一類具有階段結構和因病死亡的SIRS傳染病模型的穩定性

摘要：利用微分方程的穩定性理論、種群動力學理論及傳因病死亡染病模型的研究方法，根據不同程度的感染者有不同的傳染率，建立一個具有階段結構和的傳染病模型，得到了模型的閾值參數 ，根據赫爾維茨判別方法，證明了模型平衡點的局部穩定性，通過構造函數，證明了模型平衡點的全局穩定性。

關鍵詞：階段結構；閾值參數；流行病模型；局部性態；全局性態

0引言

傳染病已經是當今世界人類面臨的一個共同問題之一，隨著科技的進步，經濟的繁榮，除了引發環境問題，由之引起的還有傳染病問題. 傳染病是危及人類身體健康的重要因素之一，長期以來一直受到世界各國的關注.全球經濟的一體化促進了人員的頻繁交流和接觸、全球環境污染日趨惡化等因素加劇了傳染病的傳播.因此研究傳染病的傳播過程、內在規律及其如何采取控制措施具有十分重要的意義.

數學建模就是利用所學的數學知識去解決實際問題，文獻[1]第三章介紹了通過微分方程建模研究實際問題.同時，研究傳染病問題的一種重要方法就是微分方程理論，文獻[2]介紹了解微分方程的一些方法。前人的傳染病模型很少在考慮不同傳染程度的不同傳染率的同時考慮因病死亡率，文獻[2]研究階段結構的傳染病模型，分析平衡點的穩定性以及模型的全局穩定性；文獻[3]研究了SIS模型的全局穩定性.文獻[4]是運用特征方程及輔助系統證明了無病平衡點的全局穩定性.文獻[5-7]研究了階段結構的模型，但文獻[5-9]都沒有將不同感染程度的問題考慮進去。本文中，分為輕度傳染病患者與重度傳染病者兩個不同階段，并以雙線性傳染率為前提，建立了有階段結構和因病死亡的SIRS傳染病模型，具體模型如下：

表示易感患者數量； 表示輕度感染患者數量； 表示重度感染患者數量； 表示免疫人數的數量； 是單位時間內種群輸入率并假設均為易感者； 表示因病的死亡率； 表示自然死亡率； 表示自然死亡率和因病死亡率之和； 表示輕度感染者傳染率； 表示重度感染者傳染率； 表示最終治愈率； 表示由輕度到重度的轉化率； 表示輕度感染者的恢復率； 表示重度感染者的恢復率；其中，各項系數均為正常數。

1 模型平衡點局部穩定性分析

令 ，由方程組

得：無病平衡點 ；地方病平衡點 其中：

， ，

，

定理1 如果 ，則系統（1）存在無病平衡點 ，是局部漸近穩定的.

證明 系統（1）的雅克比行列式為

由（3）得：無病平衡點 處的特征方程為：

的特征根

設 的解 ， 則有

解之， 的實部為負。

所以，當 時，系統的無病平衡點 是局部漸近且穩定的。

定理2 如果 時，則系統（1）存在唯一的地方病平衡點 是局部漸近穩定的。

證明 在 處系統（1）的線性近似系統為：

則，系統（4）的雅克比行列式為可得，平衡點 處系統的特征方程為：

根據 的值得

由于 ，由赫爾維茨判別方法，本方程特征方程的根實部均為負，我們可以得到，在平衡點 處是局部穩定的。因此，當 ，時，系統的地方病平衡點 是局部漸進且穩定的。

2 模型平衡點全局穩定性分析

定理3 如果 ，系統（1）在無病平衡點 處是全局漸進穩定的.

證明：構造函數：

因此， 時，則系統（1）存在唯一的地方病平衡點 是局部漸近穩定的.

定理4 如果 ，且 時，系統（1）存在唯一的地方病平衡點 且全局漸進穩定.

證明 構造函數

則由此，無病平衡點 是全局漸近穩定的.

3 結語

本文研究了一類具有階段結構和因病死亡的SIRS傳染病模型，具有因病死亡率、自然死亡率，以及因病死亡率和自然死亡率之和，證明了 時，系統（1）的無病平衡點 是局部漸進穩定的； 時，則地方病平衡點 是局部穩定的，疾病消亡.在此基礎上，通過構造 函數，進一步得到系統（1）的全局穩定性，如果 ，且 時，系統（1）無病平衡點 不是全局漸進穩定的；如果 ，且 時，系統（1）存在唯一的地方病平衡點 且全局漸進穩定.

參考文獻：

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基金項目：陜西省教育廳專項科學研究計劃項目：“一帶一路”背景下地方高校中外合作辦學新模式探索——以渭南師范學院為例（17JK0259）； 渭南師范學院教育科學國際合作項目：基于數學模型的中外合作辦學評價體系研究（17GJHZ17）；渭南師范學院人文社科項目：地方高校中外合作辦學模式研究——以渭南師范學院為例（16SYB15）。

作者簡介：張菊梅（1982—），女，陜西寶雞，渭南師范學院，講師，理學碩士，主要從事科學計算與研究。研究方向：計算數學（科學計算與信息處理）。