數學課堂教學引入部分的關聯與化歸

摘 要：數學素養的養成是學生發展的長遠之道，關聯與化歸是數學核心素養表象. 數學教學中引入部分是一堂課的開端，也是核心素養培養的開始階段. 在課堂引入部分設計中關聯與化歸的有機統一，對于培養學生的數學思維，促進學生全面發展起著重要的作用.

關鍵詞：圓；概念；數學素養；關聯；化歸

數學核心素養是指學生通過數學學習之后，除去數學知識之外所應該具備的數學能力和解決問題的數學態度.數學教學并非是一味地進行數學知識的傳授，數學素養的養成才是學生發展的長遠之道.

一堂有深度的數學課，應該有思想的滲透，培養學生擁有思考問題的方法和解決問題的能力，使學生在遇到問題時，能夠關聯已有的知識、方法或思想，將其融會貫通.一旦找到問題之間的關聯點，問題就會隨之解決.

一、關聯與化歸

劉堤仿教授在指導省名師工作室活動時指出，數學素養是人的數學學科潛能，其核心表象是關聯與化歸.化歸好比是心臟的收縮功能，關聯好比心臟的舒張功能.因此，我們所追求的數學課堂，應該滲透數學思想，培養數學素養，為學生全面終身發展打下基礎.

宇宙萬物都存在內在的聯系，不是孤立的.當然數學的教學和學習也是如此，數學知識和內容也不是孤立存在的，有著一定的關聯.數學中的關聯是指能夠將碰到的新知識與原有的知識結構體系相聯系，達到知識的遷移與構建.從心理學上來講，關聯是一種“學習遷移”，是一種學習對另一種學習的影響和關聯.

教學目標引領著整堂課的教學，數學課程目標主要使用 “了解”“理解”“掌握”“運用”等表述[1]4.但是不管哪種水平實際核心是理解.了解是最初步的理解水平，掌握、應用則是進一步的理解.而理解就需要對整個知識體系結構產生關聯.

對于理解水平的分類，比格斯提出了SOLO分類理論，主要分為五個層次，一是前結構層次，二是單點結構層次， 三是多點結構層次，四是關聯結構層次， 最后是拓展抽象結構層次[2].關聯結構是五個層次中最主要的，也就是在多元結構的基礎上學生能夠將線索和知識有機聯系在一起，從整體來分析問題.形成一個有機的、相互聯系的整體框架，從整體上來把握，并且拓展抽象層次是在關聯的基礎上的進一步理解和應用[3].

數學中的化歸是將數學問題由未知化已知，由煩瑣化簡潔，由困難化容易.法國數學家笛卡爾曾提出：宇宙間所有的問題都可以轉化為數學問題，而數學問題都可以轉化為代數問題.匈牙利著名數學家Pozsa Peter指出：數學家們往往不是對問題進行正面解決，而是不斷將它進行變形，最后直到把它轉化為已經得到解決的問題[4].數學化歸思想是在解決數學問題過程中一種重要的思想方法，幾乎所有的解題都離不開數學的化歸.

化歸從字面意思上理解可分為轉化和歸納，就是將比較復雜的問題轉化為簡單的問題，將未知的問題歸納為已知的、已經解決了的問題.化歸能有效地幫助學生進行思考，培養學生分析問題、解決問題的能力，為將來終身學習打下基礎.

數學教學中引入部分是一堂課的開端，也是核心素養培養的開始階段，是掌握數學知識的前提，是學生進行數學思維的前提.一個好的開端猶如比賽時跑好第一步，對學生理解概念非常重要.因此，筆者針對浙教版九年級上冊3.1圓這堂課的概念引入部分進行分析， 探討如何引入才能有效培養學生的數學素養.

二、典型案例

圓這堂課是圓的基本性質這一章的起始課，學生在小學已經積累了有關圓的一些經驗，本節課主要是讓學生能夠理解圓的相關概念，了解點與圓的位置關系.圓是一種特殊的圖形，它對培養學生的數學思維能力有著重要的價值.而一堂課好的引入也是學生思維發展的開始，因此下文主要針對圓的概念引入部分進行分析.

（一）單一關聯引入

單一或單點的關聯，即一種線性的關聯.根據SOLO分類理論，這種層次在理解問題時不能融會貫通，只能是單方面或從一個角度來分析問題.只是理解了其中一個方面或只看到了表面現象，不能將各個信息進行關聯，過于片面或單一，沒有關注信息本身的內部聯系.單一關聯的引入，指教師在概念的建立過程中是直接開門見山地告知，沒有在學生已有的知識體系的基礎上進行適當的聯系.

【案例1】

師：同學們，小學里我們對圓已經有了初步的認識，那什么是圓呢？（PPT展示圓如圖1）來看一下屏幕，這是什么圖形？

生：圓.

師：你會畫圓嗎？我們可以借助什么工具？

生：可以用圓規畫圖.

師：很好，那請同學們用圓規畫出一個圓.

（接下來學生動手作圖）

師：那什么樣的圖形可以稱之為圓呢？（緊接著教師邊畫邊講）以定點為圓心，定長為半徑的點組成的圖形叫作圓.或是在同一平面內，到一個定點的距離都相等的點組成的圖形.

【分析】本節課教學目標是理解圓的概念，對圓的概念是處于理解層次水平.這位教師對于圓的概念的引入是開門見山，直接給出.學生最多也只是停留在了解的層次.此時學生處于一種被動狀態，如果長期如此，就會養成等待著老師來告知和灌輸的習慣.在今后的學習中，學生在提取信息時也只能純粹靠記憶來進行回憶，沒有真正理解知識內在的關聯.

（二）多元關聯引入

多元或多向關聯，即是一種多方面的關聯.對于某個問題學生能找到多方面的線索之間的關聯，進行有機地整合，將一些零散的珠子串聯在一起.在數學教學中，學生能把已知的數學內容與已有的知識體系及生活經驗建立起一定的聯系.當碰到新問題產生認知沖突時，能夠從原有知識庫中提取相關聯的信息幫助理解新的內容.

【案例2】

師：在網上幫父母購買過火車票的同學，想必都碰到過圖2中的圖像驗證題.

師：同學們能找找哪些圖像與圓相關嗎？

生：圖片（3）、圖片（4）、圖片（5）、圖片（6）、圖片（8）.

師：很好，這些圖像都與圓有關，小學里我們已經認識了圓，會用圓規畫一個適當的小圓.那如果我們想在操場上畫出半徑為5m的圓，你會畫嗎？（接著引出圓的概念）

【案例3】

師：班會課上班主任組織同學們在操場上玩套圈的游戲，有5位同學呈一字排開（如圖3）.你覺得這樣的套圈游戲對每個學生公平嗎？

生：不公平.

師：為什么？

生：因為這5個同學到物體的距離不相等，因此每個同學套中的概率也不一樣.

師：那你能幫助這位班主任老師設計出合理的套圈方案嗎？

生：可以讓這5個同學站成一個圓形.

師：如何畫出這樣的一個圓？

生：可以用一根棍子固定在放置物體的位置，量取3m長的繩子繞著棍子旋轉一周就可以確定一個圓.（接著引出圓的概念）

【分析】兩位教師都是從實實在在的生活中的問題引入新課，讓學生體驗生活與數學的聯系.許多生活中的問題都可以轉化為數學問題進行解決.課程標準指出，在數學課程中要注重發展學生的模型思想，即學生能將數學和外部世界進行聯系[1]7.這兩位教師都是從現實生活中抽象出數學問題，采用具體圖像利用數形結合抽象出本質.案例2的教師利用外沿是圓形的實例，讓學生直接體驗圓這個圖形的形象，增加對圓的感性認識，為抽象出圓的定義做好準備.這樣的引入設計讓學生的直覺思維、形象思維得以提升.案例3的教師通過游戲的設計，慢慢引導學生發現公平的游戲設計應該是每個學生到套圈物體的距離相等. 通過關聯圓的知識，將游戲公平性問題化歸為圓的概念問題，從而為抽象出“平面上到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形叫作圓”的概念做鋪墊.

（三）拓展關聯引入

拓展層次的關聯是要求的最高層次，是在知識、方法上更深層次的，是超越教學跨越數學學科的關聯.學生能綜合各種信息來分析問題，能根據事物的特點抽象出問題的本質.此種關聯的引入能很好地激發學生的抽象思維.

【案例4】

師：今天，老師帶領大家領略一下老子的《道德經》，在第十一章中講到：“三十輻共一轂，當其無，有車之用.埏埴以為器，當其無，有器之用.鑿戶牖以為室，當其無，有室之用. ”

師：意思是三十根輻條湊到一個車轂上，正因為中間是空的，所以才有車的作用.黏土做成器具，正因為中間是空的，器具才有作用.鑿了門窗蓋成一個房子，正因為中間是空的，房子才有作用.此句話中也蘊含著數學知識，如我們所見的車輪都是什么樣子的？

生：圓形的.

師：為什么是圓形的？方形的可以嗎？

生：當然不可以了.

師：為什么不可以呢？今天我們繼續來探討有關圓的相關知識.（引出圓的相關概念，同時利用輻條以及車轂引出圓心和半徑的概念）

【分析】案例4的教師是通過老子的《道德經》文化背景的引入，超越了數學學科到語文學科領域.學生通過文字語言形成圖形語言，又從具體的形象抽象出圓的本質特征，讓學生體驗了更高層次的關聯，最終化歸為解決圓的問題，培養了學生的應用意識和創新意識.

三、教學反思

（一）實例和具體形象的選取及設計要注重關聯

案例2中教師為了讓學生對圓有一個初步的感知，設計了一系列的圖像.如自行車車輪、鐵環、水滴形成的圓、樹的年輪、靶，這些圖像都有圓的形象.設計的圖像中水滴、年輪、飛鏢的靶這些形象其實就是同心圓.這為后面學習同心圓的概念以及圓心角定理強調要在同圓或等圓中的反例做好了鋪墊.在自行車這個圖像中其實也關聯了很多圓相關的知識.如圖4，每一條輻條可以看成是圓的半徑，車轂是圓的圓心，只有這些輻條都相等，即同一平面內，到一個定點的距離都相等的點組成的車輪在行進過程中才不會出現顛簸.另外鏈條與鏈輪之間的關系可以抽象成是直線與圓相切的問題.在滾鐵環的游戲中也有著切線的相關問題.如圖5樹木年輪呈現是通過工人在鋸樹木的過程中慢慢出現的.隨著這一運動的進行，圓中相關弦、弧的概念以及直線與圓的位置關系也就可以順理成章地引出.這是一種運動辯證發展的關聯，對培養學生辯證思維以及了解知識的發生過程和知識間的內在聯系有一定的促進作用.

因此，在教學引入部分的設計中要注重關聯.這種關聯可以涉及文化、科學、技術，有利于培養學生的思維以及解決問題的能力.設計的內容不能讓學生被動地等待著教師的灌輸，而是要能夠讓學生在課堂上體會到多方面的關聯，化歸為某一類型的問題，之后能夠內化為自身的素養.使學生產生思考和質疑，在潛意識中滲透關聯和化歸思想，來提升學生的數學素養.

（二）讓關聯與化歸形成血液循環系統

關聯與化歸的有機統一，讓整個血液循環系統能夠運轉起來，才能使心臟跳動，血液流動.在解決某個問題時，通過關聯能找到多方面的線索，能夠發現各線索之間的聯系，對線索進行有機地整合，把這些血脈連接到心臟.心臟在處理中使用一種手段，通過變化的方式將問題進行轉化，將新問題轉化為舊問題，從未知領域轉到已知領域，最終得以有效解決問題.關聯和化歸是難舍難分的，心臟沒有血液將難以跳動，血液沒有心臟將無法流動，兩者是相輔相成的.

有深度的課堂應該是培養學生的數學思維，促進學生全面發展，用數學眼光和數學頭腦去解決問題和看待世界.數學核心素養是學生全面發展的根本目標和基礎，也是數學教學的核心和靈魂.因此如何進行有深度的課堂教學，如何在課堂教學中培養數學思維和素養是我們值得探索的.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]蔡永紅.SOLO分類理論及其在教學中的應用[J].教師教育研究，2006（1）：34.

[3]朱培培.在認知水平下的初中數學教師課堂教學行為研究[D]. 杭州：杭州師范大學，2015.

[4]孫西洋.中學數學化歸思想方法的教學策略[J].江蘇教育（中學教學），2013（1）：38-40.