試析數學實踐能力的具體體現

摘 要：中學階段的數學知識變得抽象，擁有一定的數學實踐能力，明確學習數學知識的意義，是學生不可或缺的數學素養。數學實踐能力具體體現在綜合數學學科內知識解決問題的能力、與其他學科知識相結合的能力、在日常生活中實踐數學的能力三個方面。

關鍵詞：數學；實踐能力；學科素養

作者簡介：甘哲，湖南師范大學數學教育碩士。（湖南 長沙 410012）

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1671-0568（2018）10-0114-02

學習數學的價值究竟何在？這是學生經常會問到的問題，也是多數教師難以回答的問題。進入中學階段后，數學知識逐漸變得抽象起來，似乎與現實世界的需求脫離，學生有這種疑問不足為奇。其實，這是學生未真正認識數學價值所在的表現。筆者認為，數學真正的可貴之處，是在數學的實踐之中。借用中科院報告中的一句話：“學科的強大生命力在于對社會進步的貢獻，數學也不例外。”因此，擁有一定的數學實踐能力，是學生不可或缺的數學素養。

簡單來講，數學實踐能力可以分為以下幾個方面。

一、綜合數學學科內的知識解決問題的能力

數學課程是按照數學的科學體系和學生認知規律進行設計的，其中的數、圖、量、形等方面的內容有密切的聯系。對學生來說，把握好數學知識的整體性，理解和領會數學知識的內在聯系，才能真正把握數學知識的本質，提高解決實際問題的能力。教師應引導學生理解數學知識的內在聯系，使學生能有效綜合數學知識解決問題，提高其對數學整體性的認識，這是培養學生數學實踐能力的第一步。

數學知識的綜合應用往往體現在知識的多重理解和使用上。實踐中，教師往往通過設置適當的例題促進學生知識的綜合。如下列試題：

求函數y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值，并寫出使函數取得最小值的集合。

該題主要考查正弦定理、余弦定理，其中還滲透了三角函數式的恒等變形。本題的解答過程中用到了交換律和結合律，平方關系、二倍角正弦公式、余弦公式的逆用，化six2x+cos2x為一個角的三角函數公式，正弦函數y=Asin（wx+？覬）的性質：最值及最值點集合等。題目雖然不難，但構建了學科知識的內部聯系，考查了學生綜合掌握數學知識解決問題的能力。

除了同一范疇內數學知識（幾何或代數）的綜合應用，幾何與代數綜合應用的考查也成了中高考的常態內容。這類題目把代數的基本概念、性質、思想方法與解析幾何的基本概念、性質、思想方法等內容融合在一起，大多數題目創意新穎、深刻，是對學生綜合數學能力的考查。如下面的試題：

設a、b、c、d都是正數，證明存在一個三角形，它的邊長為■，■，■。試計算這個三角形的面積。

學生的解題思路通常是通過證明三個數中最大數小于其他兩數之和，從而證得三角形的存在。經過嘗試后，發現本題用這一方法很難證明，海倫公式求面積法在此題中也很難運用。

觀察三邊長的特征，我們很容易注意到。由勾股定理，很容易構造一個邊長為a+b，c+d的矩形（如下圖）：

這一解題過程，從代數問題到幾何問題，又從幾何問題回到代數問題，體現了學生綜合幾何與代數知識，多角度思考和應用數學知識的能力。這樣的數學解題過程，是發展學生數學實踐能力的基礎。

二、將數學知識與其他學科知識結合的能力

數學與其他科學，尤其與自然科學的發展總是相輔相成的。如今，數學的應用幾乎滲透到了每一個學科領域中。即使在社會學科、人文學科，也越來越多地用到數學知識及其思想方法。某種程度上來講，數學是一種通用的科學語言，也是解決其他學科問題的工具之一。

對學生而言，應該該如何結合其他學科知識進行數學實踐？這就需要學生以科學的態度看待我們觀察到的現象。物理學中數學知識的重要性尤為突出。從最簡單的重力加速度的圖像（一元二次方程），到振動圖線和波形圖，熱學中的p-V圖、p-T圖，以及電學中的I-U圖，我們利用數學知識可以分析這些圖像，兩個物理量用圖像表達是什么函數關系，圖像的切線、橫截距、縱截距、漸近線，圖像的斜率、交點，圖像與軸所圍的面積等分別代表什么含義。將物理條件、物理過程用數學式表達出來，就屬于應用數學處理物理問題的能力，即學生在物理學科中進行數學實踐的能力。高考物理試題中對學生物理與數學結合能力的考查也頻頻出現。

再以探究生物現象為例。在寒冷的冬天，貓睡覺時總是把身體縮成一個球形，這樣裸露在冷空氣中的表面積最小；蜘蛛絲結的八卦網既復雜又美麗，這種八角形的幾何圖案，即使我們用直尺和圓規也難畫得那樣勻稱。對這些自然現象的探究，就需要運用到數學知識。通過構建合理的數學模型，可以定量地描述生命物質運動的過程，將一個復雜的生物學問題轉變成一個數學問題。通過對數學模型的邏輯推理、求解和運算，就能夠獲得客觀事物的有關結論，達到對生命現象進行研究的目的。

三、在日常生活中實踐數學的能力

《義務教育數學課程標準（2011年版）》提出的十大核心詞之一“應用意識”，包含了兩個方面：一是有意識利用數學的概念、原理和方法解釋現實世界中的現象、解決現實世界中的問題；二是認識現實世界中蘊涵著大量與數量和圖形有關的問題，這些問題可以抽象成數學問題，能夠用數學的方法解決。學生在生活中進行數學實踐，是培養應用意識的基本途徑。數學知識與生活實踐的結合，也是知與行的結合，學生可從中獲得數學素養的提升。

日常生活中的數學實踐，首先體現在用數學知識解決生活中遇到的問題上。我們在購物、繳費、貸款時，商家為了提高銷售額，往往會提供多種付款方式或優惠方案。作為消費者，要認真對比，仔細分析，學會運用自己掌握的數學知識選擇最優惠的方案。此外，在面臨某些決策的時候，也需要我們理性地用數學知識來輔助決策。例如：

有三家公司為大學生甲提供應聘機會，按面試的時間順序，這三家公司分別記為A，B，C。每家公司都可提供“極好”“好”和“一般”三種職位。甲獲得極好、好和一般的可能概率依次為0.2，0.3和0.4，還有0.1的概率為沒有獲得職位，即沒有工資。三家公司的工資承諾表如下：

如果甲把工資作為首選條件，那么甲在各公司面試時，對該公司提供的各種職位應作何種選擇？

在這一決策問題中，大學生甲必須綜合考慮三家公司的待遇問題，對其提供的職務、待遇和自己工作能力來判斷決策，比較三個公司提供的哪個職位使自己得到最多的工資待遇，而不是簡單地看哪家公司的極好職位工資最高。有了這樣的數學實踐意識，做出求職決策的時候才不會盲目。

日常生活中的數學實踐，還體現在將生活問題數學化上。教師可以通過提供真實可感的生活實例，引導學生掌握從實際生活中抽象出數學問題的方法，讓其感受到生活中處處有數學，體驗數學學習的重要性。數學知識實踐既與學生的課堂學習緊密相連，又可以讓學生通過自己的親身實踐，體驗到生活中蘊藏的數學知識，從而提高學習數學的熱情。

學生在長期的數學實踐中，逐步形成數學實踐的能力，明確學習數學知識的意義，自然會對探求數學知識產生樂趣。如此，學生科學精神得以梳理，數學能力得到提高，發展數學核心素養才不是一句空話。

責任編輯 張 婕