帶梯度項的廣義復Monge-Ampère型方程的梯度估計

袁 日 榮

(廈門大學數學科學學院,福建 廈門 361005)

(1)

(2)

若c0=1且其他的常數為零,則方程(1)就是著名的復Monge-Ampère型方程.帶梯度項的復Monge-Ampère型方程的一個特殊且重要的例子是Sasakian度量空間的測地線方程[1].本研究的目的之一是將他們的估計推廣到更一般的情形.當c0=c1=…=cn-3=0時,筆者得到了方程(1)的C2,α-估計[2].

對于標準的方程而言,即χ為流形M上一個光滑的實 (1,1)-形式,這類形如式(1) 的方程的研究可追溯到文獻[3-6]，這些工作研究了復 Monge-Ampère 方程.從那以后,這類方程引起了很多有趣且重要的研究,可參考文獻[7-14]及其引用的文獻.

在陳述本文中主要結果之前,需要介紹一些符號.在局部坐標(z1,…,zn)下,記

(3)

同時需假設χ滿足如下結構條件：

(4)

本文中的主要結果可如下表述:

(5)

那么對于方程(1)滿足χu>0的解u∈C3(M),存在一個依賴|ψ|C0,1(M)及其他已知信息的常數C,使得

(6)

注1定理 1推廣了Guan等[1]的梯度估計.條件(5)可看成一種錐條件[13],有興趣的讀者可參考文獻 [9-10，12，22].

1 預備知識

記λ=λ(χu)為χu關于K?hler形式ω的特征根.令σk為一個初等對稱函數,其定義為

(7)

方程(1)可等價地寫成

(8)

本文中主要結果的關鍵是下面的引理1.Fang等[9]首先對反σk方程證明這個引理1.Guan[15-16]和Székelyhidi[22]將它推廣到更一般的Hessian方程.

引理1假設條件(5)成立,那么存在兩個正常數R0,ε>0,使得當|χu|≥R0時,有

(9)

(10)

(11)

2 定理的證明

定理1的證明考慮如下閘函數

φ=Aeη,

其中A和B為兩個待定的正常數.

(12)

由假設可知,在p點處有

(13)

約定下文中的計算均在p點處進行.通過計算可知

(14)

由此

(15)

對方程 (8) 進行求導可得

(16)

現在,利用前文中的假設 (4) 得到

(17)

式中的L為方程 (8) 的線性化算子

v∈C2(M).

(18)

簡單計算可得

φi=φηi,

(19)

使用 Cauchy-Schwarz 不等式和假設 (4),得到

(20)

和

(21)

再由式(13),(15)～(21),有

(22)

(23)

下面,依據引理1來進行討論.假設 |λ|≤R0,其中R0,ε均為引理 1中的常數,那么存在常數K1>0,使得

是平凡的.

若|λ|≥R0,則由式(4)和引理 1可知

因此,

(24)

不失一般性,可假設λ1≥…≥λn.如果A,B?1,并且

那么

(25)

為證明式(25),僅需要驗證存在某個正數δ>0,使得λn≥δ.

綜上可知，如果λi≤λj，則

fjλj≤fiλi,

因而,

(26)

由Cauchy-Schwarz 不等式

(27)

由式(22),(25),(27) 和引理1可得到定理1梯度估計的證明.

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