“數(shù)形結(jié)合”在一次函數(shù)與一元一次方程、一元一次不等式中的應(yīng)用

◎黃慧姬

一、“數(shù)形結(jié)合”的內(nèi)涵及重要性

“數(shù)形結(jié)合”是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)思想方法，它應(yīng)用大致分為兩種情形：（1）“以數(shù)解形”借助于數(shù)的精確性、規(guī)范性、嚴(yán)密性來闡明形的一些屬性（2）“以形助數(shù)”借助形的直觀性、生動(dòng)性來闡明數(shù)與數(shù)之間的聯(lián)系。所謂數(shù)形結(jié)合，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形之間的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法。

我國(guó)著名的數(shù)學(xué)家華羅庚就說過：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休。”道出了“數(shù)形結(jié)合”思想的重要性及重大意義。“數(shù)形結(jié)合”既是一種重要的數(shù)學(xué)思想也是一種常用的數(shù)學(xué)方法。數(shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)解題中有著重要的指導(dǎo)意義，這種“數(shù)”與“形”的信息轉(zhuǎn)換，相互滲透，不僅可以使一些題目化繁為簡(jiǎn)、化難為易、化抽象為直觀，同時(shí)還可以開拓解題思路、提高解題能力，為解決數(shù)學(xué)問題開辟了一條重要的途徑。又特別是對(duì)抽象的、復(fù)雜的函數(shù)問題，一定要學(xué)會(huì)用“數(shù)形結(jié)合”的思想來解決。

二、“數(shù)形結(jié)合”在一次函數(shù)與一元一次方程的應(yīng)用

1.一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系 一次函數(shù)與一元一次方程有著密切的聯(lián)系。求一元一次方程kx+b＝0（k，b是常數(shù)，k≠0）的解，從“數(shù)”的方面看：轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)就是求函數(shù)y＝kx+b，當(dāng)y＝0時(shí)，X的值；從“形”的方面看：就是求直線y＝kx+b與X軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。

可是數(shù)學(xué)概念的形成是很抽象的、很難理解的，又特別是對(duì)于剛剛接觸函數(shù)內(nèi)容的初中學(xué)生來說，像以上的概念根本無法理解。所以作為老師的我們就應(yīng)該尋找方法把抽象的問題直觀化、把復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化，其中“數(shù)形結(jié)合”的方法就是一種很不錯(cuò)的選擇。

例如：我通過以下問題的設(shè)計(jì)，讓學(xué)生通過問題利用“數(shù)形結(jié)合”的方法能夠真正的理解一次函數(shù)與一元一次方程之間的密切關(guān)系：

（1）方程2x-4＝0的解是

（2）函數(shù) y＝2x-4中，當(dāng) y＝0時(shí)，x＝

（3）畫出函數(shù)y＝2x-4圖象，圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是__________：

你有什么發(fā)現(xiàn)？

2.“數(shù)形結(jié)合”在解題中的滲透 數(shù)學(xué)研究的對(duì)象是數(shù)量關(guān)系與幾何圖形，數(shù)和形既是對(duì)立的又是統(tǒng)一的，并且在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化，綜合運(yùn)用。數(shù)量關(guān)系可以通過圖形直觀的表示出來，然后應(yīng)用幾何圖形的知識(shí)解答有關(guān)代數(shù)的問題；另一方面，有關(guān)圖形的性質(zhì)也可通過數(shù)量關(guān)系來計(jì)算和描述，從而達(dá)到利用代數(shù)的方法來解決幾何的問題。例：某種摩托車的油箱最多可儲(chǔ)油10升，加滿后，油箱中的剩油量y（升）？與摩托車行駛路程x（千米）之間的關(guān)系式如圖所示。

根據(jù)圖象所提供的信息，回答下列問題：

（1）一箱汽油可供摩托車行駛多少千米？

（2）摩托車每行駛100千米消耗多少升汽油？

（3）油箱中的剩余油量小于1升時(shí)，摩托車將自動(dòng)報(bào)警，行駛多少千米后，摩托車將自動(dòng)報(bào)警。

三、“數(shù)形結(jié)合”在一次函數(shù)與一元一次不等式的應(yīng)用

1.一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系 求ax+b＞0（或＜0）（a，b是常數(shù)，a≠0）的解集，從“數(shù)”的方面看：轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)就是函數(shù)y＝ax+b的函數(shù)值大于0（或小于0）時(shí)x的取值范圍；從“形”的方面看：直線y＝ax+b在X軸上方（或下方）時(shí)自變量的取值范圍。

在這個(gè)內(nèi)容中，學(xué)生考試失分率很高，主要的原因是學(xué)生不會(huì)把函數(shù)關(guān)系式或函數(shù)圖象與一元一次不等式聯(lián)系起來。為了解決這個(gè)問題，我們應(yīng)該充分的利用多媒體的輔助教學(xué)，制作微視頻，直觀地呈現(xiàn)教學(xué)素材，讓枯燥的理論知識(shí)直觀化、形象化、生動(dòng)化，訓(xùn)練學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題，從而提高學(xué)生的理解能力和思維能力，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。

2.“數(shù)形結(jié)合”在解題中的滲透 例：如圖是一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象，

（1）則關(guān)于x的不等式kx+b＞0的解集為_________；

（2）則關(guān)于x的不等式kx+b＜0的解集為__________；

（3）當(dāng)0＜x≤2時(shí)，y的取值范圍為 。

分析：這個(gè)問題可以有兩種解決方法（1）從“數(shù)”的角度去解決：由圖形可以知道一次函數(shù)圖像都經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，所以可以通過A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)先求出一次函數(shù)的解析式，再解相關(guān)不等式的解集。但這種方法需要的計(jì)算量及時(shí)間比較大，而且對(duì)第三題的解題過程又容易出錯(cuò)。（2）從“形”的角度去解決：不用計(jì)算，觀察圖形由A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)可以直接得出所有的問題的答案，顯然第二種方法比較省時(shí)省事。但是不管是哪一種方法都必須把“數(shù)”與“形”有機(jī)結(jié)合起來才能解決問題。因此“數(shù)形結(jié)合”是一種很重要的數(shù)學(xué)思想，它滲透在數(shù)學(xué)教學(xué)中的每個(gè)知識(shí)點(diǎn)。但學(xué)生對(duì)于這種思想的掌握又很困難，在解題中作為數(shù)學(xué)老師要做好這種“數(shù)”與“形”關(guān)系的揭示與轉(zhuǎn)化，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)問題中的實(shí)質(zhì)——數(shù)學(xué)知識(shí)的精髓，不斷地去引導(dǎo)學(xué)生將“數(shù)”轉(zhuǎn)化為“形”，同時(shí)還能夠?qū)ⅰ靶巍鞭D(zhuǎn)化為“數(shù)”，并能把“數(shù)”與“形”有機(jī)的綜合起來靈活應(yīng)用，最終才能將知識(shí)轉(zhuǎn)化為自己內(nèi)化的東西，形成能力。