拋物線點差法巧解斜率問題

代宇晟

摘 要 在圓錐曲線試題中，我們常常會使用點差法處理與中點、斜率相關的條件。然而點差法更多是使用在橢圓和雙曲線中。對于拋物線，點差法同樣可以用來求解斜率，使運算得到較大的簡化。

關鍵詞 點差法 斜率 拋物線 待定系數法 定點問題

中圖分類號：G633 文獻標識碼：A

例1：過拋物線上的一點任作兩條相互垂直的弦，，問直線是否過定點

解法一：半聯立

解：設

當時恒成立

直線過定點（10，-4）

解法二：拋物線點差法

解：設

由此可推出，若直線與開口向右的拋物線交于兩點

則恒有

在拋物線上

設

又，即

與聯立得到：

代入，得到

即

直線為

所以直線方程成立

恒過點

由本例題可以發現，在拋物線中使用點差法求解斜率，計算過程非常簡潔。對于拋物線中涉及多條直線斜率運算的問題，該方法為不二之選。

例2：曲線，在曲線C上，過點A作曲線C的兩條弦AD，AE，且AD，AE斜率為，并滿足，試推斷有何變化規律。

解：此題應用拋物線點差法即可快速求解

已知：，

設

由于點差法上題已證，此處直接應用結論

又

又直線

時直線方程成立

直線恒過點（-1，-2）

做了以上兩道例題，我們發現一個小結論：過拋物線上一定點，作兩條直線，斜率分別為，兩條直線分別于拋物線交于兩點。當或者為定值時，直線必過定點。不妨推導一下上有一定點，任作兩條弦PA，PB，使得，則AB過定點

同理

代入化簡

所以過定點

同理，若將改為

則有AB過定點

代入化簡

所以定點為

其實，以上小結論不光針對拋物線，對于橢圓和雙曲線也同樣成立。換句話說，它是圓錐曲線的一個普適結論，最近的2017高考新課標乙卷就以該結論出題，題目如下：

例3：已知拋物線過點P（2，0）作不垂直于x軸的直線，交拋物線于A，B兩點，F為拋物線焦點，再分別作直線AF，BF與拋物線交于點M，N，設直線AB，MN斜率分別為，求證為定值。

解：設

同理直接應用結論

此時應通過聯立AM的方法來求出的關系，從而實現消元求解

首先確定一個小結論：設

為直線的橫截距。即：直線與拋物線（開口向右）交于兩點，縱坐標乘積等于

同理

由拋物線點差法可知：

此題較為復雜，若用傳統方法聯立的思想，需要利用直線和拋物線聯立，出坐標之間的關系，再將分別于拋物線聯立，表示出兩點坐標，再求出斜率，最后進行消元求解。整個過程非常復雜，在考場上時間緊張，幾乎不可能完成，而此類題往往分值較大，失掉非常可惜。可見，熟練掌握拋物線點差法是攻克此類題型的關鍵。