定義運算“算理”，構建算理體系

鄭義富

數學課程標準（2011年版）將“運算能力”作為核心概念提出，運算素養也是學生應具備的數學核心素養之一。但教材或教參中并沒有對四則運算的“算理”做過明確的定義，導致教師在教學中只能進行“自我”的表述和模糊判斷。本文通過對四則運算算理的梳理，依據算理的作用及地位，結合教學實踐，將算理分為“核心算理、基本算理、具體算理、應用算理”，并分別定義，進而構建“算理體系”。

一、整數四則運算算理的基本要素

（1）核心算理。四則運算包括加、減、乘、除四種基礎運算，每一種運算的知識點有十幾甚至幾十個，這些知識點按照小學生認知發展的水平分布在小學各冊教材中。相應的算理也呈現出類似的“點狀分布”。所有這些點狀呈現的算理是否有一個賴以存在并發展的最核心的原理或準則？一定存在！這一核心原理或準則我們就稱之為“核心算理”。“核心算理”承擔著統領所有四則運算算理及相應算法的重任！

（2）基本算理。四則運算中的加、減或乘、除雖然有著緊密的內在聯系，但畢竟在運算規則方法和運算形式上有著很明顯的區別。那么，每一種運算都應該有一個主要的貫穿這種運算始終的原理或準則，即為“基本算理”。

（3）具體算理。在小學中，每一種運算按照小學生認知發展規律被劃分為不同的知識組塊。每一知識組塊又根據運算形式和表達方式的不同分為口算、筆算（包括豎式筆算、遞等式等）、估算等形式。每一知識組塊、每一種運算形式都有其相應的不抽象不籠統細節明確的算理，這就是“具體算理”。

（4）應用算理。我們知道，數學不是封閉的象牙塔，一定要與生產生活緊密聯系。那么在具體的實際問題中，又有著解釋其實際意義的“算理”作為計算的內在支撐。這樣的算理可以稱為“應用算理”。

二、算理體系的基本結構

算理體系中的四個基本要素的連接構造應為樹狀結構。核心算理是根基與主干，基本算理是主干上的四個枝干，分別為加、減、乘、除四種運算。每一枝干上因知識組塊的不同而生長出大小不一的枝丫，對應著同一種運算下的細節性的具體算理。在具體算理的枝丫上則舒展著不可計數的樹葉——實際應用的算理。這些汁液飽滿的樹葉讓整個算理體系生機勃勃。當然，所有的計算都是基于核心算理這個粗壯的樹干而存在的，沒有了這個樹干，整個體系也就轟然倒塌了。厘清了算理的結構，方能做到將算理“了然于胸”，教學時才能實現“以理馭法”。

三、整數四則運算算理的具體闡釋

（一）整數四則運算核心算理的剖析

核心算理包含兩個層面，一是計算的原理，也就是十進位值制。二是計算的基本規則，就是計算的模型化。

1. 十進位值制。十進位值制是四則運算算理的根本之源，是最基本的運算準則。十進位值制的發展可以從低到高劃分為下面四個層級，這四個層級恰好也對應著運算本身的發展層次。

（1）對應計數。最原始的計數方法應當是與實物一一對應的“點數”法。

（2）十進制計數。隨著生產生活的發展，點數法顯然不能滿足較大數的計數，這就需要重復使用有限數字，按一定規則組合后表示更大的數量，“十進制”也就隨即產生。十進制是計數發展的關鍵節點，一般認為十進制的產生與人的十根指頭相關。我們現在的四則運算都是不折不扣的“十進制”，比如加法中的“滿十進一”、減法中的“退一當十”都是“十進制”的具體體現。

（3）符號計數。符號計數使得運算變得快捷方便。尤其是阿拉伯字符的發明更是前所未有地發展了運算系統。特別是在“+-×÷”等記錄符號出現后，筆算書寫變得越來越簡潔，這也是四則運算模型化的一個必然條件。

（4）位值制。位值制是建立在進位基數之上的位置系統。有了位值制，就不需要特殊標識表示數值，只需根據不同位置確定相應位值。簡單說，就是數字因擺放的位置不同表示的數值大小也不同。在四則計算中強調要數位對齊、同數位相加減，都是基于“十進位值制”，只有位值一致的數才能直接相加減。

2. 模型化。“模型化”指的是不同的運算要遵循相對應的問題情境及固定的運算模式。某一類或幾類現實問題可以歸為其中一種模型，按照這一模型的運算方式及程序進行計算。四則運算分為加、減、乘、除四種模型。形如“聚合、移入、增加、繼續數”等問題適用于“加法”模型；“剩余、減少、比較、往回數，以及加法逆運算”等問題適用于“減法”模型；“相同數的和（等量組聚集）、矩形隊列、倍數、搭配”等問題適用于“乘法”模型；“等量遞減、平均分、包含、比率、乘法逆運算”等適用于“除法”模型。每一種模型都有著嚴格的運算規則，這種規則經長時間的演變，最后形成定型，也就是我們現在適用的四則運算規則。可以說，模型化既是四則運算的核心算理，又是四則運算最為顯著的外部（外型）特征。

（二）整數四則運算基本算理的表述

整數四則運算的基本算理是核心算理在四種不同的運算中的生長與發展。

1. 加法的基本算理。把兩個數合成一個數的運算。運算時相同數位的數逐次直接相加，每一數位加的方法都與個位數加的方法相同，某一數位上的和滿十則向前一位進一繼續求和。

2. 減法的基本算理。從一個數中去掉另一個數的運算。運算時相同數位的數逐次直接相減，每一數位減的方法都與個位數減的方法相同，某一數位上的數不夠減則由前一位退一當十繼續求剩余數。

3. 乘法的基本算理。求相同加數和的快捷運算，運算時以乘法（九九）口訣的熟練技能為基礎，按數位順序分步求出和為幾個一、幾個十、幾個百……最后累加求總和。

4. 除法的基本算理。一個數（被除數）被等量（除數）遞減，求遞減次數（商）及最后剩余（余數）。運算時以乘法（九九）口訣的熟練技能和“平均分”的實操模型為基礎，按數位順序分步求出遞減次數和剩余數，每次剩余和下一位數合起來繼續計算，直至余數小于遞減數不夠再減（分）為止。

（三）整數四則運算具體算理與算法的辨析

具體算理是核心算理和基本算理在具體的運算中的解釋和說明。與具體算法相呼應，是算法的依據。如，20以內的進位加法的算法有：點數（一個一個數）、接著數（數繼數）、依據數的組成（表象記憶法）、湊十法。這些個“算法”都遵循相同的算理，就是“十進制計數”。“湊十法”被公認為優化的方法。有教師將其總結提煉為“看大數、想湊數，拆分小的數，湊成整十數”，這僅僅是算法技巧的概括，既不是算理也不是算法。類似地，20以內的退位減法計算方法有：點數法、想加算減法、破十法、連減法。無論哪種算法，遵循的也都是“十進制計數法”這一核心算理。而其中的“破十法”就是十進制計數在算法中的應用，同時也為減法的豎式寫法打基礎。當然，減法的豎式寫法所遵循的算理還要增加一條“位值制”，即“十進位值制”。“具體算法”需經常根據不同的知識組塊進行總結概括。如一位數除三位數算法概括為：從被除數高位除起，每次用除數先試除被除數的前一位，如果它比除數小，再除前兩位，除到被除數的哪一位，就把商寫到哪一位上，每求出一位商，余下的數必須比除數小。這是一類運算問題的算法概括。強調的是算的“程序”、書寫的順序、表達的規范。而與此相應的具體算理可以這樣概括：將被除數（分開）看作幾個百、幾個十、幾個一，依次進行平均分（或計算包含的個數），求出平均分的份數（或包含的個數），每次剩余都和下一位合起來再分。直至最后余數小于除數。

（四）整數四則運算應用算理的例說

整數四則運算應用算理包括直觀演示的算理以及解釋實際意義的算理。無論是核心算理、基本算理還是具體算理，都是較為抽象的，要想促進學生對算理的理解、算法的把握，還要依據小學生的年齡特點和真實生活經驗，借助于直觀的表象或空間圖形，形象地解釋或展示運算算理。這樣的算理可以稱之為直觀算理或應用算理。

1. 實際操作演示直觀算理。例如在教學口算除法例題120÷3時，就可以直觀演示“分紙”的過程，“10張1沓的紙共12沓，平均分成3份，每份是4沓，即4個10張，也就是40張”。

2. 通過解釋實際意義理解并鞏固算法。如人教版三年下冊口算乘法例1，“每筐裝15盒草莓，買3筐共多少盒？”列算式是15×3，口算的過程用算式表達為：10×3=30；5×3=15；30+15=45。教學時就可以通過引導學生說說其“應用算理”進行算法強化。如“先算每筐10盒，3筐就是30盒，再算每筐里的5盒，3筐就是15盒，最后將兩次計算的結果相加，得出總盒數為45盒”。同樣，在解決實際問題的教學中，我們一定會借助解釋實際意義的算理幫助學生分析題意理解算法。這些都體現了“應用算理”的重要作用。

教師要厘清算理，掌握算理的脈絡體系，只有這樣才能實現在教學中“以理馭法”，讓學生“知其然”并“知其所以然”。但是，無論哪一種算理，都是為學生思維的發展服務的，在教學中不必要求學生過分糾纏算理，當以理解內化為重。

責任編輯徐國堅