備課：從深度分析教科書練習題的設置入手

許洪斌　盤如春　張曉斌

摘 要：備課是教師有效組織教學的前提，備課要考慮的因素很多，所有準備常常都是基于教科書進行的.教師在備課時，要從課后練習題的設置出發，仔細體會教材的文本意圖，吃透教材內容的邏輯結構，把握知識的重難點，深挖學科內涵，再結合教科書文本和教師自己掌握的其他資料進行備課，從而設計出高質量的教學方案.

關鍵詞：教科書；備課；練習題

備課是教師有效組織教學的前提，備課越充分，教學效果就越好.備課要考慮的因素很多，既要備知識，備課程，又要備教材，備學生，還要備教法，備學法.而所有這些準備，常常都是基于教科書進行的，雖然備課時，教師的資料不僅限于教科書，但無疑教科書是教師有效組織教學、學生系統學習知識的載體，是師生共同對話的基礎.

幾乎所有的教科書在闡述知識發生、發展的同時，課后都輔之以必要的練習題，以供學習者對所學重要知識、方法的再理解、再應用.這里的練習題是編者認為必要的，不可或缺的，是對教者執行文本的一種檢視，同時，還要為執教者提供必要的教學空間，也不能太多.這就要求編者對所配練習題做詳細考慮、字斟句酌、精益求精、形成體系，這既有對學科重點知識、方法的應用練習，又有對學科思想、學科內涵的滲透與培養，而絕非僅供一般的練習之用.因此，教師在備課時，就可以從編者所給課后練習題的設置出發，充分發揮練習題的檢視作用，仔細體會教材的文本意圖，吃透教材內容的邏輯結構，把握知識的重難點，深挖學科內涵，再結合教科書文本和教師自己掌握的其他資料進行備課，從而設計出高質量的教學方案.雖然教材習題的功能是多方面的，但從研究視角上看，不失為一種深度檢視教者對教材文本內容的理解和對教材編者意圖把握的好方法，使教學設計更科學，更能有效促進數學教師的專業成長.

一、教材分析

以下以人教版高中數學教科書選修2-2第一章《導數及其應用》中的“1.3.1函數的單調性與導數”為例，來說明如何發揮教科書的課后練習題在備課中的檢視作用.

首先讓我們來看看本節課的課后練習題：

1.判斷下列函數的單調性，并求出單調區間.

（1）f（x）=x2-2x+4 （2）f（x）=ex-x

（3）f（x）=3x-x3 （4）f（x）=x3-x2-x

2.函數[y=f（x）]的圖象如圖所示（圖1），試畫出導函數[f'（x）]圖象的大致形狀.

3.討論二次函數f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的單調區間.

4.證明函數f（x）=2x3-6x2+7在[（0，2）]內是減函數.

編者在這里為什么會選擇這些題目或這類題目作為本節的練習題，其用意如何？這值得我們認真分析與體會.經研究，我們發現編者至少從以下四個方面，來給我們的教學設計提供檢視的思路與方法.

從數學知識層面分析，通過題組1，讓學生理解導函數的正負與函數單調性之間的關系.這四個函數都是有具體的表達式，能較容易地求其導函數，并通過解不等式，得出導函數正負的條件，從而判斷原函數的單調性.這不僅鞏固了學生求函數的導函數、解不等式等知識，又加深了學生對應用導函數的正負來判斷函數單調性的理解，這是本節課重要的知識目標.

從數學方法層面分析，通過題組3、4，讓學生掌握判斷函數單調性的基本方法：圖象法、導數法，即常說的幾何法、代數法.這為學生從不同的視角來研究函數的單調性，拓展了不同的思維空間，從而發展了學生的直觀想象，培育了學生的數學素養，這是本節課重要的方法目標.

從數學思維層面分析，通過題組2，讓學生通過對實際函數圖象的直觀探究，在觀察、分析、概括的過程中，進一步體驗原函數的增減與導函數正負之間的關系，培養了學生畫圖、識圖、用圖的方法與觀念，這是本節課重要的能力目標.

從數學核心素養層面分析，從題組1的第（1）題與題組3以學生最為熟悉的二次函數為背景，讓學生充分體驗函數圖象的直觀性與導函數的正負性在判斷函數單調中的一致性，從而培育學生的直觀想象與數據分析的數學素養，再到題組1的第（2）（3）（4）題與題組4的函數，這些函數是學生陌生的，直接畫圖學生會有困難，從而迫使學生進行數學抽象，在已有的數學經驗（題組1的第（1）題與題組3）的基礎上，應用導函數的正負性來判斷其單調性，加深學生對知識、方法的感悟，使學生的數學抽象、邏輯推理與數學運算能力得以培養與提升，同時也培養了學生學會用數學的思維來思考問題，用數學的語言來表達問題的能力[1].

二、教學設計

基于以上分析，我們結合教科書的表述與例題，以知識為載體去檢視、落實培養學生的數學核心素養，進行如下的教學設計.

（一）教學目標

1.知識技能目標：結合實例和一些基本初等函數，探討函數單調性與其導數正負之間的關系，能利用導數確定函數的單調性和求函數的單調區間，體會并認識導數在研究函數單調性中的作用（體現練習題1的功能）.

2.數學思考目標：通過數學實例提出問題，在觀察、分析、聯想、歸納的探究過程中，滲透數形結合、從特殊到一般的數學思想方法（體現題組1的第（1）題與題組3的功能）.

3.問題解決目標：能運用導數的正負判斷函數的單調性與求單調區間，體會導數在研究函數單調性中的作用，構建導數研究函數單調性的基本模型（體現題組1的第（2）（3）（4）題與題組4的功能）.

4.情感態度目標：培養學生的自主探究意識、合作精神，體驗函數單調性與其導數正負關系的研究過程，體會數學語言的簡潔和嚴謹（體現題組2的功能）.

（二）重點難點

1.重點：利用導數研究函數的單調性和求函數的單調區間（解決練習第1、3、4題）.

2.難點：通過具體實例和一些基本初等函數，探究函數單調性與其導數正負的關系（解決練習第2題）.

（三）教學過程

1.情境引入

視頻播放[10m]高臺跳水運動員的跳水過程，盡量慢動作演示，分析運動員在跳水過程中，離水面高度[h]與時間[t]的變化關系.讓學生初步感知，從起跳到最高點這段時間內，隨時間[t]的增加，離水面的高度[h]也在增加，速度為正；從最高點到入水這段時間內，隨時間[t]的增加，離水面的高度[h]卻在減少，速度為負.

在這一過程中，教師提出有價值的數學問題：隨時間[t]的增加，離水面高度[h]是如何變化的？其速度的正負是如何變化？

【設計意圖】數學抽象是指舍去事物的一切物理屬性，得到數學研究對象的思維過程.數學抽象是數學的基本思想，是形成理性思維的重要基礎[2]，反映數學的本質特征，貫穿在數學的產生、發展、應用的全過程中.本環節根據跳水運動員從起跳到落水這一物理過程的運動狀態變化這一事實，數學地抽象出離水面高度與速度兩個概念.在播放視頻的過程中，通過生動的畫面與動作，直觀地得到了離水面高度與速度的變化過程.

2.新知探究

（1）初步形成函數的單調性與其導函數正負的關系

如圖2（1）表示[10m]跳水運動員的高度[h]隨時間[t]的變化函數h（t）=-4.9t2+6.5t+10的圖象.

教師引導：運動員從起跳到最高點，以及從最高點到入水這兩段時間的運動狀態有什么區別？

通過分析，完成下述表格，初步得到函數的單調性與其導數正負的關系.

在某個區間[（a，b）]內，如果[f'（x）>0]，那么函數[f（x）]在這個區間內單調遞增；如果[f'（x）<0]，那么函數[f（x）]在這個區間內單調遞減.

在這一過程中，教師要指導學生思考、計算、填表，并進行交流、討論、歸納得出結論.

【設計意圖】數學建模是對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題，用數學知識與方法構建模型解決問題的過程[3].本環節從分析跳水運動過程的狀態變化，離水面高度與速度隨時間的變化規律，建立兩個函數，并給出圖象；通過圖象的直觀，提出對函數單調性與導數正負兩個概念的思考，并通過進一步的探究發現函數的單調性與其導數正負之間的關系.這一過程的探究基本上體現用數學的眼光觀察思考問題的思維特征：基于背景事實—數學語言表述問題—建立數學模型—到數學問題解決的過程[4].

（2）觀察圖象，進一步探討函數的單調性與其導數正負的關系

通過上面的探究，教師提出問題：函數的單調性與其導數正負的關系是什么？

（3）用幾何畫板從導數的幾何意義解釋函數的單調性與其導數正負的關系

①回顧導數的幾何意義；

②請同學們認真觀察動畫，體驗切線斜率的正負與函數單調性的關系.

在這一過程中，教師演示幾何畫板，學生觀察、體會、領悟，形成新知.

（4）新知的形成

一般地，函數的單調性與其導數的正負有如下的關系，在某個區間[（a，b）]內連續的函數[f（x）]：

如果[f'（x）>0]，那么函數[f（x）]在這個區間內單調遞增；如果[f'（x）<0]，那么函數[f（x）]在這個區間內單調遞減.

【設計意圖】邏輯推理是指從一些事實和命題出發，依據邏輯規則推出一個命題的思維過程.主要包括兩類：一類是從特殊到一般的推理，推理形式主要有歸納、類比；一類是從一般到特殊的推理，推理形式主要是演繹.本環節讓學生觀察已學過的幾個基本初等函數的圖象，計算與判斷導數的正負，進一步鞏固2.1中發現的函數單調性與導數正負的關系，這是從特殊到一般，屬于歸納推理.并再應用幾何畫板，從導數的幾何意義解釋函數的單調性與其導數的正負關系，聯想導數的幾何意義，類比切線的上升與下降的特征，從本質上領悟微觀上函數圖象上每點處的切線特征，到宏觀上函數圖象在區間上的升降特征，從而得出函數單調性的特征.同時借用幾何畫板的動態變化展示，進一步深化了對關系的認識與理解，屬于類比推理.

3.理論遷移

例1 （1）已知導函數[f'（x）]具有下列信息：

當[10]，當[x>4]或[x<1]時，[f'（x）<0]，當[x=4]或[x=1]時，[f'（x）=0].

試畫出函數[f（x）]圖象的大致形狀（圖3）.

（2）設[f'（x）]是函數[f（x）]的導函數，[y=f'（x）]的圖象（圖4）所示，則[y=f（x）]的圖象最有可能是（ ）

A B

C D

例2 判斷下列函數的單調性，并求出單調區間.

（1）f（x）=2x3+3x2-24x+1；

解：因為f（x）=2x3+3x2-24x+1，

所以[f'（x）=] .

當[f'（x）>0]即 時，函數f（x）=2x3+3x2-24x+1 ；

當[f'（x）<0]即 時，函數f（x）=2x3+3x2-24x+1 .

所以函數[f（x）]的單調遞增區間為 ，單調遞減區間為 .

（2）f（x）=x2-2x-3；（3）[f（x）=x-lnx].

【設計意圖】數學運算是指在明晰運算對象的基礎上，依據運算法則解決數學問題的過程.主要包括：理解運算對象，掌握運算法則，探究運算方向，選擇運算方法，設計運算程序，求得運算結果.例1的兩個小題主要解決根據導數的正負判斷函數的單調性，從直觀的符號到函數圖象的辨識，強化關系運用的直接性；例2的三個解答題主要解決利用導數的正負求函數單調區間的問題，通過第（1）題的填空示范，明確解題思路與步驟，形成解題方法，第（2）（3）題的設置在進一步鞏固方法的同時，突出方法的適用性與選擇性，強化定義域在解題中的首要性.

4.課堂反饋

判斷下列命題是否正確，正確的在括號里打√，錯的在括號里打×.

（1）如果函數[y=f（x）]在某個區間內恒有[f'（x）=0]，那么這個函數為常數函數.（ ）

（2）如果函數[y=f（x）]在定義域內有[f'（x）<0]，那么函數[f（x）]在定義域內為減函數.（ ）

（3）在區間[（a，b）]內，[f'（x）>0]是函數[f（x）]在該區間內單調遞增的充要條件.（ ）

學生在這個過程中進行判斷、討論、表述，教師進行點撥.

【設計意圖】邏輯推理是得到數學結論，構建數學體系的重要方式，是數學嚴謹性的基本保證，是人們在數學活動中進行交流的基本思維品質.本環節設置三個判斷題，挖掘關系認識中的幾個誤區，進一步探究與辨析關系，舉一反三，突破難點，深化了對關系的透徹理解，在邏輯推理能力的培養過程中，形成有論據、有條理、合乎邏輯的思維品質，增強了學生的數學交流能力.

5.課堂小結

（1）函數的單調性與其導函數的正負關系；

（2）運用導數研究函數單調性的一般步驟；

（3）通過這節課的學習，你有什么體會和感悟？

在這個過程中，教師點撥，學生歸納、總結、表述.

【設計意圖】此環節是每堂課的一個結束步驟，具體操作中往往名存實亡，或是教師主演.如果此環節在課堂教學中常態化，交由學生自主合作完成，那么學生在數學抽象的能力形成過程中，積累從具體到抽象的活動經驗，常常能更好地理解數學概念、命題、方法和體系，能通過抽象、概括去認識、理解、把握事物的數學本質，能逐漸養成一般性思考問題的習慣，并能在其他學科的學習中，主動地運用數學抽象的思維方式解決問題.

備課是教師有效組織教學的基礎，備課的角度也很多，這里僅從以反思教科書課后練習題的設置意圖，來檢驗我們的教學設計是否科學、合理，是否充分領悟了編者的用意，為教師更好地體會教材、用好教材、把握教材的重難點提供一種備課的檢視思路.

參考文獻：

[1]岳定權.課堂教學設計點的獲得方法——以課堂導入為例[J].中小學教師培訓，2016（11）：38-40.

[2]張曉斌.創設問題情境喚起學生的創新思維[J].數學通報，2003（2）：7-10.

[3]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018：4-7.

[4]章建躍.理解數學是教好數學的前提[J].數學通報，2015（1）：61-63.