設計單元整體復習驅動數學思維生長

顧大權

摘 要：數學復習課要在已有知識的基礎上，系統回顧知識，經歷知識的發展完善過程，感受數學研究的思路方法，感悟數學思想，驅動數學思維生長.借助于單元整體復習可以整合核心的知識內容，反映知識的本質，重構教學價值，更好地發展學生的思維.

關鍵詞：單元復習；整體復習；思維生長

數學是思維的體操，數學課堂是思維活動的課堂，數學課堂教學的目的是讓學生學會數學的思考，發展數學思維.借助于單元整體復習設計可以整合單元核心的知識內容，站在新的起點上，系統回顧知識，反映知識的本質，重構教學價值，感悟數學思想，并在感受知識發展過程的同時，驅動思維不斷生長，從膚淺走向深刻，形成深度思維.

單元復習設計就是從一章或者一個單元的角度出發，根據章節或單元中不同知識點的需要，綜合利用各種教學形式和教學策略，通過整合復習讓學生對一個相對完整的知識單元有本質的認識，弄清知識間的相互聯系.單元復習要向學生傳遞知識的整體性、聯系性、發展性和綜合性，讓學生在掌握知識、理解內涵的基礎上驅動思維不斷生長.

一、經歷知識發展的過程中驅動思維不斷生長

在蘇科版《數學》九年級下冊“第7章銳角三角函數”的復習中，教材的例題和習題中多次出現一個“主題圖”，即兩個直角三角形的組合圖形，它貫穿整個章節.如何發展這個主題圖的價值和作用，筆者做了如下的整體復習設計.

1.從同學們熟悉的兩個直角三角板入手，如圖1所示，問題1：若BC=2，DE=2，你能求出其他的邊長嗎？問題2：若任給三角形的一條邊長為2，你能求得其他的邊長嗎？

【設計意圖】對于上述兩個問題，學生由于對特殊三角函數值的掌握或對特殊三角形的熟悉，很容易求得邊長.這里主要加強學生對基礎知識的熟練掌握.

2.如圖2，在△ABD中，已知∠A=30°，∠BDC=45°，BC⊥AD.

問題1：若BC=2，你能求出其他的邊長嗎？

問題2：若AB=2（BD=2），你能求得其他的邊長嗎？

3. 如圖3，在△ABD中，已知∠A=45°，∠BDC=60°，BC⊥AD.

問題1：若BC=2，你能求出其他的邊長嗎？

問題2：若AB=2（BD=2），你能求得其他的邊長嗎？

【設計意圖】對于第2、3兩題，學生發現是由兩個特殊三角形經過拼接形成的，根據所給的邊長，在每個特殊的三角形中即可解決.這里讓學生感受復雜的圖形是由簡單的圖形變換而來的，促進學生思維的生長.

4. 如圖4，在△ABD中，已知∠A=30°，∠BDC=45°.

問題1：若BD=2，你能求出其他的邊長嗎？

問題2：若AB=2，你能求得其他的邊長嗎？

【設計意圖】通過添輔助線構造直角三角形后，學生逐漸發現還是由兩個特殊三角形經過拼接形成的，根據前面積累的經驗，學生可以順利解決.此題就是在上題的基礎上變換而來的，解決這類問題的關鍵就是通過計算得到兩個直角三角形的公共邊，由公共邊就可以聯系兩個直角三角形，從而解決這類問題.從貌似普通的兩個三角形，學生經過深入思考發現依然是兩個特殊三角形拼接而成，經歷這個過程，學生的思維再次隨之生長起來.

問題3：若AD=2，你能求得其他的邊長嗎？

【設計意圖】通過添輔助線構造直角三角形后，學生已經知道是由兩個特殊三角形經過拼接形成的，但是所給的AD的長不能直接在兩個直角三角形中直接運用，解決這類問題的關鍵是找到公共邊的長，不能找到的情況下則設未知數，用未知數將AD表示出來，通過解方程解決問題.這類問題的處理時不知道任意一個直角三角形的邊長，需要設未知數來解決.學生在同樣的圖形中，發現條件發生變化時，處理問題的方法也有所變化，經歷解決這類問題的變化后，學生解決問題的思維能力也隨之發展起來.

5. 如圖5，在△ABD中，已知∠A=27°，∠BDC=40°，AD=2.（sin27°≈0.45，cos27°≈ 0.89，tan27°≈ 0.51， sin40°≈ 0.64，cos40°≈ 0.77，tan40° ≈ 0.84）

問題：你能求出其他的邊長嗎？

【設計意圖】由特殊的角度變成一般的角度后，只要提供所需的三角函數值，學生還是通過構造直角三角形，尋找兩個直角三角形的公共邊，不能直接找到則設未知數，在兩個直角三角形中利用邊角之間的關系表示出AD的長，運用方程解決這類問題.通過從特殊到一般，學生的思維更加明朗，這類問題都可以從兩個直角三角形的公共邊入手加以解決.

主題圖貫穿于整個單元，分布在各個課時里，內容也交融在各個課時的內容中，在平時的新授課中很難將主題圖過分地鋪展開來，不能很好地發揮應有的作用.在單元復習課上，圍繞主題圖做專門的設計，讓學生從兩個熟悉的三角板入手，通過拼接逐漸發展變化形成主題圖，在這個變化過程中如何思考解決這類問題，掌握解決這類問題的能力，并在主題圖發展變化的過程中思維也隨著一步步逐漸開闊，從狹隘走向廣闊，不斷生長，養成良好的思維品質.

二、理解知識本質的過程中驅動思維不斷生長

在蘇科版《數學》九年級下冊“第5章二次函數”的復習中，二次函數的圖象是研究二次函數的性質、與一元二次方程的關系以及解決實際問題的關鍵，如何在單元整體復習中讓學生通過畫圖、識圖來理解二次函數圖象的實質，發展學生的數學思維，提升學生的能力，筆者做了如下的整體復習設計.

1.描點法畫函數圖象的步驟是列表、描點、連線，請動手畫函數y=x2的圖象.

問題1：表格從何而來？表格的意義是什么？

問題2：點從何而來？

問題3：線怎么畫出來？

【設計意圖】在學生溫習畫圖象的過程中，讓學生理解二次函數的解析式可以看成是一個方程，方程有無數個解，每一個解都由x，y這一組數對組成，而每一個數對就是一個坐標，一個坐標就對應一個點，許多的點就構成了線.表格就是由方程的解而來，表格的意義就是找到了有序實數對，即坐標，也就是找到了點.這個過程就是由數到形的轉化，即二次函數→方程→方程的解→有序數對→坐標→點→線[1].學生經歷這個過程，理解了數到形的實質，真正理解了函數圖象的意義.在這個過程中，找到了數學思維能力的突破口，學生的思維也不斷生長.

2. 二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖7所示.

[O]圖7

問題1：求方程[ax2+bx+c=1]的根.

問題2：求不等式[ax2+bx+c<-2]的解集.

問題3：若方程[ax2+bx+c-k=0]有兩個不相等的實數根，則k的取值范圍為 .

【設計意圖】問題1可以通過求二次函數的解析式，進而解一元二次方程求解；這里主要是讓學生學會識圖，讓學生將求方程[ax2+bx+c=1，]的解理解成方程組[y=ax2+bx+c，y=1]的解，方程組的解是找兩個方程[y=ax2+bx+c]和[y=1]的公共解，公共解是兩個方程的公共坐標，此時將兩個方程理解成兩個函數，公共坐標是找兩個函數的交點，通過觀察圖象，從而發現交點，找到坐標就找到了方程的根.問題2是一元二次不等式，初中階段不會解一元二次不等式，只能尋求其他的方法.在上面問題的引導下，就是看成二次函數[y=ax2+bx+c]和常函數[y=-2]，不等式[ax2+bx+c<-2]就是拋物線[y=ax2+bx+c]低于直線[y=-2]的部分，通過圖象容易找到兩個函數的交點，進而判斷范圍，從而找到解集.問題3將方程[ax2+bx+c-k=0]理解成方程組[y=ax2+bx+c，y=k，]方程有兩個不相等的實數根就是方程組有兩組解，就是找兩個方程的兩組解，將兩個方程理解成兩個函數，兩組解要找兩個函數何時有兩個交點，通過圖象可以看出當[k=-3]只有一個交點，當[k>-3]會有兩個交點.這個過程是由形到數的轉化，即圖象→點→坐標→有序數對→方程的解→方程→函數.學生通過3個問題經歷從形到數的轉化，經歷了思維過程，學會了思維的方法，也真正理解了函數圖象中數[?]坐標[?]點[?]線之間的聯系，數學思維能力不斷得到了生長.

二次函數的解析式和圖象是二次函數的核心內容，也是解決實際問題的基礎，理解數與形的實質，才能掌握二次函數與方程之間的內在聯系.復習的過程中通過描點法畫二次函數的圖象，讓學生經歷由數到形的轉化，體會數到形的本質.通過觀察圖象經歷由形到數的轉化，理解形到數的本質.讓學生真正理解二次函數數和形之間的實質，在理解的過程中找到思維發展的突破口，學會透過現象看本質，培養學生思維的發展，學生的思維也隨之從膚淺走向深刻，不斷生長，發展了數學的思維深刻性.

數學教學是思維的教學，數學課堂是有目的、有計劃培養思維能力的課堂，在數學復習課中通過單元整體設計教學，在知識的聯系發展過程激發每一個思維增長點[2]，拓寬學生思維的寬度；在理解知識的本質過程中激發思維、拓展思維，才能深化學生思維的深度，促進學生的思維不斷生長，形成良好的思維品質.

參考文獻：

[1]毛小芳.數形結合應落實到“點”上[J].初中數學教與學，2016（7）：43-46.

[2]葉亞美.精心預設思維增長點 切實提高思維參與度[J].中國數學教育，2015（11）：51-54.