利用笛沙格定理求解初等幾何中的動態問題

胡翔

摘要：笛沙格定理是射影平面上的重要定理.本文抓住笛沙格定理的精髓——兩個對應三點形，可輕易解決初等幾何中的動態問題中

關鍵詞：笛沙格定理；動態問題；三點形

1、引言

十七世紀，當笛卡兒和費馬創立的解析幾何問世的時候，還有一門幾何學出現在人們的面前。這門幾何學和畫圖有很密切的關系，它的某些概念早在古希臘時期就已經引起一些學者的興趣，它的快速發展得助于歐洲文藝復興時期透視學的興起，這門幾何學就是射影幾何學。數學家笛沙格為這門學科建立而做出了重要貢獻，使射影幾何真正成為獨立的學科、成為幾何學的一個重要分支.笛沙格定理作為射影幾何四大定理之一，不僅是平面射影幾何的基礎之一，而且以它為根據可以推出一系列射影幾何命題.利用它還可以解決初等幾何中的動態問題.

2、基本概念

定義1[1]平面內不共線的三個點與其每兩點的連線所組成的圖形叫做三點形；平面內不共點的三條直線與其每兩條直線的交點所組成的圖形叫做三線性.

定義2[2]在射影平面里設有點，直線及其相互結合和順序關系所組成的一個命題，將此命題中的各元素改為它的對偶元素，各作圖改為它的對偶作圖，其結果形成另一個命題，這兩個命題叫對偶命題.

定理1（笛沙格定理）[3]如果兩個三點形對應頂點的連線交于一點，則對應邊的交點必在同一條直線上.

定理2（笛沙格逆定理）[3]如果兩個三點形對應邊的交點在一直線上，則對應頂點的連線交于一點.

笛沙格定理與其逆定理是對偶命題，由對偶原則知，笛沙格定理成立，則其逆定理也成立，這為笛沙格逆定理的證明起到了事半功倍之效.顯然它的真確性是毋庸置疑的，這是對偶原理的功勞！更有趣的是，笛沙格的對偶命題，不僅是笛沙格的逆定理，而且是笛沙格的對偶命題，還是笛沙格的自對偶命題（對偶命題與原命題一致）。這四者的有機統一，無不說明數學的魅力所在。

3、利用笛沙格定理求解動態問題

初等幾何中的動態問題是指在一條直線上有一點是動點，也可以是通過一定點任意作直線，然后根據題中的其它已知條件，利用笛沙格定理可以解決此類問題.

例1：設 為共面四條相異的直線， 為 上的兩個定點， 為 上的一個動點，又 分別交 ， 于 求證 交 .

證明：在直線 上任取兩個點 然后 分別交 于 ， 分別交 于 作圖1，即證 三條直線共點.從而，將此動態問題轉化為三線共點問題.選取三點形 和 ，其兩個三點形的對應頂點顯然交于一點 ，由笛沙格定理可知，三點形 和 的對應邊的交點 共線.即 三直線共點 .證畢.

這道題看似好像十分復雜，畫完圖后發現并不是所想象的那么難，其中兩個動態點 并不影響點 ，而且三條直線 確定唯一的一點 .

例2：設有兩條直線 與 以及三個共線點 過 作直線分別與 交于 又 與 交于 ，試證明：點 的軌跡是過 與 交點的一條直線.

證明：過點 任作兩直線 連接 交于點 ，再連接 交于點 ，如圖2.考察三點形 和 ，其對應頂點 交于一點 ，由笛沙格定理知，其對應邊交點

三點共線，即點 的軌跡是過 與 交點的一直線.顯然點 軌跡是唯一的直線 證畢.

此外，這題也可以選取三點形 和 ，根據笛沙格逆定理即證.

4、結束語

在利用笛沙格定理或逆定理證明三線共點或三點共線問題時，關鍵是準確地找到兩個對應三點形，而且要調整好對應頂點的順序.以便達到證明的目的.共線問題和共點問題一般可以轉化.在都適用時，一般共線問題用笛沙格定理，共點問題用笛沙格逆定理.當然，我們也要具體問題具體分析.此外，笛沙格定理在初等幾何中的應用非常簡單易懂實用，可以化簡初等幾何中繁瑣的步驟，為幾何的證明開辟了一條快捷之路.

參考文獻：

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