基于主成分分析法的地磁導航適配區域選擇

黃婧麗，譚學者，張翔宇

（海軍航空大學，山東煙臺264001）

地磁導航通常間斷使用，這是因為地磁場是一種位場，會有較大面積特征相似部分，如果采用全局遍歷的搜索確定位置可能有不止一個解，容易產生虛假定位，并且浪費時間。所以，通常地磁導航只在特定區域內使用，而使用區域稱適配區。適配區[1-2]的性能稱為適配性。適配性體現該區域提供導航信息能力的一種性質[1，3]。適配性較優的區域應該具有包含信息豐富、特征明顯、定位準確、精度高的特點。由于地磁導航具有間斷性，不同區域的導航效果是不同的，因而應該選擇具有良好適配性的區域再進行工作。

文獻[2]從隨機場理論和數理統計的角度出發，把粗糙度、標準差、相關距離、熵等概念應用到數字地磁圖，作為度量地磁圖特征的指標，經過多次匹配總結出了地磁圖適配區域選取經驗準則。但沒有提出如何在已知的地磁場區域內建立快速、智能化的區域選擇準則。隨后，劉玉霞等人在文獻[3]中建立了投影尋蹤地磁匹配區域選取模型，利用遺傳算法求解最優方向，給出區域總體評價指數。文獻[4]給出了一種基于免疫粒子群優化算法的地磁適配區域選取方法，將地磁適配區域的選擇看作一個組合優化問題，通過一定的搜索策略和粒子編碼，在地磁圖中實現空間連續分布、大小一定的適配區域選擇。文獻[5]采用了支持向量機的地磁適配區選取方法，通過選取合適的核函數和核函數參數，實現匹配區域和非匹配區域的正確分類。仿真結果顯示，文獻[3-5]所用的方法都在一定程度上提高了地磁導航精度。

總體來講，在適配區的選擇上，大多是靠為人為經驗和多次試驗，并沒有一個通用的方法。本文針對這個問題，借助數理統計和信息論中的概念，使用多個特征指標分析區域內地磁場分布特點。然后提出一種通用性較強，能夠綜合分析這些指標，定量衡量地磁場信息量的方法，以選擇適配區。

為分析地磁場分布，首先應該盡量多地選用特征指標，特征指標越多，越能反應地磁場的特點，分析的越全面。但是，由于指標是人為選取的，有一定的主觀性，多個指標之間可能并不獨立，存在相關性。這樣，既增加了問題的復雜性，而且最終結果可能因為描述某一特征的相關指標過多而夸大這個特征的作用。因此，希望找到一種方法，剔除人為因素，盡量找出不相關指標，客觀地、定量地描述地磁場信息量。本文就該問題提出了基于主成分分析法的解決方案。

1 適配區評價指標的設定

由于地殼異常場[6-8]空間上變化明顯，時間上變化極小，適用于導航，所以在討論適配區的地磁場信息量特點時，主要考查的是異常場。為研究地磁場的特點，本文借用了隨機場和信息論中的相關概念作為特征指標。

設某一導航區域Ω的地殼異常場強度值集合是V={Fi,j}，其中，Fi,j是網格坐標(i,j)處的地磁場強度值，(i,j)代表一組經緯度地理坐標(?,λ)，(i,j)∈U，U={(i,j)|1≤i≤m,1≤j≤n}，(m,n)代表特征區域 Ω 的大小。

1.1 數據極差

地磁場強度極差反映了磁異常的強度落差，差值越大的區域越有利于導航。可以定義為：

式（1）中，Fi,j（1≤i≤m，1≤j≤n）為網格點(i,j)處的磁異常強度。

1.2 標準差

標準差主要反映的是整個區域地磁場總體起伏的劇烈程度以及離散程度，它是描繪地磁場宏觀起伏特征的指標。標準差越小表示地磁場強度曲面越平坦，越不適合導航，標準差越大，地磁場強度變化越明顯，更容易實現導航。標準差σ可以定義為：

1.3 平均粗糙度

平均粗糙度是單位平面上磁場強度形成表面積大小的度量。它描繪了磁場強度表面細微的局部變化。緯度和經度方向上的絕對粗糙度定義為：

平均粗糙度定義為：

1.4 地磁熵

地磁熵最早是應用于熱力學中，后來經過香農的發展，成為了現代信息論的基本概念。地磁導航通常在磁場信息豐富的區域進行，地磁信息豐富與否可以用地磁熵來衡量[9]。本文中用地磁熵度量導航區域內的磁場信息量。地磁熵的定義為：

式（7）、（8）中：Hf為地磁熵；prok為某一個地磁場強度值出現的概率；nk為磁場強度值在第k級區間里的磁場強度值數目。

計算的時候，先將導航區域內的磁場強度值進行M級量化。很明顯，地磁熵的大小和量化級數目相關，量化級數目越大，地磁熵也就越大。為了消除量化級對地磁熵的影響，而只體現導航區域地磁場信息量的大小，應該統一選取合適的量化級。在實際使用中，量化級數應該與地磁場數值個數N相匹配，一般用經驗法則確定：M=1+3.32lgN。同樣，為了避免不同導航區大小不同帶來的地磁熵變換，常常將以上的地磁熵單位化，方法是：

地磁熵反映了該地區地磁場含有信息量的大小，因此，可以用它來描述地磁場的性質。地磁場強度越大，信息量越豐富，地磁熵也越小。同時，由于它對噪聲不敏感，可以起到剔去異常點的作用。

2 基于主成分分析法的適配區選擇算法

在研究地磁場性能的分析中，為了更完備地描述系統，分析人員往往會盡可能周到地選取有關指標。但是，許多指標都有同步增長趨勢，其中很多是相關的。變量的多重相關性意味著夸大某些特征在系統分析中的地位，這樣會使提供的整體信息發生重疊，不易得出簡明規律，以致影響分析的客觀性，妨礙決策者的正確判斷。

主成分分析[10-13]是研究如何把多指標問題轉化成較少的綜合指標問題。綜合指標是原來多個指標的線性組合，雖然這些線性綜合指標是不能直接觀測到的，但這些綜合指標間互不相關，又能反映原來多指標的信息[9]。

2.1 主成分分析法

如果用per1,per2,…,perp表示描述地磁場強度信息量的p個指標，weg1,weg2,…,wegp表示各個指標的權重，那么加權之和是

希望適當地選擇權重能更好地區分不同地區地磁場的信息量，每塊地區都對應一個這樣的綜合指標值，記為sm1,sm2,…,sml，l為需要討論的區域塊數。如果這些值很分散，就表明區分的很好，就是說，需要尋找這樣的加權，能使sm1,sm2,…,sml盡量分散。它的統計定義是：

設 Per1,Per2,…,Perp表示以 per1,per2,…,perp為樣本觀測值的隨機變量，如果能找到weg1,weg2,…,wegp，使得

的值達到最大，則由于方差反映了數據的差異程度，也就表明找到了p個變量的最大變異。通常，

在此約束下，求式（11）的最優解。這個解是p維空間的一個單位向量，它代表一個“方向”，就是主成分方向。

2.2 適配區選擇算法

根據主成分分析法的基本原理，綜合各個指標的具體過程如下。

Step 1：對原始數據進行預處理。

首先，進行數據的歸一化[14]處理。為了消除數據量綱[15]不同對指標計算值的影響，必須對數據進行歸一化處理。歸一化公式主要有以下2種。

一種是效益型指標。各個分量的數據極性越大越好，通常選用最小極差變化公式，計算公式為：

式（13）中：i=1,2,…,l，j=1,2,…,p；l表示待分析的地磁場區域塊數；p為指標個數。

另一種是成本型指標。對于越小越好的指標在本文中轉化成越大越好，計算公式選用最大極差規范化變換公式：

然后，進行數據的標準化處理。將歸一化處理后的各指標值per′ij轉換成標準化指標，有：

μj、sj為第j個指標的樣本均值和樣本標準差。對應地稱

為標準化指標變量。

Step 2：計算相關系數矩陣R。

相關系數矩陣R=(rij)p×p，有

式（19）中：當i=j時，rii=1，rij=rji，rij是第i個指標與第j個指標的相關系數。

Step 3：計算特征值和特征向量。

計算相關系數矩陣R的特征值λ1≥λ2≥…≥λp≥0及對應的標準化特征向量u1，u2，…，up，其中，uj=[u1j,u2j,…,upj]T，由特征向量組成p個新的指標變量：

式（20）中：y1是第1個主成分；y2是第2個主成分；yp是第p個主成分。

Step 4：選擇p′（p′≤p）個主成分，計算綜合評價值。

首先，計算特征值λj（j=1,2,…,p）的信息貢獻率和累計貢獻率。稱

為主成分yj的信息貢獻率。同時，有

為主成分y1,y2,…,yp′的累計貢獻率。當αp′接近于1(αp′=0.85,0.90,0.95)時，選擇前p′個指標變量y1,y2,…,yp′作為p′個主成分，代替原來的p個指標變量，從而可以對p′個主成分進行綜合分析。

然后，計算綜合得分：

式（23）中，bj為第j個主成分的信息貢獻率，根據綜合得分值就可以進行評價，得分越高的區域適配性越好。

3 仿真驗證

為了分析算法的有效性，首先，選定某地區6塊區域地殼異常場強度基準圖，根據上文方法分析其適配性，選出導航性能好的區域；然后，建立INS/GNS組合導航系統，分別在這6塊區域上進行導航定位仿真實驗，以驗證選擇的導航性能好的區域是否和定位仿真實驗結論一致。

3.1 仿真參數設置

選取某地區6塊區域地殼異常場強度基準圖，網格大小為200×200，網格間距為50 m。利用6塊地磁基準圖分別計算上文中設定的4種指標值。然后，根據主成分分析法，計算綜合指標值。

根據文獻[16]建立的INS/GNS組合導航系統分別在這6塊區域上進行導航定位仿真實驗。

濾波算法采用標準UKF[17-19]，假設飛行器勻速直線運行，加速度計的常值零偏為1×10-4g，隨機漂移為服從N(0,(10-2g)2)的高斯白噪聲，陀螺常值漂移為0.01(°)/h ，3個陀螺隨機漂移均取，相關時間為1 h的一階馬爾可夫過程，系統初始狀態0=0，初始方差陣為狀態可能達到的誤差平方，系統噪聲方差陣為，其相關時間βx=βy=βz=1/3 600 s，測量噪聲方差陣的初值為R0=(50 nT)2，采樣間隔步長為1 s。

定義INS/GNS組合導航定位的均方根誤差為：

式（25）中：為載體在第i個點的真實坐標與組合導航估計值之差；N為組合導航定位點個數。

err可以從整體上反映INS/GNS組合導航定位的估計位置與載體真實位置的離散程度。

3.2 仿真結果分析

利用6塊地磁基準圖分別計算上文中設定的4種指標值，得出的結果見表1。其中，計算數據經過了歸一化和標準化的預處理。

表1 單一指標計算值Tab.1 Value of single indicator

從表1中可以看出，對于均方根誤差、標準差、平均絕對粗糙度、地磁熵4個指標，4號區域得分最高。而對于數據極差6號區域得分最高。初步判斷，4號區域地磁場信息信息量相對較豐富。而對于6號區域，雖然后4個指標均僅次于4號區域，但是由于均方根誤差得分值非常小，很難判斷6號區域信息量在6塊區域中排名情況。因此，雖然單一指標一定程度上可以反映地磁場信息情況，但是由于各個指標反映的側重點不同，所以很難給出一個定量的評價。而本文設計的方法就是要解決該問題。根據主成分分析法，計算綜合指標值，得出的結果見表2。

表2 綜合指標值Tab.2 Composite indicator values

由主成分分析法，定量地得到了6塊區域的綜合指標值。從表2中可以很清晰地看出，第4塊區域所含地磁場信息最豐富，第5塊區域最少，因此地磁輔助導航應該盡量選在第4塊區域中進行。

為了驗證算法的有效性，進行導航定位仿真實驗。根據導航定位仿真實驗設定的環境，得到仿真結果如圖1～6所示。

圖1 1號區域組合定位結果Fig.1 Positioning results in area 1

圖2 2號區域組合定位結果Fig.2 Positioning results in area 2

圖3 3號區域組合定位結果Fig.3 Positioning results in area 3

圖4 4號區域組合定位結果Fig.4 Positioning results in area 4

圖5 5號區域組合定位結果Fig.5 Positioning results in area 5

圖6 6號區域組合定位結果Fig.6 Positioning results in area 6

從以上6幅仿真圖可以看出，在4號區域系統仿真軌跡非常接近真實軌跡，定位精度較高。而在5號區域，仿真軌跡和真實軌跡偏差較大，甚至有發散的趨勢，定位精度相較其他幾個區域較差。其他幾個區域的導航精度也基本與表2中給出的排序吻合，這說明主成分分析法在地磁導航系統適配區的選取方面有較強的實用性，在人為選取的指標具有多重相關性的情況下，仍然能夠準確地區分出地磁場信息量豐富的適配區。

4 結論

本文主要解決了地磁導航適配區的選擇問題。信息量大的適配區導航效果好。首先，借用信息論和數理統計的相關概念，設定了多個評價地磁場特點的指標。然后，為了定量分析地磁場信息量，通過主成分分析法排除了有相關性的指標，選出了最優適配區。仿真結果顯示，通過主成分分析法選擇的區域導航效果較好。該方法不需要人為經驗，可操作性強。

[1]馬越原，歐陽永忠，黃謨濤，等.基于重力場特征參數信息熵的適配區選擇方法[J].中國慣性技術學報，2016，24（6）：763-768.MA YUEYUAN，OUYANG YONGZHONG，HUANG MOTAO，et al.Selection method for gravity-field matchable area based on information entropy of characteristic parameters[J].Journal of Chinese Inertial Technology，2016，24（6）：763-768.（in Chinese）

[2]徐曉蘇，湯郡郡，張濤，等.基于熵值法賦權灰色關聯決策的地形輔助導航適配區選擇[J].中國慣性技術學報，2015，23（2）：201-206.XU XIAOSU，TANG JUNJUN，ZHANG TAO，et al.Selection for matching area in terrain aided navigation based on entropy-weighted grey correlation decision-making[J].Journal of Chinese Inertial Technology，2015，23（2）：201-206.（in Chinese）

[3]劉玉霞，周軍，葛致磊.基于投影尋蹤的地磁匹配區選取方法[J].宇航學報，2010，31（12）：2677-2682.LIU YUXIA，ZHOU JUN，GE ZHILEI.A projecting pursuit-based selection method for matching region in geomagnetism navigation[J].Journal of Astronautics，2010，31（12）：2677-2682.（in Chinese）

[4]焦巍，劉光斌，張金生，等.基于免疫粒子群算法的地磁特征區域選擇[J].宇航學報，2010，31（6）：1547-1551.JIAO WEI，LIU GUANGBIN，ZHANG JINSHENG，et al.Immune PSO algorithm-based geomagnetic characteristic area selection[J].Journal of Astronautics，2010，31（6）：1547-1551.（in Chinese）

[5]呂云霄，吳美平，胡小平.基于支持向量機的地磁輔助導航匹配區域選取準則[J].兵工自動化，2011，30（1）：49-52.LV YUNXIAO，WU MEIPING，HU XIAOPING.Support vectormachineforgeomagnetism aided navigation matching area selection[J].Ordnance Industry Automation，2011，30（1）：49-52.（in Chinese）

[6]閆亞芬，滕吉文，阮小敏，等.龍門山和相鄰地域航磁場特征與汶川大地震[J].地球物理學報，2016，59（1）：197-214.YAN YAFEN，TENG JIWEN，RUAN XIAOMIN，et al.Aeromagnetic field characteristics and the Wenchuan earthquakes in the Longmenshan mountains and adjacent areas[J].Chinese Journal of Geophysics，2016，59（1）：197-214.（in Chinese）

[7]李世斌，馬為，徐新學，等.天津市地球物理場特征及基底構造研究[J].物探與化探，2015，39（5）：937-943.LI SHIBIN，MA WEI，XU XINXUE，et al.Characteristics of geophysical field and basement structure of Tianjin[J].Geophysical and Geochemical Exploration，2015，39（5）：937-943.（in Chinese）

[8]胡國澤，滕吉文，阮小敏，等.秦嶺造山帶和鄰域磁異常特征及結晶基底變異分析[J].地球物理學報，2014，57（2）：556-571.HU GUOZE，TENG JIWEN，RUAN XIAOMIN，et al.Magnetic anomaly characteristics and crystalline basement variation of the Qinling orogenic belt and its adjacent areas[J].Chinese Journal of Geophysics，2014，57（2）：556-571.（in Chinese）

[9]袁志發，宋世德.多元統計分析[M].北京：科學出版社，2009：211-224.YUAN ZHIFA，SONG SHIDE.Multivariate statistical analysis[M].Beijing：Science Press，2009：211-244.（in Chinese）

[10]蘭小艷，陳莉，賈建，等.基于小波和PCA的自適應顏色空間彩色圖像去噪[J].計算機應用研究，2018，35（2）：1-10.LAN XIAOYAN，CHEN LI，JIA JIAN，et al.Color image denoising based on wavelet and PCA in adaptive color space[J].Application Research of Computers，2018，35（2）：1-10.（in Chinese）

[11]白東博，吳奇，黃丹，等.飛行員多生理信號主成分分析[J].電光與控制，2017，24（1）：82-85.BAI DONGBO，WU QI，HUANG DAN，et al.Sparse principal component analysis for multiple physiological signals from flight task[J].Electronics&Control，2017，24（1）：82-85.（in Chinese）

[12]李春娜，陳偉杰，邵元海.魯棒的稀疏Lp-模主成分分析[J].自動化學報，2017，43（1）：142-151.LI CHUNNA，CHEN WEIJIE，SHAO YUANHAI.Robust sparse Lp-norm principal component analysis[J].ActaAutomatica Sinica，2017，43（1）：142-151.（in Chinese）

[13]董楊，范大昭，紀松，等.主成分分析的匹配點對提純方法[J].測繪學報，2017，46（2）：228-236.DONG YANG，FAN DAZHAO，JI SONG，et al.The purification method of matching points based on principal component analysis[J].Acta Geodaetica Cartographica Sinica，2017，46（2）：228-236.（in Chinese）

[14]郭樹旭，張馳，曹軍勝，等.基于壓縮感知歸一化關聯成像實現目標重構[J].光學精密工程，2015，23（1）：288-294.GUO SHUXU，ZHANG CHI，CAO JUNSHENG，et al.Object reconstruction by compressive sensing based normalized ghost imaging[J].Optics and Precision Engineering，2015，23（1）：288-294.（in Chinese）

[15]宮誠舉，郭亞軍，李玲玉，等.群體信息集結過程中無量綱化方法的選擇[J].運籌與管理，2017，26（5）：151-157.GONG CHENGJU，GUO YAJUN，LI LINGYU，et al.Dimensionless methods selection in the process of group information aggregation[J].Operations Research and Management Science，2017，26（05）：151-157.（in Chinese）

[16]趙國榮，黃婧麗，楊飛，等.小尺度區域下非線性慣性地磁組合導航研究[J].導彈與航天運載技術，2014，4（2）：54-57.ZHAO GUORONG，HUANG JINGLI，YANG FEI，et al.Research on small-scale regional nonlinear INS/GNS integrated navigation[J].Missiles and Space Vehicles，2014，4（2）：54-57.（in Chinese）

[17]周彥，胡嵐，王冬麗.基于IMM-UKF-CS的混合環境目標跟蹤[J].系統仿真學報，2017，29（1）：43-48.ZHOU YAN，HU LAN，WANG DONGLI.Target tracking in hybrid environment based on IMM-UKF-CS[J].Journal of System Simulation，2017，29（1）：43-48.（in Chinese）

[18]付心如，徐愛功，孫偉.抗差自適應UKF的INS/GNSS組合導航算法[J].導航定位學報，2017，5（2）：111-116.FU XINRU，XU AIGONG，SUN WEI.An INS/GNSS in-tegrated navigation algorithm based on robust adaptive UKF[J].Journal of Navigation and Positioning，2017，5（2）：111-116.（in Chinese）

[19]孫磊，黃國勇，李越.改進的強跟蹤SVD-UKF算法在組合導航中的應用[J].計算機工程與應用，2017，53（10）：225-229.SUN LEI，HUANG GUOYONG，LI YUE.Exploration of improved strong tracking SVD-UKF used in BDS/INS integrated navigation[J].Computer Engineering and Applications，2017，53（10）：225-229.（in Chinese）