多目標約束下半導體制冷片幾何結構參數的優化設計

(浙江大學制冷與低溫研究所 浙江省制冷與低溫技術重點實驗室 310027)

熱電制冷又稱為半導體制冷，制冷片(圖1)是由N對pn結通過串聯的方式連接在一起，p結和n結分別由兩種具有不同塞貝克系數的材料組成。當有電流通過時，由于帕爾貼效應的存在，兩種材料的接頭一端放熱，一端吸熱[1]，實現制冷的目的。半導體制冷與一般制冷的顯著區別在于：不使用制冷劑，沒有運動部件，容量尺寸宜于小型化，使用直流電工作[2-3]，制冷量可從mW級到kW級變化，制冷溫差可達20～150 ℃[4]。因此，半導體制冷在實際生產生活中有著廣闊的應用前景，被廣泛應用于電子制冷[5-6]、便攜式冰箱[7-9]等領域。

圖1 半導體制冷片Fig.1 Thermoelectric cooler

針對半導體制冷片的制冷量和制冷效率(COP)優化已有大量的研究，優化方法可分為以下3方面：

1)改變半導體制冷片自身的幾何參數(如pn結長度[10-14]、pn結對數[9,12])對制冷效果進行優化；

2)改變制冷片冷熱端的傳熱方式[15-16]，或改變制冷片冷熱端的傳熱熱阻[17-19](包括制冷片冷熱端的傳熱面積及傳熱系數)對制冷片制冷系統進行熱設計和優化；

3) 對制冷片的輸入電流[2,20]進行優化設置。

但被冷卻設備(如：激光二極管、紅外傳感器)體積的小型化使其所需的散熱熱流密度增大，同時制冷片的散熱空間和散熱方式受到限制，使改變制冷片自身的幾何參數成為優化制冷量和COP的有效方法。當確定制冷片的材料特性和冷熱端溫度時，Cheng Y. H.等[10]利用遺傳算法研究在一定輸入電流情況下pn結截面積、高度及pn結數目對制冷量和COP的影響。G. Fraisse等[11]研究了當冷端和熱端溫度一定，n結體積和長度不變時，n結截面積改變對制冷量和COP產生的影響。G. Min等[12]研究了在一定制冷片冷熱端溫度情況下，pn結的長度對制冷片的制冷量和COP的影響。當固定電流及固定制冷片冷熱端溫差(冷端溫度保持300 K)時，利用共軛梯度法，Huang Yuxian等[13]研究了pn結數目、pn結長度和截面積對制冷量的影響，從而優化制冷量。Zhu Wei等[14]研究了當恒定電流和溫差(熱端溫度保持27 ℃)，pn結長度與橫截面積比相同時，不同尺寸(pn結長度或者橫截面)對制冷片制冷量的影響。

以上文獻均是基于給定的制冷片冷熱端溫度，研究制冷片幾何參數對制冷量和COP的影響。1)制冷片的冷熱端溫度預先給定。為了維持恒定的冷熱端溫度，意味著制冷片外部的冷熱端熱阻(或熱源、熱匯的溫度)可隨工況改變任意調整，這在實際應用中難以實現。2)均是以制冷量和COP為優化目標，忽略了制冷片冷端溫度的實際需求。在半導體制冷片的制冷應用中，對制冷片的制冷溫度往往有一定要求，如半導體制冷除濕[21]過程中，制冷片冷端溫度必須低于空氣的露點溫度；或當用于疫苗冷藏[22]時，制冷片冷端溫度必須控制在一定溫度下，使疫苗的溫度保持2～8 ℃。

此外，以上研究大多以電流作為制冷片優化的初始條件，以電壓作為優化研究的初始條件還很缺乏。原因是制冷片幾何參數與制冷片冷熱端溫度以及輸入電流之間存在耦合關系，當給定電壓(非電流)時，電流從固定值變為因變量，難以從理論上分析制冷片幾何參數對制冷量和COP的影響。但是，生產生活中恒壓源比恒流源更常用。

因此，本文固定半導體制冷片外部的冷熱端換熱條件及輸入電壓，分別以半導體制冷量、COP及制冷片冷端溫度為優化目標，來優化制冷片結構尺寸。由于冷熱端溫度及輸入電流從固定值變為因變量，不僅增加了需要優化的過程變量及目標，還使多參量之間的耦合關系更加凸顯，大大增加了確定制冷片最佳幾何參數的難度。為解決這一問題，本文結合數值模擬結果，從帕爾貼效應、焦耳效應和傅里葉效應隨著制冷片幾何參數變化而變化的結果，分析制冷片幾何參數對制冷量、制冷片冷端溫度和COP的影響。綜合制冷量、COP和制冷片冷端溫度3個優化目標對制冷片幾何參數選取范圍的約束特性，提出了基于多目標優化的幾何參數選擇圖，為今后制冷片幾何參數的設計提供更加直觀地參考。

1 制冷片結構設計原理

1.1 制冷片設計基本方程

制冷片根據半導體材料的熱電效應進行吸熱和放熱，這種熱電效應共由5種不同的效應組成，即塞貝克效應、帕爾貼效應、焦耳效應、傅里葉效應和湯姆遜效應。本文考慮前4種效應并忽略湯姆遜效應的影響。以半導體制冷系統(圖2)為分析對象，系統方程為：

(1)

Qc=N(αp-αn)ITc-1 000NI2ρLA-

(2)

(3)

U=N[2 000IρLA+(αp-αn)(Th-Tc)]

(4)

(5)

圖2 制冷片系統Fig.2 System of a thermoelectric cooler

在以上方程的建立過程中采用了以下假設(與實際生產加工情況相符)：1)p結和n結的熱電偶幾何參數一致；2)p結和n結的電阻率、熱導率和塞貝克系數絕對值相同，且與溫度無關；3)p結和n結的熱電偶截面為正方形。

1.2 制冷片的設計環境

基于制冷片可能的應用環境，對半導體物性及冷熱端運行條件(冷熱端熱阻、表面積、電壓等)相關參數進行初始設置[1]，如表1所示。即使在實際應用中冷熱端運行條件不同于本文的設置，此優化分析方法依然適用。

冷端熱阻和熱端熱阻是由制冷片表面積和冷熱端傳熱系數得到的，在實際制冷片應用中，冷端一般與被冷卻物體緊貼，傳熱方式為導熱，為了使被冷卻物體表面溫度可以均勻分布，在本文中認為冷端的導熱材料為鋁，導熱系數為237 W/(m·K)，鋁的厚度為1 cm，相當于冷端傳熱系數為23.7 kW/(m2·K)。熱端采用對流的方式進行換熱，表面傳熱系數為1.2 kW/(m2·K)；得出冷熱端的傳熱熱阻；另外，為了防止制冷片表面帶電，在pn結的兩端分別加上很薄的陶瓷片，忽略熱阻及系統中各物體間的接觸熱阻。

表1 半導體制冷系統參數初始設置Tab.1 Initial setting of thermoelectric coolingsystem parameters

本文的優化自變量為制冷片幾何參數，分別為pn結的對數N和pn結高度與截面積之比LA，其中LA=L/A，L為pn結的高度，A為p結(或n結)的截面積。由于公式中pn結高度與截面積總是以相除的形式存在，為了方便計算，變量LA常用來統一表征高度和截面積對制冷量的影響[13]。

根據pn結實際的加工工藝，針對長寬都為10 cm(S=0.01 m2)的正方形半導體制冷片，N的值域為(0，2 500)，LA的值域為(0，10)。

在制冷片熱端側設置298 K的散熱流體(如室溫水)，流速恒定以維持表1所示的熱端換熱熱阻。在穩態時，制冷片的制冷量Qc與被冷卻物體的發熱量Qw相匹配，對制冷片系統完成邊界條件的設置。為防止計算中出現制冷片相關參數違背實際物理意義，需對制冷片的熱端溫度和冷端溫度設置相應的約束條件：1)制冷片冷端溫度Tc≤298 K；2)制冷片熱端溫度Th≥298 K。這樣可以體現制冷片冷卻相對散熱流體直接接觸冷卻的優勢，避免在計算中出現Tc高于Th的錯誤。

1.3 模型的驗證

圖3 理想模型制冷效果與實驗制冷效果的對比Fig.3 The comparison between cooling effect simulatedby the ideal model and experimental results

本文針對半導體的熱電效應建立的理想模型，視塞貝克系數為常數，忽略了湯姆遜效應帶來的影響。為了研究忽略湯姆遜效應對半導體制冷效果影響，根據文獻[23]的實驗條件：Th=343.2 K，Qc=12.3 W，αpn=0.000 378 V/K，k=2.571 W/(m·K)，ρ=0.000 01(Ω·m)，LA=1.02(1/mm)，N=125。圖3所示為理想模型制冷效果與實驗制冷效果的對比，發現兩者吻合較好。因此，本文采用的理想模型可以很好地預測或反映半導體制冷的實際情況。

2 結構參數的影響

表1共有7個已知參數，式(1)～式(5)中，有8個未知量，分別為熱電偶的高度與橫截面面積的比LA，pn結的對數N，電流I，制冷片冷端溫度Tc，制冷片熱端溫度Th，被冷卻物體的發熱量Qw(或制冷片的制冷量Qc)，被冷卻物體的表面溫度To和整個系統的COP。研究N(或LA)對Qc最大值影響時，給定Tc、LA(或N)，并讓N(或LA)取不同的值，這樣還有5個未知量對應5個方程，實現方程的封閉性；研究N(或LA)對Tc最小值和COP影響時，給定Qw、LA(或N)，并讓N(或LA)取不同的值，可實現方程的封閉性；然后利用EES軟件，在相應的參數設置條件下，對上述方程組進行仿真求解。

2.1 N對Qc最大值、Tc最小值和COP的影響

為了獲得Qc的最大值，Tc越大越好。因為Tc越大，冷端帕爾貼效應越強，且制冷片冷熱端溫差越小，傅里葉導熱效應越差，制冷量越大。在理論極限上，Tc可以等于Th，但根據前文分析，Tc的最大值為298 K，則取Tc=298 K；求解式(1)～式(5)，可得N對Qc最大值的影響規律，如圖4所示，該規律可用式(2)來解釋。

圖4 在LA和Tc給定情況下，N對Qc最大值的影響Fig.4 Given LA and Tc, the effect of N on the maximum value of Qc

給定LA和Tc，隨著N的增大，由于N對pn結串聯連接，制冷片的電阻增大，則pn結中的I逐漸降低(圖5)，等式右邊表征冷端帕爾貼效應的第一項和焦耳熱效應的第二項都會隨電流降低而降低。由于電流減小，制冷片熱端載流子遷移速率降低，放熱能力降低，此時外界流體(室溫水)帶走熱量的能力大于載流子放熱能力。由于兩者最終實現平衡，因此Th下降，制冷片熱端帕爾貼效應降低，同時焦耳熱效應降低。Th主要由帕爾貼效應和焦耳熱決定，Th的逐漸降低使表征傅里葉效應的第3項也降低(圖6)。由于帕爾貼效應在熱電效應中占主導地位，所以單對pn結的制冷量降低(圖7)。總制冷量是pn結個數N和單個pn結制冷量的乘積，圖6中，當N較小時，N的增大速率比pn結制冷量的降低速率大。因為N從50增大到500時，N值擴大10倍，而單個pn結制冷量從0.128 W降低到0.04 W，只降低2.56倍，因此整個制冷片制冷量表現為增大。當N較大時，N的增大速率比pn結制冷量的降低速率小，因為N從1 500增大到2 000時，N值只擴大1.3倍，而單個pn結制冷量從0.014 W降低到0.01 W，降低1.4倍，導致整個制冷片制冷量表現為降低。值得注意的是這一點與從圖7上獲取的直觀感受存在差異。綜上所述，制冷片的最大制冷量隨著N值的增大先增大后降低(圖4)。

圖5 在LA和Tc給定情況下，N對I的影響Fig.5 Given LA and Tc, the effect of N on current

圖6 在LA和Tc給定情況下，N對傅里葉效應的影響Fig.6 Given LA and Tc, the effect of N on the Fourier effect

圖7 在LA和Tc給定情況下，N對單對pn結制冷量的影響Fig.7 Given LA and Tc, the effect of N on the cooling capacity of single-pair thermoelectric cooler

給定Qw和LA，計算可得N對Tc的影響規律。N對Tc的影響規律如圖8所示，將式(4)帶入式(2)中，可以發現Tc與N和I的關系式(6)：

αpnITc=1 000I2ρLA+

(6)

式(6)是針對單對pn結而言，表征了取冷端表面為控制面上的能量守恒。等式左邊表征制冷片冷端的帕爾貼熱，即從冷端表面帶走的熱量。等式右邊是輸入到冷端表面的熱量，第一項表征由焦耳熱效應引起的傳向制冷片冷端的熱量；等式右邊第二項表征了因傅里葉傳導效應而傳向制冷片冷端的熱量，等式右邊第三項表征pn結冷端從外界吸收的熱量。

圖8 在Qw和LA給定情況下，N對Tc的影響Fig.8 Given LA and Qw, the effect of N on temperature of cold end of thermoelectric cooler

為更加清晰地表達Tc與N和I的關系，對式(6)兩邊約去一個I得到式(7)：

αpnTc=1 000IρLA+

(7)

由圖9可知，I隨著N的增大而降低，即焦耳熱效應降低，采用與圖7中相同的分析方法可得N與I的乘積隨著N增大而減小，傅里葉效應增大但增大不明顯；同理，從外界吸熱效應也會增大。由于當N較小時，相比傅里葉效應和外界吸熱效應的增大，焦耳熱效應降低的更多；當N較大時，相比傅里葉效應和外界吸熱效應的增大，焦耳熱效應降低的少。因此，隨著N的增大，制冷片冷端帕爾貼效應先降低后增大，即制冷片冷端溫度先降低后增大。

圖9 在Qw和LA給定情況下，N對I的影響Fig.9 Given LA and Qw, the effect of N on current

圖10 在LA和Qw給定情況下，N對COP的影響Fig.10 Given LA and Qw, the effect of N on COP

給定Qw和LA，計算可得N對COP的影響規律。N對COP的影響規律如圖10所示，COP隨著N的增大而增大。N的增大，使I降低(圖9)，即在輸出冷量不變時，輸入功率變小，COP一直增大。但N值受一定約束，不可以無限增大。N值的約束來自兩個方面：1)實際加工工藝的約束，一定表面積的陶瓷片上承載的pn結必然存在一個最大值；2)制冷量的約束，因為最大制冷量會隨著N值的增大先增大后降低，所以為了實現一定的制冷量，N值必然只能在一定范圍內變化。此外，當N值較大時，各對pn結之間橫向的熱傳遞更明顯，影響整個制冷片的傳熱模型，COP與N之間的關系也發生改變。但本文沒有考慮各對pn結之間橫向的熱傳遞，所以N對COP的影響較理想化。

2.2 LA對Qc最大值、Tc最小值和COP的影響

取Tc=298 K，LA對Qc最大值的影響規律由式(2)可知，如圖11所示。

圖11 在N和Tc給定的情況下，LA對Qc最大值的影響Fig.11 Given N and Tc, the effect of LA on the maximum value of Qc

如3.1節所述，為了獲得Qc的最大值，給定N值時，Tc應為298 K；隨著LA的增大，pn結中的I逐漸降低(圖12)，由于制冷片冷端溫度Tc不變，冷端帕爾貼效應逐漸降低；采用與圖7相同的分析方法，分析圖12可知，隨著LA的增大，I的平方與LA的乘積降低，焦耳熱效應降低；此時制冷片冷熱端的溫差ΔT(Th-Tc)逐漸變小(圖13)，因此LA的增大會使傅里葉效應降低；由于帕爾貼效應在熱電效應中占主導地位，所以單對pn結的制冷量一直降低，因而制冷片的最大制冷量也一直降低。

圖12 在N和Tc給定的情況下，LA對I的影響Fig.12 Given N and Tc, the effect of LA on current

LA對Tc的影響規律由式(7)可知，如圖14所示。

由圖15可知，給定N和Qw，隨著LA的增大，I逐漸降低，LA的增大速率比I的降低速率大，使焦耳熱效應增大；同理，LA與I的乘積變大，導致傅里葉效應降低；由于I的降低，從外界吸熱效應也增大。當LA較小時，相比焦耳熱效應和外界吸熱效應的增大，傅里葉效應降低的更多；在LA較大時，相比焦耳熱效應和外界吸熱效應的增大，傅里葉效應降低的較少。因此隨著LA的增大，制冷片冷端帕爾貼效應會先降低后增大，即制冷片冷端溫度Tc先降低后增大。

圖13 在N和Tc給定的情況下，LA對制冷片冷熱端溫差ΔT的影響Fig.13 Given N and Tc, the effect of LA on the temperature difference ΔT

圖14 在N和Qw給定情況下，LA對Tc的影響Fig.14 Given N and Qw, the effect of LA on temperature of cooled object

圖15 在N和Qw給定情況下，LA對I的影響Fig.15 Given N and Qw, the effect of LA on current

給定N和Qw，LA對COP的影響規律如圖16所示，隨著LA的增大，I逐漸降低(圖15)，又由于Qc和U不變，因此COP一直增大。

圖16 在N和Qw給定情況下，LA對COP的影響Fig.16 Given N and Qw, the effect of LA on COP

3 多目標約束下半導體制冷片幾何參數的優化

前文研究了在給定電壓、換熱條件及制冷片表面積的情況下，N和LA對Qc最大值、Tc最小值和COP的影響。在上述分析過程中，為了使方程可解，Qc或Tc的值必須假定其中一個。在實際應用中，對于制冷片而言，不僅想獲得最大的制冷量，或最低的表面溫度，或最大的COP，更希望制冷片既能提供所需的制冷量，冷端又能保持一定的溫度，使被冷卻物體在合適的溫度下運行實現節能，即往往是約束過多的情況，但約束過多可能導致無解。本文將進一步分析如何在多目標約束下，對制冷片幾何參數進行優化。

3.1 不同設計目標下最佳幾何參數的確定

為了分析在制冷片幾何參數優化這一特定的應用中，約束過多是否仍然存在特定解，本節將根據不同的設計目標，計算相應的最佳制冷片幾何參數。在給定電壓、換熱條件及制冷片表面積，以制冷片制冷量為優化目標時，基于前文制冷片幾何參數對制冷量影響的研究結果可知，Qc隨著N的增大先增大后降低，隨著LA的增大一直降低。當要求Qc不小于一定值時，N的取值范圍隨著LA的增大而縮小且LA的取值范圍會被限定在0.1到某一個值內，從而使N和LA的取值范圍在幾何參數選擇圖上圍成一個四邊形。假設給定制冷片制冷量優化目標為15 W，經計算得出，當N在70～2 400且LA在0.1～2.8這個四邊形范圍內任何一點均能滿足該制冷量的優化目標，如N=1 200，LA=1.5或N=1 200，LA=2.8，只是不同N或LA取值，對應的冷端溫度不同。當以制冷片冷端溫度為優化目標時，基于前文制冷片幾何參數對制冷片冷端溫度影響的研究結果可知，Tc隨著N的增大先降低后增大，Tc隨著LA的增大先降低后增大，那么當要求Tc不高于一定值時，N和LA都會被限定在有限的取值范圍內，從而圍成一個四邊形。假設給定制冷片冷端溫度的優化目標為280 K，經計算得出，當N在50～400且LA在0.1～10這個四邊形范圍內任何一點均能滿足該優化目標，如N=200，LA=3或N=300，LA=5，只是不同N或LA取值，對應的制冷片冷量不同。研究發現，當分別以制冷量和制冷片冷端溫度為目標時，得出的制冷片結構參數范圍存在一定的區別，說明不同的優化目標有不同的最佳結構參數范圍，因此一種優化目標的優化結果并不一定適用于另一種優化目標。但是，各目標優化的結果存在交集，即存在一定的結構尺寸范圍能滿足多個優化目標，多目標約束下，仍然存在特定解，為下文提出多目標優化的幾何參數選擇圖提供了可能。當優化目標為COP時，由上述的LA和N對COP的影響規律可知，為了獲取最大的COP，LA和N都應該選擇值域中的最大值，因此該優化結果不再是一個范圍而是一個點。可知該優化目標為上述優化目標下的最佳幾何參數從一個范圍縮小至一個點提供了可能。

3.2 多目標約束下最佳結構參數的確定

基于多目標約束的情況，需要提出如圖17所示的多目標優化的幾何參數選擇圖。

圖17 多目標優化的幾何參數選擇圖Fig.17 Multi-objective optimization of the geometric parameters based on the selecting map

圖17(a)是以制冷量為15 W、制冷片冷端溫度為280 K且COP最大為目標時的制冷片幾何參數選擇圖。其中虛線四邊形是由制冷量確定的，將需要的制冷量代入程序中，解出所有可能提供所需制冷量的制冷片幾何參數組合，繪制近似四邊形。實線四邊形是由制冷片冷端溫度確定的，同理，將要求的冷端溫度輸入程序中，解出所有可能滿足制冷片冷端溫度要求的制冷片幾何參數組合，繪制近似四邊形。圓點由最大COP確定，由于COP隨著N和LA的增大而增大，因此N和LA值最大的交叉處COP最大，從而確定最節能的點。該點對應的幾何參數可滿足多目標約束要求的最佳制冷片幾何參數。

根據與圖17類似的多目標優化幾何參數選擇圖能快速判斷制冷片幾何參數的改變能否滿足制冷量和制冷片冷端溫度的要求。如果以制冷量和制冷片冷端溫度為目標的兩個四邊形沒有交叉區域(圖17(b))，說明在現有的電壓及制冷片冷熱端散熱條件下，制冷片在制冷溫度(240 K)下無法提供相應的制冷量(100 W)。說明在這兩個目標下，無論怎么改變制冷片的幾何參數，均無法同時實現相應的目標。采用這樣的設計和選型方法，為制冷片結構參數的改變能否滿足相應目標提供了一種快速判斷的依據，也極大地提高設計者的設計和選型效率。

4 結論

傳統的半導體制冷片幾何參數優化研究，都是基于給定制冷片自身的冷熱端溫度，研究其對制冷量和COP的影響，和現實應用情況難以直接對應。本文基于制冷片外部換熱條件固定的情況，不僅以制冷量和COP為優化目標，還以常被忽略的制冷片冷端溫度為優化目標，為在換熱熱阻受限制條件下的制冷片進行幾何參數優化設計。在本文的約束條件下，當所需制冷量明確時，為優化COP，幾何參數的變化導致制冷片冷端溫度發生變化。同理，當所需冷端溫度明確時，幾何參數的變化同時影響制冷量和COP。在實際應用中，如果對制冷量、COP和冷端溫度同時提出要求，則屬于多目標約束下的優化要求。

為研究多目標約束的優化方法，本文分析了在給定電壓、換熱條件及制冷片表面積的情況下，制冷片幾何參數分別對制冷量、COP和制冷片冷端溫度的影響，對每個影響項的物理含義給出詳細說明。并綜合制冷量、COP和制冷片冷端溫度3個優化目標對制冷片幾何參數選取范圍的約束特性，提出基于多目標優化的幾何參數選擇圖，為今后制冷片幾何參數的設計提供直觀地參考，得到如下結論：

1) 在給定電壓、換熱條件及制冷片表面積的情況下，當LA和Tc不變時，Qc隨著N的增大先增大后降低；當LA和Qc不變時，Tc隨著N的增大先降低后增大，COP隨著N的增大而增大。

2) 在給定電壓、換熱條件及制冷片表面積的情況下，當N和Tc不變時，Qc隨著LA的增大一直降低；當N和Qc不變時，Tc隨著LA的增大先降低后增大，COP隨著LA的增大而增大。

3) 在給定電壓、換熱條件及制冷片表面積的情況下，針對制冷片有不同的設計目標時，得出的結構尺寸范圍不同，但不同目標下的結構參數可能存在交集，這為本文提出多目標優化結構選擇圖提供了可能。

4) 在給定換熱條件及制冷片表面積的情況下，通過多目標優化的幾何參數選擇圖可以幫助設計者判斷多目標約束下是否存在制冷片幾何參數滿足相應要求。如果存在，該圖可以幫助設計者確定最佳制冷片的幾何參數，為用戶定制制冷片。其中制冷量和制冷片冷端溫度可以確定幾何參數的范圍，COP有助于縮小范圍，最終確定最佳的幾何參數。

符號說明

Ta——制冷片熱端散熱流體溫度，K

To——被冷卻物體的表面溫度，K

Tc——制冷片冷端溫度，K

Th——制冷片熱端溫度，K

ΔT——冷熱端溫差，K

αp——p型半導體的塞貝克系數，V/K

αn——n型半導體的塞貝克系數，V/K

αpn——半導體材料的溫差電動勢率，V/K

I——電路中電流，A

ρ——p結和n結熱電偶的電阻率,(Ω5m)

U——輸入電壓,V

Qw——被冷卻物體的發熱量,W

Qc——制冷片冷端吸熱量,W

k——p結和n結的熱導率,W/(m5K)

S——制冷片表面積,m2

Rc——制冷片冷端吸熱熱阻,K/W

Rh——制冷片熱端散熱熱阻,K/W

LA——p結和n結高度與截面積之比,(1/mm)

N——pn結的對數

本文受浙江省自然科學基金(LY17E060002)項目資助。(The project was supported by Natural Science Foundation of Zhejiang Province(No.LY17E060002).)

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