平行四邊形在梯形中的最大論述

◎何華芳

經人民教育出版社授權，經貴州省中小學教材審定委員會審查通過，配人教版新編五年級《數學》教科書以及《家庭作業》上冊第60頁，培優提升第6題。在下面的梯形中，剪去一個最大的平行四邊形，這個平行四邊形的面積是多少？有幾種剪法？

平行四邊形面積：20×25=500㎝2，我們先把上面的問題放一放，對小學數學中的幾個幾何圖形進行深入的了解，對前面這個問題有幫助的。

在小學數學中，有三條線段圍成的封閉圖形叫三角形。有四條線段圍成的封閉圖形叫四邊形。在四邊形中，四個角都是直角，四條邊都相等的圖形叫正方形。四個角都是直角，兩組對邊相等的圖形叫長方形。兩組對邊平行的四邊形叫平行四邊形。一組對邊平行的四邊形叫梯形。根據這些圖形的特點，我們可以歸納為：三角形具有穩定性。在實際生活運用廣泛。正方形、長方形具有特殊性，平行四邊形的變易性，由四根木條釘制成的平行四邊形，它的大小，，我們可以從0拉到最大為長方形（或正方形）。梯形在它們當中屬于不規則性。

如果我們在一個長方形中剪去一個最大的正方形，我們以長方形的寬為邊長所剪去的正方形為最大正方形，這是由正方形和長方形的特殊性決定的。

我們用同樣的理念和方法在梯形中剪去一個最大的平行四邊形，就是以梯形的短邊為平行四邊形的底，所剪去的平行四邊形的最大（兩種剪法）。平行四邊形具有易變性，梯形具有不規則性，這種方法會不會有誤差呢？

如果我們用長方形中剪去一個最大的正方形的方法，在梯形中剪去一個最大的平行四邊形，短邊為0，顯然這個方法是不對的。

在梯形中剪去最大平行四邊形。由于平行四邊形的易變性和梯形的不規則性，常見的兩種剪法，是否正確？我們進行進一步的研究。

我們把五年級上冊數學《家庭作業》第60頁培優提升第6題來研究。我們首先把題中的梯形ABCD延伸使它成為穩定梯形ABE（圖二）。

若新的梯形CDE的高為h，那么梯形ABE的高為25+h。根據相似三角形的有關定律得，求得h=15.625㎝，那么梯形ABE的高是15.625+25=40.625㎝。在梯形ABE中取中位線FG，FG=26㎝（圖三）

那么以梯形ABE的中位線為平行四邊形剪去一個平行四邊形AHGF。平行四邊形AHGF的高為40.625÷2=20.3125㎝。平行四邊形AHGF的面積：26×20.3125=528.125㎝2，同樣可以剪去平行四邊形HBGF。梯形ABFG在梯形ABCD中，以CD為平行四邊形的底邊剪去的平行四邊形不算大。

由于平行四邊形的易變性和梯形的不規則性，以梯形的短底為平行四邊形的底所剪去的平行四邊形（兩種情況）為最大平行四邊形是否存在？

我們對圖三進行深入的研究，不難發現，在圖中剪去最大的平行四邊形，應該在穩定梯形ABE的中位線FG處為平行四邊形的底所剪去的平行四邊形為最大（當然，如果是在梯形AEB中就不只是兩種情況，那是四種情況）。隨著中位線的兩側為底剪下的平行四邊形越離中位線距離越遠，平行四邊形越小，最后為零。

在這個時候，在中位線的一側，也就是梯形長底邊的形成為最大（兩種情況）是正確的。

我們研究平行四邊形在梯形中最大，運用了中學知識，在小學教學中如何把握這部分知識，根據上面是闡述，總結為：梯形的短底的2倍小于或等于梯形的長底。那么以梯形的長底的一半為平行四邊形的底剪去的平行四邊形為最大。梯形的短底的2倍大于梯形的長底，那么以梯形的短底為平行四邊形的底剪去的平行四邊形為最大。