一類高階復微分方程解的增長性

覃智高，龍見仁，2*

(1.貴州師范大學數學科學學院，貴州 貴陽 550001；2.廈門大學數學科學學院，福建 廈門 361055)

1 引言和主要結果

本文中使用亞純函數的 Nevanlinna 理論的標準記號,具體細節參看文獻 [1-3].對復平面C上的亞純函數f(z),用ρ(f),μ(f),ρ2(f) 分別表示亞純函數f(z) 的級、下級、超級.為了行文的需要,還需要回顧如下定義.

集合F?[1,+∞) 的上對數密度和下對數密度定義如下:

定義2設f(z) 為有窮正級整函數,S(α,β)={z:α

則稱f(z) 在角域S(α,β) 內以指數形式趨于無窮.如果對任意θ∈(α,β) 有

則稱f(z) 在角域S(α,β) 內以指數形式趨于零.

另外,還需要下面的定義.

本文中主要研究線性微分方程

f(k)+Ak-1(z)f(k-1)+…+A1(z)f′+

A0(z)f=0

(1)

解的增長性問題,其中Aj(z) 是整函數,j=0,1,…,k-1.從回顧兩個典型的結果開始.

定理1[4]設Aj(z) 是整函數,j=0,1,…,k-1,若 max{ρ(Aj):j≠0}<ρ(A0),則方程 (1) 的任意非平凡解是無窮級.

定理3[6]設Aj(z) 是整函數,j=0,1,…,k-1,若 max{ρ(Aj):j≠0}<ρ(A0)<+∞,則方程 (1)的任意非平凡解f滿足ρ2(f)=ρ(A0).

最近Long[11]研究了方程

f″+A(z)f′+B(z)f=0

(2)

解的增長性,其中A(z) 和B(z) 是整函數,得到下面的結果.

定理5[11]設A(z) 是方程

f″+P(z)f=0

(3)

的非平凡解,其中P(z)=anzn+an-1zn-1+…+a0,an≠0,n是非負整數,B(z) 是 Fabry 缺項級數,使得ρ(B)≠ρ(A),則方程 (2) 的任意非平凡解是無窮級.

本文研究了方程 (1) 解的增長性,獲得了更為廣泛的結果.

定理6設Aj(z) 是整函數,j=0,1,…,k-1,若存在s∈{1,2,…,k-1},使得As(z) 是方程 (3) 的非平凡解,A0(z)是Fabry缺項級數且ρ(A0)≠ρ(As),max{ρ(Aj):j≠0,s}<ρ(A0),其中P(z)=anzn+an-1zn-1+…+a0,an≠0,則方程 (1) 的任意超越解是無窮級.

注1定理 6的結論要求解為超越的,我們不知道超越解的條件是否可以去掉,其原因主要是在證明過程中使用了引理 4.

為了敘述下面的結果,需要使用楊-極值不等式函數及相關的定義.在亞純函數的 Nevanlinna 理論中,虧值和 Borel 方向是非常重要的概念,Yang[3]獲得了兩者之間的關系,被稱為楊-張不等式,Yang[12]利用定義 4 推廣了楊-張不等式.

定義4[12]設f是C上滿足 0<μ(f)<∞的亞純函數,若對任意的ε>0 和任意的復數a∈C∪{∞}，有

μ(f),

至多除去兩個例外值,則從原點出發的半直線 argz=θ∈[0,2π) 叫做f的級≥μ(f) 的 Borel 方向,其中n(S(θ-ε,θ+ε,r),a,f) 是f-a在角域S(θ-ε,θ+ε,r)={z:θ-ε

Wu[13]研究了楊-極值不等式函數,并獲得了這類函數的很多性質,具體參看下面的引理 8.

下面的兩個結果都涉及到楊-極值不等式函數.

定理8[11]設A(z) 是楊-極值不等式函數,B(z) 是 Fabry 缺項級數,則方程 (2) 的任意非平凡解是無窮級.

定理9[14]設Aj(z) 是整函數,j=0,1,…,k-1,若存在s∈{1,2,…,k-1},使得As(z) 是楊-極值不等式函數,A0(z) 滿 足ρ(A0)≠ρ(As),max{ρ(Aj):j≠0,s}<ρ(A0),則方程 (1) 的任意非平凡解滿足ρ2(f)≥ρ(A0).

下面的結果涉及具有有窮 Borel 例外值的整函數.

定理10[11]設A(z) 是具有有窮的 Borel 例外值的整函數,B(z) 是 Fabry 缺項級數,則方程 (2) 的任意非平凡解是無窮級.

結合前面幾個結果,關于方程 (1) 解的增長性,得到了下面的結果.

定理11設Aj(z) 是整函數,j=0,1,…,k-1,若存在s∈{1,2,…,k-1},使得As(z) 是楊-極值不等式函數,A0(z) 是Fabry缺項級數,且max{ρ(Aj):j≠0,s}<ρ(A0),則方程 (1) 的任意非平凡解滿足ρ2(f)≥ρ(A0).

注2相比定理9的條件,定理11包含了情形ρ(A0)=ρ(As),因此定理11獲得了更為廣泛的結果.

定理12設Aj(z) 是整函數,j=0,1,…,k-1,若存在s∈{1,2,…,k-1},使得As(z)為有窮的 Borel 例外值,A0(z) 是 Fabry 缺項級數,且max{ρ(Aj):j≠0,s}<ρ(A0),則方程 (1) 的任意非平凡解滿足ρ2(f)≥ρ(A0).

2 引 理

引理1[15]設f是級為有窮的超越亞純函數,對任意給定的常數ε>0,及滿足k>j≥0 的 兩個整數k,j,下列結論成立.

(i) 存在對數測度有窮的集合E?(1,+∞),使得對任意滿足 |z|?E的z有

(ii) 存在線性測度有窮的集合F?(1,+∞),使得對所有滿足 |z|?F的z有

若f是一般的亞純函數,則有如下的對數導數估計.

引理2[15]設f(z) 是超越亞純函數,α(>1) 是常數,對任意給定的ε>0,存在對數測度有窮的集合E1?[1,+∞) 和常數B>0,B依賴于α和整數m,n,0≤m

引理3[16]設f(z) 為方程 (3) 的一個非平凡解,其中P(z)=anzn+an-1zn-1+…+a0,an≠0.令

j=0,1,…,n+1,θn+2=θ0+2π.

則f(z) 具有下列性質:

(i) 在每個角域Sj內,f要么以指數形式趨于無窮,要么以指數形式趨于零;

(ii) 若f在角域Sj內以指數形式趨于零,則f在角域Sj-1和角域Sj+1(若j=n+1 則Sj+1=S0) 內都以指數形式趨于無窮.然而,f可以在任意相鄰的角域內以指數形式趨于無窮;

(iv) 若在相鄰角域Sj和Sj-1內f都以指數形式趨于無窮,那么對任意給定的ε>0,在角域 {z:θj-ε

n(Ω(θj-ε,θj+ε,r),0,f)=

其中，n(Ω(θj-ε,θj+ε,r),0,f) 表示f在角域Ω(θj-ε,θj+ε,r)={θ-ε

|As(z)|≥exp{(1+δ)α|z|β},

對所有的j∈{0,1,…,s-1,s+1,…,k-1},有

|Aj(z)|≤exp{δα|z|β}.

|f(j)(z)-bj|≤exp{-(1-kδ)α|z|β};

|f(m)(z)|≤exp{-(1-kδ)α|z|β}.

logL(r,f)>(1-ε)logM(r,f),

logM(r,g)>rρ(g)-ε,

引理6[11]設f(z) 是具有有窮的 Borel 例外值c的有窮級整函數,則f(z)=h(z)eQ(z)+c,其中h(z) 是整函數且ρ(h)<ρ(f),Q(z) 是多項式且 deg(Q)=ρ(f).

則存在一個正數R=R(ε)>1,使得當z∈Sj,j=0,2,…,2n-2,對所有滿足 |z|=r>R的z有

Re{P(z)}>αn(1-ε)sin(nε)rn.

當z∈Sj,j=1,3,…,2n-1,對所有滿足 |z|=r>R的z有

Re{P(z)}<-αn(1-ε)sin(nε)rn.

下面回顧楊-極值不等式函數的性質,設f是楊-極值不等式函數,argz=θk是f的級≥μ(f) 的q條 Borel 方向,k=1,2,…,q,0≤θ1<θ2<…<θq<θq+1=θ1+2π.

引理8[13]設A(z) 是楊-極值不等式函數,則

(i)μ(A)=ρ(A);

C(θki,θki+1,ε,δ(ai,A))T(|z|,A),

C(θki,θki+1,ε,δ(ai,A)) 是依賴于θki,θki+1,ε和δ(ai,A) 的正常數.

引理9[14]設A(z) 是楊-極值不等式函數,若存在 argz=θ∈(θj,θj+1),1≤j≤q,使得

3 定理的證明

定理6的證明根據定理的條件,如果ρ(As)<ρ(A0),則結論由定理1得證.故假設ρ(As)>ρ(A0),使用反證法,假設方程 (1) 存在一個有窮級超越解f.令

j=0,1,…,n+1,θn+2=θ0+2π.

應用引理3,分兩種情況:

情形1.假設As(z) 在每個角域Sj都以指數形式趨于無窮,j=0,1,…,n+1.令b=max{ρ(Aj):j≠0,s}.由假設及文獻[2] 知,對任意的θ∈(θj,θj+1),有

(4)

|A0(z)|≤exp{|z|ρ(A0)+η}≤

(5)

|Aj(z)|≤exp{|z|b+η}≤exp{|z|ρ(As)-2η}≤

(6)

因此在角域Sj中,j=0,1,…,n+1,當z→∞時,式(4)～(6) 成立.應用引理 4,在角域Sj(ε)={z:θj+ε

在Sj(3ε)={z:θj+3ε

利用 Phragmén-lindel?f 定理得 |f(s)(z)| 在整個復平面有界.由 Liouville′s 定理知,f在整個復平面是一個多項式,這與f是方程 (1) 的超越解矛盾.故結論得證.

情形2.若在n+2 個角域中至少存在一個角域,使得As(z) 以指數形式趨于零.不妨設As(z) 在Sj0={z:θj0

(7)

|A0(z)|>exp{rρ(A0)-ε}.

(8)

又因 max{ρ(Aj):j≠0,s}=b<ρ(A0) 知,存在R1>0,當r>R1時,有

|Aj(z)|

(9)

應用引理 1,存在對數測度有窮的集合E2?(1,+∞),使得對所有滿足 |z|=r?(E2∪[0,1]) 的z有

(10)

exp{rnρ(A0)-ε}<|A0(rneiθ)|≤

(1+o(1)).

當n充分大時,由ε的任意性知上式與b<ρ(A0) 矛盾.故方程 (1) 的任意超越解是無窮級.

應用引理 2,存在對數測度有窮的集合E4?(1,+∞),使得對所有滿足 |z|=r?E4∪[0,1] 的z有

假設ai是As(z) 的p個有窮虧值,i=1,2,…,p,argz=θj是As(z) 的 2p條ρ(As) 級 Borel 方向,j=1,2,…,2p,于是有 2p個角域Sj={z:θj

C(θj,θj+1,ε,δ(ai,As))T(|z|,As),

(11)

其中C(θj,θj+1,ε,δ(ai,As)) 是依賴于θj,θj+1,ε,和δ(ai,As) 的正常數,要么存在 argz=θ∈(θj,θj+1),使得

(12)

(13)

(14)

(15)

l=1,2,…,k-1.

(16)

結合式(13)～(16)和(1)有

BT(2r,f)2k(1+|aj0|+

由b+ε<ρ(A0)-ε及對充分大的n,有ρ2(f)≥ρ(A0).

定理12的證明設f是方程 (1) 的任一非平凡解,a是As(z)的一個有窮 Borel 例外值,由引理6有

As(z)=h(z)eQ(z)+a,

j=0,1,…,2m-1，

應用引理7及ρ(h)

|As(reiθ)-a|>exp{Crm}.

(17)

對任意的z=reiθ∈Sj,j=1,3,…,2m-1,當r充分大時,有

|As(reiθ)-a|

(18)

其中C是正常數.我們考慮m個角域Si中的一個,i=1,3,…,2m-1,不失一般性設為S1,于是對任意的z=reiθ∈S1,當r充分大時式(18) 成立.利用定理的條件及類似定理11的推導,存在點列zn=rneiθ∈S1,其中 limn→∞rn=∞,滿足式(14)～(16)及(18).再次利用類似于定理11的證明方法得ρ2(f)≥ρ(A0).

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