新加坡MPH教材應用題“模型圖”簡介與教學啟示

摘要：近年來，新加坡的課程體系備受國際數學教育界的廣泛關注，其與我國國內教材最大的不同是新加坡教材使用的“模型圖”，這種模型圖在解決應用題過程中起著非常重要的作用。本文對國內人教版教材與新加坡MPH教材應用題圖示表征的特點、呈現方式、指導方法三個方面進行比較，并提出幾點相關的教學建議。

關鍵詞：模型圖;表征;應用題

近年來因新加坡學生在TIMSS測試中的表現杰出，新加坡的課程體系備受國際數學教育界的廣泛關注。筆者在中國和新加坡教材比較中，發現新加坡教材表征應用題的“模型化方法”與我國教材有很大不同。

“模型化方法是指在問題解決過程中，通過畫一個模型或者示意圖而對問題做出表征。”新加坡教材中的“模型或者示意圖”（以下統稱“模型圖”）是怎樣的？教材中又是如何引導學生畫模型圖的？模型化方法給我們的教學帶來怎樣的啟示呢？

一、新加坡教材模型圖簡介

1.新加坡教材的模型圖是怎樣的

新加坡小學教材中大量使用的模型圖，有些文章中也稱之為色條圖或者矩形圖（如下圖1）。這種模型化方法自引入以來，便成為新加坡教材中一個顯著的標志。學生通過這一模型可直觀地表達出已知信息與未知信息之間的關系。

2.矩形圖有怎樣的優勢

與新加坡教材相比，我國教材中則大多數使用線段圖。矩形圖和線段圖都具有可視化的優勢，有利于學生發現問題中的數量關系，進而達到解決問題的目的。這兩種圖形各有優劣。從簡化程度來講，線段圖更勝一籌，它以線段長短、變化表達數量關系，簡潔易懂且作圖容易。但從意義的建構來說則矩形圖更勝一籌，因為矩形圖是二維的，長邊寬邊都可以被分割成更小的單位，所以這種模型更適用于解決復雜的、多步驟的問題，如一些圖形的面積應用問題、數的認識、數的計算、測量等方面。

二、新加坡教材模型圖的編寫有怎樣的特點

1.始終使用模型圖表征數量關系

與我們國內教材豐富多元的表征方式不同，新加坡教材一年級至六年級只采用矩形圖表征數量關系的。這兩種方式各有利弊。多元的表征給學生提供了更多解題策略的選擇，但是對于小學生尤其是低段學生來說，過多的方法可能造成兒童表征時不知如何選擇的問題。新加坡統一的表征方式，解題策略比較單一，但正因為始終如一，使得畫圖法成為老師講授和學生解題過程中必不可少的一個環節，利于學生對模型圖畫法的掌握。

2.表征數量關系的模型始終一致

對于一步計算應用題，新加坡教材呈現的是以下三種模型（如下圖2到圖4所示）。

兩者相比，兩幅圖表征雖然沒有一幅圖簡潔，且作圖相對麻煩，但是對于剛開始學習兩步計算應用題的低年級小學生來說，把兩步計算應用題分解成兩個一步計算應用題，再歸到上面三種模型中，不管是讀圖還是作圖都比一幅圖容易一些。另外，畫第二幅圖需要第一幅圖中的關鍵信息，而這一信息就是我們常說的“中間問題”，也就是說學生在畫圖的時候必須同時分析數量關系、尋找中間問題，這對于正確解答兩步計算應用題是很有價值的。

3.采用循序漸進的呈現方式

新加坡教材循序漸進地向學生講授矩形模型圖，如下圖7到圖9所示，從積木實物圖抽象到矩形圖，從完整地呈現到需補充部分數量，從一幅圖到兩幅圖，由形象到抽象，由簡單到復雜，直至學生能熟練應用該模型解決問題。

三、對我們的教學啟示

強調動手操作，強調學生理解數學知識的發生過程是近年來我國數學課程改革的重要理念。但在課程實施過程中尤其是在應用題教學中，如何體現一直是一線教師較為困惑的一點。新加坡“模型化”思想值得我們借鑒。

1.統一認識，圖式表征應成為解決問題必不可少的過程之一

對于處在從形象思維過渡到抽象思維階段的小學生來說，作為使抽象的數量關系可視化的模型圖，在問題解決過程中有著非常重要的作用，它可以幫助學生深刻理解數學基本概念，幫助學生分析數量關系，提供解決問題的有效方法。模型圖在我們的教材中曾一度被淡化，這幾年又開始被重視，希望能進一步得到落實并逐步完善。

2.系統教學，構建模型圖的學習序列

如上面所述，新加坡學生學習并掌握“模型圖”并不是一蹴而就，而是有一個循序漸進的過程。我國教材中的線段圖模型，不僅應用沒有新加坡矩形模型廣，而且缺乏系統的教學，使得學生感覺畫圖困難，從而并未發現圖示表征的作用。因此有必要對圖示法進行系統教學，構建科學的學習序列。結合我國傳統，建議從低年級開始就系統地講授線段圖模型，不僅設置相應課時，而且要有目標、有步驟地實施教學，構建學生學習的序列。當然，為避免表征方式單一，在掌握線段圖模型的基礎上，高年級可以開始介紹其他表征方式，尤其抽象能力強的孩子可以根據不同的問題有不同的思考方式，無需每次借助直觀表征。

3.關注過程，實現模型圖的“模型化”

在比較中還發現，我們的“模型圖”只是作為學生解題過程的一個輔助策略，最終的評價標準是學生是否給出準確的算術式，因此學生解題時往往只關注結果而忽略了解題的過程，久而久之部分學生即便碰到難題也想不到用畫圖等方法幫助解決。而新加坡教學非常注重過程，有些問題學生必須通過畫矩形圖來表征數量關系，學生在這一過程中借助圖形思考，提高分析數量關系的能力，建議我們的教學借鑒。

參考文獻：

[1]孟艾菊.中新小學數學教材中問題解決比較研究[J].資源縱覽，2014（9）.

[2]張文宇.《新加坡小學數學教材的特色及啟示》[J].數學教育學報，2011（8）.

[3]王兄.《新加坡小學數學課程實施的方法：CPA模型與‘模型圖》[J].外國中小學教育，2010（6）.

作者簡介：歐景升，溫州市籀園小學，單位地址：浙江省溫州市鹿城區勝昔橋54號，郵政編碼：325000。