基于MATLAB的小波分析在信號去噪中的應用

曹銀萍，郭 璐

（西安石油大學機械工程學院 陜西 西安 710065）

1 引言

目前，采集信號時沒有辦法完全避開其他干擾信號的影響，最終采集的信號總是夾雜著噪聲，這種現象往往導致采集的信號失真，所以對信號進行消噪是信號處理中的一個重要問題。傳統的去噪方法有很多，其中，Fourier變換建立了時間域和頻率域相互轉換的關系，但Fourier變換以正弦波及其高次諧波為標準基，不能分析局部頻率。加窗Fourier變換一定程度上克服了Fourier變換的局限性，但其本身是單一分辨率的分析方法[1]。為了尋找更加合適的方法進行信號去噪，20世紀80年代興起了一種新的時頻交互分析方法即小波分析[2]。與Fourier變換相比，小波分析是時間頻率的局部化分析，通過伸縮平移運算對信號逐步進行多尺度細化分析，最終達到在低頻部分具有較高的頻率分辨率和較低的時間分辨率，在高頻部分具有較高的時間分辨率和較低的頻率分辨率。小波分析解決了Fourier變換不能解決的許多難題，是調和分析發展史上里程碑式的進展，因此小波分析被稱為“數學顯微鏡”[3]。

2 小波分析的概述

小波即小的波形，是指具有衰減性的波形。1974年，從事石油信號處理的法國地質專家J.Morlet第一次提出了小波變換的概念并建立了反演公式，但沒有得到當時數學家的認可[4]。J.O.Stromberg構造了和現在使用的小波基相似的小波基[5]。1986年，科學家Y.Meyer首次構造出真正的小波基[6]，并與S.Mallat聯合建立了構造正交小波基的統一方法及多尺度分析。之后的比利時女數學家I.Daubechies的學術著作《小波十講》（Ten lectures on Wavelets）對小波的普及具有重要的推動作用[7]。

2.1 簡述Fourier變換

對于f(t)∈L空間的能量信號，即時間連續信號f(t)的傅里葉變換定義為

傅里葉變換完成了時域函數和頻域函數的變換，但在轉化中丟失了時間信號，幾乎沒有分辨率。因為傅里葉變換和逆變換是獨立的，所以只能單獨分析時域特性和頻域特性，不能將其放在一起研究[8]。

2.2 簡述短時Fourier變換

為了克服Fourier變換不能描述局部時頻特性的局限性，1946年Gabor提出了短時Fourier變換，它就是時間信號加窗后的傅里葉變換，定義為

此時，ωbF(ω)給出了時間信號在時間窗[t*+b-?ω，t*+b+?ω]的局部信息。因為加窗的Fourier變換后形狀、大小均與時間、頻率無關，這個窗口一旦確定后，其大小和形狀均不變。信號處理時高頻信號需要用較短的時間窗分析，而低頻信號需要用較寬的時間窗分析，生活中的絕大部分信號都屬于非平穩信號，因此，短時Fourier變換在信號分析的應用仍有很大的局限性。

2.3 簡述小波分析

如果把ψa，b(t)代替短時傅里葉變換中的窗口函數ωω，b(t)，其中

那么式（2）變為

式（4）為小波變換的定義式。

小波變換很好的解決了傅里葉變換和短時傅里葉變換的不足，既可分析信號的局部特征，其窗口大小又可變。小波變換具有低熵性，多分辨率，可去除信號的相關性，可根據信號特點靈活選擇基函數等特性，適合用來處理非穩定信號，在噪聲消除，特征信號的提取，圖像處理等方面的應用獲得顯著成果。

3 小波分析信號去噪的原理

被噪聲污染的信號f(n)模型一般表示為

其中，s(n)是原信號，e(n)是噪聲，δ是噪聲強度[4]。

小波去噪是為了消除e(n)，還原s(n)。小波去噪的過程一般分為3個步驟：

（1）信號分解。信號采樣后，對信號進行小波分解，根據信號特性選定小波基并確定分解層數，進行分解計算。

（2）信號處理。對小波分解后的高頻系數選擇合理閾值進行軟閾值量化處理，把不需要的頻率舍棄。

（3）信號重構。根據小波分解的最底層低頻系數和每層高頻系數進行一維小波重構。

其中最關鍵的是信號處理這一步驟，閾值的選擇和閾值量化處理關系著信號的消噪質量。研究信號去噪方法的進程中主要出現了三種方法：小波分解與重構算法，誤差很大；交替投影法，計算量大；小波閾值收縮去噪法，誤差小，方便計算，目前仍大量使用。文章依托小波閾值去噪法，分析小波分析在信號去噪中的應用。

4 三種方法用MATLAB實現信號去噪的仿真對比

以含噪的doppler信號為例，采集信號后分解，以不同的方式對信號進行去噪處理，最終重構信號，達到不同效果的信號去噪結果。文章統一選用dbN小波基進行MATLAB仿真。

4.1 通過抑制細節系數去噪

在MATLAB中采集noisdopp信號后，用db6小波基對信號進行5層分解，再對細節系數進行縮放為原來的四分之一進行抑制，抑制后重新構建信號。

圖1 抑制細節系數去噪前后信號對比圖

從圖1可知抑制細節系數基本可以達到去噪的效果，但只是考慮細節系數并沒有把噪聲的性質考慮進來，去噪效果比較差，原始信號丟失的比較嚴重。

4.2 通過FFT（快速傅里葉變換）實現信號去噪

在MATLAB中實現快速傅里葉變換消噪的步驟和小波分析消噪的步驟大致相同，不同的是在進行信號處理時FFT是分析頻譜，抑制不需要的頻譜。

圖2 FFT去噪前后信號對比圖

由MATLAB仿真結果圖2可知，濾波后的信號把最初的原信號都丟掉了，所以傅里葉變換時會把它自身無法分析的區域直接舍棄，嚴重時會導致信號失真。

4.3 通過小波閾值收縮去噪法去噪

小波閾值收縮去噪法即MATLAB默認的去噪法，是根據方差最小原則，對系數偏似然估計確定閾值。仿真時使用dbN小波基對信號進行分解，閾值處理時選用全局閾值處理和分層閾值處理兩種方法，并使用軟閾值方法對信號去噪。

圖3 小波閾值去噪前后信號對比圖

由仿真結果圖3可知，分層閾值去噪后的信號比全局閾值去噪后的平滑，但丟失了一部分原信號。使用閾值去噪后的信號保留了原信號絕大多數特性，尤其保留了初期信號的高頻特性。信號去噪的兩個基本要素是光滑性和相似性，相比前兩種方法，小波分析更能滿足這兩個要素。

5 結語

文章在概述小波分析的研究進展，小波分析理論和小波分析消噪原理的基礎上，利用MATLAB仿真信號去噪前后信號能量對比圖，分析不同方法下的信號消噪效果。得出與抑制細節系數消噪和FFT消噪法都有自身不可消除的缺點相比，小波分析的閾值消噪法能夠在防止信號失真的前提下最大程度消除信號中噪聲的結論。

[1] 王芳.小波分析在信號去噪中的應用研究[D].西華大學，2009.

[2]劉志松.基于小波分析的信號去噪方法[J].浙江海洋學院學報，2011，30(2):150-154.

[3] 張仁輝，杜民.小波分析在信號去噪中的應用[J].計算機仿真，2005，22(8)：69-72.

[4] 蔡靜.MATLAB R2015a 小波分析[M].清華大學出版社，2016.

[5] 彭圓圓.小波分析在一維信號去噪中的應用[D].北京郵電大學，2011.

[6] Y.Meyer，“Principe d’incertitude，bases hilbertiennes et algebres d’operateurs，” Seminaire N.Bourbaki，1985-1986，Nr.662.

[7] I.Daubechies，Ten lectures on Wavelets.Philadelphia:PA:SIAM，1992.

[8] 劉君華，等.智能傳感器系統[M].西安電子科技大學出版社，2010.