板簧主副簧之間，為減小摩擦以及接觸時沖擊，在副簧端部安裝橡膠材料。模型簡化時，由于本文研究的是板簧靜態載荷下的剛度，不存在相互摩擦和沖擊，因此不考慮這些橡膠材料對剛度計算的影響，在兩主簧端部的卷耳與包耳之間部位也設有橡膠，在剛度計算時同樣忽略其對剛度的影響。因此，本文研究的拋物線板簧可簡化為三片直板簧相互疊加。本文所研究的板簧屬于兩端支承，中間受載變截面弓形板彈簧，工作過程中板簧的變形與它的長度相比很小，認為在變形過程中載荷的作用方向不變。因此，此板簧可以簡化為3片相互疊加的懸臂梁，懸臂梁一端固定，另一端受到集中力，如圖2所示，圖中端部虛線為拋物線延長線。計算板簧的剛度等效為計算板簧在單位載荷下變形的倒數。由于板簧在小變形狀態下總體變形滿足變形線性疊加原理，因此本文研究的3片板簧的變形可簡化為一變截面懸臂梁變形，如圖3所示。拋物線板簧屬于變截面板簧的一種，本文先以一般變截面板簧為研究對象，推導出撓度計算方法，然后再推廣到多片式拋物線變截面板簧。通過以上分析，根據材料力學理論，在建模過程中做如下假設：

1) 板簧簡化為懸臂梁，一端固定約束，另一端受一集中力，方向垂直于主片簧面；

2) 主副簧在接觸處具有相同的撓度和曲率；

3) 計算中忽略簧片的厚度。

圖2 兩級變剛度拋物線板簧懸臂梁模型

圖3 單片拋物線板簧懸臂梁模型

2 兩級變剛度拋物線板簧復合剛度的理論推導及分析

根據以上理論，先對單片變截面鋼板彈簧模型進行理論研究，然后對多片式板簧模型進行推導分析，最后對前后不等長板簧整體剛度進行擴展研究。

2.1 單片簧的剛度理論推導

2.1.1 懸臂梁端部受力剛度理論推導

本文將所研究的板簧簡化為變截面懸臂梁。如圖4所示,圖中變形前如實線所示，在力F的作用下，變形后如虛線所示。將此懸臂梁分割成n段，x為分割點到右端距離，每個分割點水平距離之間關系為xo≤x1…≤xi≤xi+1…≤xn=l，θi為第i個分割點在轉矩Mi作用下對應截面轉角，fi為第i個分割點在轉矩Mi作用下對應梁端部變形，同理第i+1個分割點在轉矩Mi+1作用下對應轉角和端部撓度為(θi+1,fi+1)。為研究相鄰分割點之間轉角與撓度之間的聯系，對相鄰分割點進行局部放大，如圖5所示。

圖4 懸臂梁端部受力變形

圖5 相鄰兩點位置參數水平位置、撓度、轉角關系

在圖5中：虛線為上述懸臂梁變形后撓度線；底部實線為變形前簡化線；A、D為兩相鄰分割點。xi、θi、fi、xi+1、θi+1、fi+1的幾何關系如圖5所示。

xi+1=xi+Δxi+1，θi+1=θi+Δθi+1，

fi+1=fi+Δfi+1

由圖5幾何關系可以證明：

Δfi+1=xiΔθi+1

(1)

基于式(1)，可推導出此懸臂梁剛度為

(2)

具體推理過程如下：

(3)

代入式(1)得

(4)

當n→∞時，

(5)

由于此懸臂梁一端固定，即fn=0，則

(6)

當懸臂梁端部受到集中載荷力時，M(x)=-Fx，得

(7)

此懸臂梁剛度為

(8)

對于實際的板簧，由于考慮到簡化因素的影響，因此可引入剛度修正系數ξ，

(9)

2.1.2 單片拋物線板簧剛度計算

圖6 單片拋物線板簧的懸臂梁端部受力模型

根據尺寸可得此板簧任意截面轉動慣量I:

(10)

將式(10)代入式(9)中，得單片拋物線板簧剛度計算公式：

(11)

此積分值與文獻[12]一致,說明此積分式正確。

2.2 多片拋物線板簧剛度推導

2.2.1 多片拋物線板簧截面計算

在計算多片式拋物線板簧主副復合剛度時,首先需表示出任意位置對應的截面慣性矩。先以兩片式為例，兩片式拋物線板簧幾何參數如圖7所示。

圖7 兩片拋物線板簧的懸臂梁端部受力模型

(12)

步驟1 輸入主簧片數p、副簧片數q、主簧長度l、主簧拋物線長度l2、主簧端部厚度h1、主簧根部厚度h2、副簧拋物線長度l3、副簧端部厚度h4、副簧根部厚度h5、板簧寬度b、材料彈性模量E。

步驟2 計算主副簧截面慣性矩，利用if(else)語句判斷截面點x位置，根據x位置分別計算得到此點截面主簧慣性矩Im、副簧慣性矩Ia。

步驟3 計算整個截面慣性矩，根據主副簧片數得整體慣性矩I=pIm+qIa。

2.2.2 多片簧剛度數值計算

綜上，通過以上方法可以計算任意片數主副簧變剛度拋物線板簧剛度。對于一般的板簧，前后板簧的尺寸可能不同，接下來計算前后板簧尺寸不同時的板簧剛度。

2.3 多片板簧整體復合剛度理論推導

針對本文所研究的前后板簧長度不相等的情況，需要分別計算前半段和后半段板簧的復合剛度，再以此計算整副鋼板彈簧的總剛度。假設Kf和Kr分別代表前后半段板簧的復合剛度，通常由式(13)計算整副鋼板彈簧的總剛度。

(13)

最后要說明的是，該計算方法并不限于本文研究的3片式非對稱板簧，同樣可以擴展應用于多片式非對稱拋物線變剛度板簧的總成剛度計算。

3 試驗及仿真驗證

本文針對所研究車輛的懸架彈簧力學特性，試制1件三片式拋物線鋼板彈簧，其中兩片主簧參數相同，前后簧片截面參數相同，此板簧的具體參數如表1所示。

表1 板簧尺寸參數

為驗證所提剛度計算方法，對上述板簧進行有限元分析和臺架實驗得到此板簧剛度。

1) 板簧有限元模型的建立

在CATIA軟件中建立拋物線板簧三維模型，并進行裝配，將建立好的三維模型導入到有限元計算軟件ABAQUS中，對板簧三維模型進行簡化，忽略主簧卷耳間及主副簧端部的橡膠材料以及板簧中間部位的連接螺栓。板簧受力簡化后如圖8所示。在板簧與板簧建立接觸，在每個板簧中間部位建立綁定約束，以此模擬板簧中間部位的固定螺栓。對第1根主簧的上表面以及副簧下表面的中間部位單元進行固定約束，在板簧的卷耳處施加6 000 N垂直向下的力，模擬板簧在靜載荷狀態下的受力狀態。在ABAQUS/Standard中建立有限元模型并求解。

圖8 板簧受力加載示意圖

最后得到板簧從水平位置到靜力平衡處的位移(圖9、10)。由于前后板簧的長度不同，因此在相同載荷下，對應的達到靜平衡狀態下的位移也不同。板簧前端卷耳中心對應撓度為δf=64.72 mm，對應的前端剛度為Kf=85.19 N/mm，板簧后端卷耳中心對應撓度為δf=70.43 mm，對應的前端剛度為Kf=92.71 N/mm。由公式得到總剛度為K=177.8 N/mm。

圖9 板簧前端靜態位移

圖10 板簧后端靜態位移

2) 臺架實驗

利用板簧剛度測試臺架對板簧剛度進行測試，測試板簧的臺架搭建如圖11所示。

圖11 3片式變剛度拋物線板簧的力學特性測試臺架

表2為實驗測量、有限元仿真、本文理論方法計算結果對比。從實驗結果不難看出：采用所給數值積分計算的板簧剛度與實際板簧剛度誤差很小，基本上在5%以內，完全能滿足工程應用需要。同時數值仿真得到的剛度值與數值計算值很接近，說明本數值計算方法可以完全取代有限元仿真。對比計算值可以看出：由于板簧在計算時忽略了橡膠材料的影響，中部的螺栓連接以綁定約束代替，使得板簧的計算剛度比實驗值低，因此可以引入剛度修正系數ξ=Kex/Kma=1.04，使得計算值與實驗值接近。因此，利用此計算方法得到板簧的實際剛度值為Kpa=ξKma。

表2 試驗結果對比

4 結束語

本文提出的拋物線形主副簧多片式剛度計算方法，通過臺架試驗和有限元法驗證了計算方法的正確性。同時，通過對比實驗與數值計算剛度結果，引入剛度修正系數ξ=1.04。本文所提出的板簧剛度計算方法不僅適用于拋物線板簧，對板簧的截面慣性矩計算函數進行修改后也可以適用于其他的變截面板簧剛度計算。

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