基于多重分形理論的股價同步性與噪音關系研究

一、引 言

自Roll［1］提出用R2來反映單個股票與市場同漲同跌的關聯性以后，學術界始終在爭論低R2究竟是代表了更多的公司特質信息還是更多的噪音，至今這個問題仍然沒有定論。Morck等通過比較40個國家的R2，發現產權保護機制完善的國家具有較低的股價同步性，并以此推斷：“發達國家因其完善的法規制度使得股價中包含更多的公司特質信息，所以股價同步性也會較低。”［2］隨后，Li［3］和Bae［4］的實證結果也支持了Morck等的信息解釋。但是隨著對股價同步性研究的不斷深入，人們發現一些現象是與信息解釋相矛盾的，比如股價增發定價、超額波動率等。越來越多的文獻也發現，股價同步性低并非是股價中包含了更多的公司特質信息，而是更多的噪音。Black認為交易者往往會將噪音誤認為是有效信息并以此為依據進行交易，使得股價中融入了大量噪音。［5］那么，中國股票市場的R2會表現出怎樣的特征？是否較低的R2意味著更多的噪音呢？

回顧以往股價同步性研究文獻，發現大多是利用線性回歸模型進行研究。但近期研究發現，股價同步性與信息效率和噪音之間并非線性關系。［6-7］因此，采用非線性分析方法，理應更契合股價同步性的研究。基于此，本文引入多重分形理論研究股價同步性與噪音的關系，以期獲得新的發現。

與已有研究成果相比，本文的進展主要體現在以下三個方面：一是將多重分形理論引入到股價同步性研究，利用交叉相關性檢驗發現股價同步性與噪音之間存在交叉相關性；二是進一步研究股價同步性與噪音交叉相關性的多重分形特征，確認股價同步性與噪音之間的非線性關系；三是通過滾動窗口分析，量化股價同步性與噪音的交叉相關性，進一步得到其交叉相關性的強度變化特點。

二、文獻回顧

Roll利用資本資產定價模型，對個股和市場進行回歸得到擬合度R2，并認為R2的高低反映了個股股價中公司層面信息的含量。［1］自此以后，越來越多的學者開始研究R2與股價信息含量之間的關系，并普遍認為R2是信息效率的表征指標，并在此基礎之上進行了大量的實證研究，形成了低R2的信息假說。但值得注意的是，Roll在提出特質信息影響股價波動的同時，也承認噪音交易可能會導致股價較高的波動。Morck也曾指出，R2不僅僅只包含信息，還混合著噪音。［2］因此，R2與噪音的關系得到了越來越多學者的關注和研究。

作為低R2噪音假說的代表，West發現，公司層面信息和貼現率無法完全解釋股票價格的波動，其原因可能是市場上存在著投機性泡沫、投資者期望不合理以及投資者的非理性行為，由此從理論上推測個股股價的特質波動與市場噪音有很大的關系。［8］

也有一些學者利用新的數據樣本或選擇更長的年度期間，借鑒或復制了Morck的模型及研究過程，通過實證研究得到了相反的結論。Skaife等考察了6個股票市場的股價同步性對公司信息的解釋力度，實證結果表明各個市場的股價同步性的波動并非公司特質信息所致。［9］Alves等利用Morck的R2計算模型研究了1985年至2004年期間40個國家的R2，發現各個國家的R2隨著年份的不同而上下波動。而一個國家的產權保護法規政策在各年度都是相對平穩的，因此R2的時序波動使得R2與產權保護之間不存在一個穩定的關系，這是與Morck的研究結果相違背的。［10］Cheng等也利用40個國家的樣本數據復制了Morck的研究，但沒有得到預期的股價同步性與產權保護之間的負相關關系，反而發現波動率和企業規模對股價同步性有著顯著的影響，以此為依據，他們推測市場結構特點可能是各國R2存在差異的原因之一。［11］

由于傳統的觀點認為較低的R2代表較多的信息含量和較高的信息效率，因此一些學者從考察R2與信息效率之間的關系入手來反證股價同步性的噪音假說。Dasgupta等認為，企業信息環境的改善和豐富的企業特質信息都有助于提高市場參與者對企業未來事件的預測準確率，使得股票收益的特質波動減少，股價同步性上升，即股價同步性會隨著企業信息透明度的提高而增加。［12］Li等從信息環境代理指標入手，發現較低的R2意味著較高的價格延遲、知情者交易概率、非流動性水平和買賣價差，因此認為與傳統的解釋相反，較低的R2應是代表了較差的信息環境。［13］Devos等考察了股價同步性與分析師評級調整后的信息交易波動之間的關系，發現分析師評級調整后，R2較低的個股會受到價格、交易量、收益波動率以及買賣價差更強的影響，研究結果支持噪音假說。［14］

還有部分學者對一些特殊現象進行實證研究，發現這些特殊現象無法用傳統的信息假說進行解釋。Shiller通過對超額波動率進行研究，發現公司特質信息無法解釋超額波動率現象，因而認為噪音是引起股價波動的主要原因。［15］Chan等考察了股票增發定價期間的股價同步性與價格信息之間的關系，實證結果表明股價同步性與股票增發折價程度呈負相關，說明股價同步性越高，信息含量也越多，這與低R2的信息假說是矛盾的。［16］

在中國市場，許多學者也是對低R2的信息假說產生了質疑。孔東民和申睿利用一個零成本投資組合分別考察了低R2的信息假說和噪音假說，結果發現我國股市,低R2代表資產價格中包含了更多的噪音成分。［17］王亞平等的研究結果則發現公司信息透明度越差，股價同步性越低，這也說明較低的股價同步性意味著更多的信息噪音。［18］羅琦和付世俊在研究股權再融資過程中的市場擇時行為發現，控股股東的盈余管理行為會向市場釋放噪音信息，影響股價波動，導致股價同步性降低。［19］張永任等在分析股價同步性與股價中信息含量關系的基礎上，提出股價中信息含量與R2可能存在倒U字型關系的理論假說，并通過實證證實了該假說，進而認為較低的R2既可能是由個股特質信息所引起的，也可能源于更大的噪聲影響。［6］林忠國等利用非平衡面板數據進行的實證研究結果也是支持了倒U型的關系假說，認為不能簡單地將股價同步性等同于公司特質信息含量。［7］同樣支持倒U型的關系假說的還有代昀昊等。［20］

綜上所述，國內外研究已經從多個方面證明了噪音信息會對股價同步性造成影響，但具體到股價同步性與噪音之間究竟是怎樣的關系，學術界仍未有統一的認識，實證的結果也不盡相同。并且，已有文獻指出股價同步性與噪音之間是倒U型關系，這也預示著股價同步性與噪音之間的關系并非是簡單的線形關系。因此，已有的依據線性模型得出的實證結論就值得商榷了。本文以2000年至2014年上證50中部分股票的日交易數據為實證樣本，運用多重分形理論對股價同步性與噪音之間的關系進行實證分析，檢驗兩者之間關系的線形與否，并將其關系量化，進一步分析股價同步性與噪音的關系時變特征。

三、研究方法

1967年，Mandelbrot［21］首次提出了分形理論，用分數維度的視角和數學方法描述和研究客觀事物。為了研究不同數據集的長期交叉相關性，Podobnik和Stanley提出了去趨勢交叉相關性分析法（DCCA），在多個領域得到了廣泛應用。［22］為探究兩個交叉相關的非平穩時間序列的多重分形特征，Zhou結合DCCA方法和MF-DFA方法，提出了多重分形去趨勢交叉相關性分析法（MF-DCCA），將DCCA的二階局部趨勢推廣到了q階，用于研究兩個同時發生的具有自相關性的非平穩序列之間的相關性及其多重分形特征。［23］在實證方面，張永東［24］、盧方元［25］、宛瑩［26］、劉維奇［27］等人分別采用不同方法驗證了我國股票市場多重分形的存在，并分析了產生原因。Li等也利用MFDCCA方法發現了短期和長期的WTI原油和期貨市場之間的交叉相關性具有多重分形特征。［28］

MF-DCCA方法的基本原理如下［29］：

假設有兩個時間序列x（i）和y（i），i=1,2,…,N；N是時間序列的長度。

1.構造新的時間序列

其中，分別為兩個時間序列的均值。

2.把時間序列X（i）和Y（i）分成Ns=int［N/s］個不相重疊的子區間，每個子區間的長度為s。因為長度N可能不是子區間長度s的整數倍，為了能保證序列結尾的N-Ns×s的值也考慮在內，對時間序列的逆序做同樣的處理。這樣就可以得到2Ns個子區間。

3.在每一個子區間λ中，通過最小二乘法用多項式函數xλ和yλ擬合輪廓。對于λ=1,2,…,Ns，局部協方差函數為：

對于λ=Ns+1,…,2Ns，局部協方差函數為：

4.對所有子區間的局部協方差取均值，得到q階波動函數：

一般來說，q可以是非零的任意實數。當q=0時，根據洛必達法則可以得到：

5.計算不同標度s所對應的波動函數Fq（s）。如果兩個序列之間存在長期冪律交叉相關性，則波動函數Fq（s）和時間間隔s存在以下標度關系：

此式另一種表達形式為：

其中，標度指數Hxy（q）即為廣義赫斯特指數，是log（Fq（s））～log（s）函數關系圖的斜率。

如果Hxy（q）隨著q的不同而不同，則兩時間序列的其間的交叉相關性具有多重分形特征。當q=2時，Hxy（2）=H為赫斯特指數，H的取值范圍為（0,1）。若H=0.5，則表明兩時間序列各自不具有長程相關性，即時間序列可以用隨機游走來描述，且兩者間不存在長程交叉相關性；若0＜H＜0.5，則表明兩時間序列各自具有反持久性效應，且兩者間具有冪律關系式的反持久性效應的交叉相關性；0.5＜H＜1，則表明兩時間序列各自具有長程相關性，且兩者間具有冪律關系式的持久性效應的交叉相關性。此外，對應于q＞0，Hxy（q）描述了區間中的大幅波動行為；而對應于q＜0，Hxy（q）刻畫了區間中的小幅波動特征。

6.通過MF-DCCA得到的廣義赫斯特指數Hxy（q）與多重分形標度指數τ（q）關系如下：

7.若τ（q）與q是線性關系，則兩個序列的交互相關關系是單分形的。否則，呈多分形特征。進而通過Legendre變換，得到多重分形譜f（α）：

其中，α是描述時間序列奇異程度的奇異指數。f（α）為多重分形譜，反映了α的分形維數。

多重分形強度可以通過多重分形譜的寬度ΔH來度量。

ΔH越大，多重分形性就越強，市場風險就越大。

四、樣本選取與變量定義

（一）樣本選擇

考慮到數據可得性，研究樣本選取2000—2014年上證50中部分股票的日交易數據。股票樣本按以下原則進行選擇：第一，考慮行業的特殊性，剔除金融保險行業的股票；第二，考慮公司經營情況和財務狀況，剔除截至2016年曾退出過上證50成分樣本的股票；第三，考慮到數據的可得性和完整性，剔除數據缺失的股票。最終得到17只股票樣本。

（二）變量定義

1.股價同步性。根據已有文獻［1］［30］，本文通過下列模型對股價同步性進行估計：

其中，rit為第i個公司第t日的對數收益率，rmt為市場第t日的對數收益率。本文研究樣本為上證50中的部分股票，因此用上證指數收益率表示滬市市場回報率。對模型（12）進行回歸得到擬合系數R2。R2反映了個股股價變動能被市場波動解釋的部分，R2即越大，說明股價能反映公司特質信息的含量越少，股價同步性越強。

根據式（13）得到股價同步性的每日波動情況。

2.噪音。梁崴等［31］研究中國股市逐筆交易數據時發現，價差由于同時包含了流動性和信息非對稱兩方面的信息，對噪音具有較強的解釋能力，較大的價差代表較高的噪音水平。劉慶斌和姜薇在研究上證50成分股時也發現價差包含的噪音成分最多。［32］本文借鑒已有成果，利用相對有效價差來反映噪音水平的高低。相對有效價差每日波動情況如式（14）所示。

本文所用個股的R2數據來自于國泰安（CSMAR）數據庫，股票價差數據來自銳思（RESSET）高頻數據庫。

五、股價同步性與噪音的交叉相關性實證分析

（一）描述性統計

限于篇幅，本文僅列出中國石化、中國聯通、上海汽車和包鋼稀土數據，其他股票具有類似的結論。表1給出了個股股價的R2波動和價差波動的描述性統計。

從表1可以看出，R2和價差波動的Jarque-Bera檢驗p值均為0.001，在1%的顯著水平下拒絕了正態性的原假設，即說明R2和價差的波動序列都不符合有效市場假說中的正態分布假定，都是非正態分布。由表1還可以發現，R2波動序列均呈現出較明顯的左偏或右偏特性，峰度值都遠高于各自正態分布的峰值，具有尖峰厚尾的分布形態；價差的波動序列的左偏或右偏特性不明顯，但尖峰的分布形態則比較明顯。

（二）交叉相關性檢驗

為了從統計學上檢驗R2和價差兩者波動之間是否具有交叉相關性，本文參考Ruan等［33］的做法，采用Podobnik等［34］提出的一種新的交叉相關性檢驗指標Qcc（m）。

表1 R2波動和價差波動的描述性統計

對于兩個時間序列{xt,t=1,2,…,N}和{yt,t=1,2,…,N}，交叉相關性統計檢驗指標為：

其中，交叉相關函數為：

交叉相關統計量Qcc（m）趨近于自由度為m的χ2（m）。如果交叉相關性檢驗與χ2（m）吻合，則兩個時間序列之間沒有交叉相關性，否則兩個時間序列之間存在交叉相關性。圖1顯示了中國石化、中國聯通等四只個股的R2和價差的交叉相關性統計量。作為對比，在圖中同時作出了在5%置信水平下自由度為m的χ2（m）的臨界值，m的值從1取到1000。從圖1可以看出，在5%置信水平下，四只個股的R2和價差的波動序列之間的交叉相關性檢驗統計量均與χ2（m）的臨界值不重合，說明R2和價差之間具有交叉相關性。

圖1 交叉相關性檢驗統計量

（三）多重分形特征分析

但根據式（13－15）只能定性地檢驗序列間是否存在交叉相關性。我們將運用MF-DCCA方法量化R2和價差之間交叉相關性的大小，并對其多重分形特征進行分析。

圖2 雙對數波動曲線圖

圖2 顯示了R2和價差之間的波動函數Fq（s）隨著時間標度s的變化而變化的雙對數圖，設定時間標度s的取值范圍為8＜s＜N/4，N為時間序列的長度，波動函數的階數q以固定步長1在-10到10之間變化。從圖2可以看出，對于不同的q值，在一段時期內曲線基本呈現出線性關系，具有較好的冪律關系，這也就意味著R2和價差之間確實存在著交叉相關性。

再根據公式（7）-公式（11），得到R2和價差之間交叉相關性的多重分形特征圖，如圖3（a,b,c）所示。

圖3 多重分形特征圖

由圖3（a）可以看出，交叉相關性指數Hxy（q）隨q值不同而不同，Hxy（q）均不為常數，這表明R2和價差的交叉相關性具有多重分形特征，這也意味著用單一分形模型對其進行描述是不合適的。而根據公式（6）可知，當q=2時，交叉相關性指數Hxy（q）即為廣義Hurst指數。結合圖3（a）可以發現，當q=2時，R2和價差的交叉相關性指數Hxy（q）均小于0.5，表明R2和價差的交叉相關性具有較明顯的反持續性，即R2增大，價差減小，反之亦然。這意味著較低的R2對應著較多的股價噪音。因此，本文基于多重分形視角的R2與噪音交叉相關性的實證結果支持“低R2代表更多噪音”的已有結論。

根據公式（8），可以得到Renyi指數τ（q）對q值的函數關系圖，如圖3（b）所示。從圖3（b）可以看出，R2和價差的τ（q）都非線性依賴于q，且表現為凸的遞增函數，這也證明了R2和價差的交叉相關性具有多重分形特征。

再依據公式（9）-（10），可以計算出H?lder指數αxy（q）和多重分形譜fxy（α），得到R2和價差的多重分形譜f（α）～α圖，見圖3（c）。如果多重分形譜表現為一個點，則為單分形；否則，即存在多重分形。觀察圖3（c）可以發現，沒有一個多重分形譜是以點的形式存在，這進一步說明R2和價差的交叉相關性具有多重分形特征。其中，αxy的最大值與最小值之差即為多重分形譜寬度△αxy，可以用來反映多重分形的強度。多重分形譜寬度越寬，多重分形強度越大；多重分形譜寬度越窄，多重分形強度越小。正如圖3（c）所示，中國石化的R2和價差的多重分形譜寬度最大，這說明中國石化的R2和價差的交叉相關性走勢分布更為分散，波動的絕對幅度更大，其多重分形強度在四只個股中最大。

實證樣本中，除上述4只股票之外的其他股票也都表現出相似的多重分形特征：R2和價差之間的交叉相關性指數Hxy（q）隨q值不同而不同；τ（q）都非線性依賴于q，且表現為凸的遞增函數；多重分形譜都沒有以點的形式存在。綜上所述，R2和價差之間存在交叉相關性，并表現為反持續性，且其交叉相關性具有明顯的多重分形特征。

六、滾動窗口分析

已有研究認為，股價同步性與噪音并不存在簡單的線形關系。前文利用多重分形方法也證實：R2和價差的交叉相關性存在多重分形特征，通過單一分形模型對兩者關系進行描述是不合適的。下面對R2和價差的交叉相關性做進一步的分析，深入研究兩者關系的變化特點。

自Cajueiro和Tabak［35］開始，滾動窗口分析就被應用于金融時間數據的研究，以探究外部事件可能的影響。為了得到R2和價差的交叉相關性的日度動態變化，本文也采用滾動窗口分析方法。其中，滾動窗口分析的窗口期長度是滾動窗口分析方法的關鍵，應適應各種研究的需要而設置。為了捕獲到全樣本交叉相關性的動態特點，我們借鑒Ruan和Wang［33］的做法，將滾動窗口分析的窗口期設定為250天。首先，我們將時間序列的前250天移除，設定q值為2，計算交叉相關性指數Hxy（q）；然后將樣本向前滾動一天，重復上述步驟直至樣本末端。通過上述步驟得到的交叉相關性指數Hxy（q）序列如圖4所示。

可以看出，R2和價差的交叉相關性指數主要在0.5以下，R2和價差呈反持續性關系，即價差增大，R2降低，意味著當市場噪音增多時，個股股價同步性會減弱，表明較低的股價同步性與較高的市場噪音密切相關。這也與已有關于股價同步性研究中的噪音解釋［8］［13］［17］［18］是相一致的。并且還可以發現，雖然R2和價差存在反持續性特性，但其反持續性強度是不斷變化的，說明股價同步性與噪音之間的反持續性具有強弱上的波動。因此，由圖4可以看出，股價同步性與噪音的關系主要表現為反持續性特征，但其關系強度并非恒定，而是始終處于波動狀態。

盡管在大多數情況下，R2和價差的交叉相關性指數在0.5以下。但從圖4也可以發現，在個別時期，R2和價差的交叉相關性指數迅速趨近于0.5，說明R2和價差的反持續性非常微弱；甚至R2和價差的交叉相關性指數大于0.5，即R2和價差表現為正持續性，價差增大，R2也增大。這意味著在個別時期，股價同步性與噪音的反持續性變得非常微弱，甚至轉變為正持續性，當噪音增多時，股價同步性也相應增強。再將R2與R2和價差的交叉相關性指數結合起來看，又可以發現一個重要現象，即上述的“個別時期”通常是R2發生斷崖式下跌時；換言之，當R2發生斷崖式下跌時，交叉相關性指數會迅速攀升接近0.5，或是大于0.5。

圖4 R2與價差的交叉相關性Hxy（q）及R2

綜上，股價同步性與市場噪音并非是簡單的線性關聯，而是具有多重分形特征的動態非線性關系。在多數情況下，由于噪聲、泡沫和非理性行為等因素［8］，股價同步性與噪音主要表現為反持續性特征，即更低的R2意味著更多的噪音。而當股價同步性出現斷崖式下跌時，考慮到噪音作用需要一段過程，此時股價同步性的下跌更多是受公司特質信息的影響，且很可能為指向性較明確的特質信息，因此此時噪音相對較少。表現在外，即股價同步性發生斷崖式下跌時，R2與噪音的反持續性迅速減弱，或轉變為正持續性，噪音隨著股價同步性的下降而減少。

七、研究結論及啟示

本文從多重分形理論視角，利用交叉相關性檢驗、多重分形去趨勢交叉相關性分析及滾動窗口分析法對股價同步性與噪音的動態關系進行了實證研究，得到了以下結論：

一是較低的R2意味著較多的股價噪音。通過多重分形去趨勢交叉相關性分析法得到股價同步性與噪音的交叉相關性指數（q=2）均小于0.5，說明股價同步性與噪音表現為反持續性。

二是通過交叉相關性檢驗證明股價同步性與噪音之間存在交叉相關性，并通過Renyi指數和多重分形譜發現股價同步性與噪音之間的交叉相關性具有多重分形特征。這也驗證了股價同步性與噪音之間并不是簡單的線形關系。

三是借助滾動窗口分析，發現股價同步性與噪音的交叉相關性主要表現為反持續性，但其關系強度存在較大的波動性；而當股價同步性發生斷崖式下跌時，R2與噪音的反持續性迅速走弱，或轉變為正持續性，噪音隨著股價同步性的下降而減少。前者從多重分形視角驗證了“低R2代表更多噪音”的已有結論；后者關系的變化推測是受公司特質信息的影響而產生。

以上結論對我們思考理性投資和資本市場監管啟示如下：

第一，雖然本文的實證結果顯示目前中國市場仍是以噪音交易為主，但本文并不否認信息對股價同步性的影響，股價同步性斷崖式下跌時的反持續性減弱及轉向也說明了信息會影響股價同步性。因此，投資者在分析股價同步性時，要明確是公司特質信息還是市場噪音引起了股價同步性的波動，不能簡單的將股價同步性作為公司特質信息或市場噪音的衡量指標。

第二，股價同步性與噪音的反持續性表明低R2代表了更多噪音，意味著上市公司股價的特質波動更多是非理性投資行為的結果。因此，本文結論對證券監管也具有重要的啟示：證券監管部門一方面要持續推進證券市場的法規建設和完善信息披露制度，提高信息傳遞渠道的有效性，減少市場噪音的產生，推動有效市場的建立；另一方面應更積極地規范和引導投資者行為，提高投資者分析和利用信息交易的能力，由噪音交易向信息交易轉變，促進市場的理性化。

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