讓自主探究融入數學教學

王瑤

【中圖分類號】G623.5 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）23-0177-02

豐富學生的學習方式、改進學生的學習方法，使學生學會學習，為終身學習和終身發展打下良好的基礎，是中學數學新課程追求的基本理念。學生的數學學習方式不應只限于接受、記憶、模仿和練習，還必須倡導自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學等學習方式，力求發揮學生學習的主動性，使學生的學習過程成為在教師引導下的“再創造”過程。

作為一線數學教師應當努力在日常的課堂中教會學生自主探索，合作交流等學習方式，下面是筆者在“平行四邊形的判定方法”的教學中的一個片段。

老師（以下記為T）：上節課我們一起學習了平行四邊形性質，ABCD，對應邊平行且相等AB∥DC，AD∥BC；AB=DC，AD=BC；對應角相等∠A=∠C，∠D=∠B；對角線互相平分OA=OC，OD=OB；

T：今天我們將一起探究平行四邊形的判定方法，請同學們嘗試構造判定四邊形為平行四邊形的命題？

學生1（以下記為S）：我想利用平行四邊形的定義：兩組對邊平行的四邊形是平行四邊形，AB∥DC，AD∥BC ABCD①。

T：非常好，這是定義。還有嗎？

S2：兩組對邊相等的四邊形是平行四邊形，AB=DC，AD=BCABCD②；兩組對角相等的四邊形是平行四邊形，∠A=∠C，∠D=∠BABCD③；兩組對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，OA=OC，OD=OBABCD④。

T：S2通過將平行四邊形的性質的條件與結論交換一下子給我們提供了三個命題，這些命題正確嗎？如果正確請證明，如果不正確請你舉出反例。

同學們討論起來，經過巡視發現，有部分學生不知怎樣才能證明四邊形是平行四邊形？

T：怎樣才能證明四邊形是平行四邊形呢？我們現有的知識是什么？

S3：S1提出的平行四邊形的定義：AB∥DC，AD∥BC ABCD。所以我們可以通過分別證明兩組對邊平行來達到目的。

很快大家都找到了證明命題②③④的方法

T：這樣我們已經找到四種方式判定四邊形是平行四邊形，還有其他的方式嗎？注意在我們判斷構造的命題是否正確時，我們可以使用上述已經證明的四條判定。

一時間大家沉默了。

T：大家想想全等三角形的性質和判定，我們除了像S2這樣將性質的條件與結論互換，還可以將性質中的結論做一些組合，構造新的命題。

S4：可以將一組對邊平行和一組對邊相等結合起來構造命題：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，AB∥DC，AB=DCABCD⑤。

S5：那也可以一組對邊平行，另一組對邊相等，AB∥DC，AD=BCABCD⑥。

S6：我發現在很容易找到命題⑤的證明方法：

連接AC，可以通過SAS證明△ADC與△ABC全等，從而證明四邊形是平行四邊形。

但是，在證明命題⑥時，遇到一點困難，我仍然想證明△ADC與△ABC全等，可是找到的條件卻是SSA。

S7：命題⑥是不正確的，我找到了反例：

如圖：AB∥DC，AD=BC，但四邊形ABCD不是平行四邊形，是一個等腰梯形。

T：請問S7你是怎樣找到這個反例的？

S7：我先畫了兩條平行的線，我發現我在找另一組對邊相等時，有兩種情況，其中一種如圖不是平行四邊形。

S6：老師我明白啦（大叫），我在證明命題⑥時遇到的問題SSA不能證明三角形全等，正好可以幫我們找到反例，我只要畫出兩個△ADC與△ABC滿足SSA（即：AC=AC，AD=BC，∠ACD=∠CAB）但不全等即可。

T：S6，S7兩位同學的方法都很好，當我們無法確定一個命題是否正確時，可以嘗試找反例。在證明中無法突破的點，恰好可以幫助我們找到反例。

S8：剛剛S4將一組對邊平行和一組對邊相等結合起來，我可以將一組對邊平行和一組對角相等結合，或者將一組對邊平行和一條對角線被平分結合得到命題AB∥DC，∠A=∠CABCD⑦；AB∥DC，OA=OCABCD⑧。而且我發現通過三角形全等可以很容易證明這兩個命題是正確的。

T：S8為我們提供了構造命題的思路。

S9：我們已經找到了八個命題，我發現通過邊角對角線的組合，還可以找到四個命題分別是：AB=DC，∠A=∠C ABCD⑨；AB=DC，OA=OCABCD⑩；∠A=∠C，OA=OCABCD；∠A=∠C，OB=ODABCD。

T：S9提供的四個命題，留給大家課后討論它們的真假性。

通過剛才的討論，我們師生合作，找到了多個判定平行四邊形的命題。大家對平行四邊形的判定一定會有新的認識，能進一步感受在幾何中性質與判定之間的關系，為后續學習菱形，矩形，正方形的性質與判定提供了典范。在判斷命題的真假時，通過已學過的定理說理證明其正確性，或者通過構造反例說明其不正確。對于上面這樣的探究問題，其實我們在學習全等三角形的時候就遇到過。我們先學習了全等三角形的性質，接著學習全等三角形的判定。事實上我們也可以交換性質的結論與條件，構造命題判定三角形全等。所以在這一節的學習中，我們也可以采用探究的方式教學。

這節課中，與最后得到課本上給出的幾條平行四邊形的判定定理相比，學生經歷的探究過程更為重要。經過比較充分的討論，學生經歷了通過交換性質的條件與結論構造命題，經歷了將邊、角、對角線的條件進行組合構造命題，實際上數學突出的學生在將邊、角、對角線進行組合時，會發現兩組對邊相等，兩組對邊平行，兩組對角相等，兩條對角線互相平分，一共八個條件，兩兩組合可以構造出12個不同的命題。在構造好命題后，猜想命題的真假、并作出驗證。這個過程，加深了學生對平行四邊形的性質及其判定的理解，也讓學生領悟了在幾何中如何由已知證未知，如何找反例證偽。在我們的探究過程中，①是利用定義判定，②④⑤是平行四邊形的判定定理可以通過①證明得到，已經證明的定理又可以用于新命題③⑦⑧的證明。最關鍵的是這個過程讓學生感受探究后的成功和喜悅，化被動學習為主動學習。在后續學習新的圖形例如：菱形、矩形、正方形時，學生會主動對其性質判定進行探究，而不是死板的學習課本上的黑體字定理。盡管還有四個命題我們沒有探究其正假性，這四個命題相比其它八個也有一定難度，但這樣的提出問題，讓學生感受到問題，讓有興趣的學生課下繼續探究是必要的。課堂進行這樣的探究也許不能直接“應試”，可是研究、探索新問題的意識、思路、方法和能力更為重要！

在很長一段時間內，人們對于數學的探究性學習未能給予充分的重視，使得學生對數學的興趣日趨減少，認為數學就是做題，學數學沒用，也就是考試、升學有用。實踐表明，在日常數學教學中，多開展探究性教學活動，有利于激發學生學習數學的興趣，有利于增強學生的探究意識，有利于擴展學生的視野。

學習數學的最終目的是為了培養數學能力，提高數學素養，使所有學生都具有一雙能用數學視角觀察世界的眼睛，一個能用數學思維思考問題的頭腦。為此，每個同學都要成為課堂學習的主人，成為積極的參與者、探索者、合作者。我們要努力做一個善于發現問題，探究問題，解決問題的的有心人，并將這種能力用到以后的學習和工作中。

參考文獻：

[1]楊裕前董林偉義務教育教科書數學.南京：江蘇鳳凰科學技術出版社，2016.6.

[2]義務教育數學課程標準.北京：北京師范大學出版社.2011.