淺談對初中生數學思維能力的培養

韓清華

摘 要：初中數學課堂教學中，有意識的通過教師的分析與引導，形成學生的數學思維習慣，發展學生的數學能力，是非常重要的。本文以一道初三中考變形題的分解訓練為例，說明在教師潛移默化的引導與滲透中達到對學生思維能力的培養的意義。

關鍵詞：初中生；數學思維能力；培養；習題為例

思維最初是人腦借助于語言對客觀事物的概括和間接的反應過程。它以感知為基礎又超越感知的界限。它探索與發現事物的內部本質聯系和規律性，是認識過程的高級階段。

我國初、高中數學教學課程標準中都明確指出，思維能力主要是指：會觀察、實驗、比較、猜想、分析、綜合、抽象和概括；會用歸納、演繹和類比進行推理；會合乎邏輯地、準確地闡述自己的思想和觀點；能運用數學概念、思想和方法，辨明數學關系，形成良好的思維品質。

著名教育家陶行知說：“生活、工作、學習倘使都能自動，則教育之收效定能事半功倍，所以我們特別注意自動力的培養，使它關注于全部的生活工作學習之中。自動是自覺地行動，而不是自發的行動。自覺的行動，需要適當的培養而后可以實現?！奔永飳幵f“數學是思維的體操”！贊可夫說，“教會學生思考，對學生來說，是人生中最有價值的本錢”。良好的思維習慣是一種非智力因素，是學生必備的素質。初中數學課堂教學中，有意識的通過數學例題的分析與引導，發展學生的數學能力，形成學生的數學思維習慣是非常重要的。初中三年的數學教學對教師來說，不能只是完成教學任務，潛在的思維培養是需要前期規劃與設計的。這里就以一道初三中考變形題的分解訓練為例，說明在教師潛移默化的引導與滲透中達到對動點問題的動中求靜、分類討論思想的培養。

例.如圖1，邊長為AB=6cm、AD=8cm的長方形ABCD，點P、點Q同時從A點出發，點P以3cm/s的速度沿折線ABD按A-B-D的路線運動，點Q以8cm/s沿折線ADB按A-D-B的路線運動，當PQ兩點相遇時，它們就停止運動，設PQ從A點出發時間為t，ΔAPQ的面積為S，①在P、Q運動過程中，是否存在PQ//AD？

若存在，請求出此時的t；若不存在，請說明理由；

②請求出S關于t的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍

③設S0是②中函數S的最大值，直接寫出S0的值.

這是2013年呼和浩特市中考壓軸題的最后一問的一個變式。在我們常規的中學數學教學中，這類習題的接觸與處理常常要安排在九年級的總復習中，特別是一輪基礎知識復習結束之后的綜合性訓練與講解中進行。對于還有2-3個月就要參加中考的學生來說，只有將各種知識整合，形成系統化的能力，同時對于數學各部分知識的結構與解決辦法要有很深的融合，方可靈活快捷地應對這些題目。這大概就是學生們對于數學中考中綜合性壓軸題望而卻步的原因了吧。

實際上對于這類問題，如果教師能夠運籌帷幄：在七年級的教學中進行分解設計，分步訓練，形成相關知識結構，分析結構特征；到八年級進行相關的結構組裝，形成模塊，進行有序思考；到了九年級就可以將模塊形成框架，以框架思考的方式謀篇布局，延伸遷移，形成學生能力應該是水到渠成的了。

在七年級上學習了整式的基本概念和意義后我們就可以完成這樣的第一步分解動作。

分解1.邊長為6cm的正方形ABCD，點P、點Q同時分別從點A、點B出發沿線段AB相向運動，點P的運動速度為1cm/s，點Q的運動速度為2cm/s，當一個到達線段端點后另一個也停止運動。請用時間t表示PQ兩點間的距離.

通過學生的思考、交流、整合之后可以完成此題的整體思考，對這道題有了解決的辦法并很清晰它的數學道理后，教師就應該和學生進行共同的整理。

點P（1cm/s）：從A到B共需6秒，

點Q（1cm/s）：從B到A共需3秒.

由條件當一個到達線段端點后另一個也停止運動知t的取值范圍只能是0≤t≤3，而影響PQ間距離還有一個時間就是二者的相遇時間2s了即6÷（2+1）=2，這也就是行程問題中相遇問題（小學時學生很熟悉），所以分類的區間也就顯而易見了，0≤t≤2，2

當0

當2

在這里教師帶領學生進行習題條件分析，首先分析每一個動點的變化范圍，接著分析兩個動點的關聯時間點即相遇時間，就達到了對于分段區間的確定，接著畫出每一部分的線段圖就會很清晰明確了，那么表達線段PQ就迎刃而解了。

總結：通過這種類型習題的感受和學習，學生思維中會產生一種解決動點問題的思維方向和思考方法，同時形成學生表示線段的思維結構，對于學生常常困惑和無助的分類區間不容易確定以及對于線段表示不準確的問題，有很大的思維幫助，分類討論思想也就會有所感受。

到了八年級，學習完勾股定理之后，學生表達線段就會上一個新臺階，同時還可以繼續滲透分類討論思想，從而使學生的思維習慣得以強化，為九年級形成數學思維能力奠定基礎。

分解2.如圖2，邊長為6cm正方形ABCD，點P、點Q同時從A

點出發，點P以3cm/s的速度沿折線ABD按A-B-D的路線運動，點

Q以4cm/s沿折線ADB按A-D-B的路線運動，當PQ兩點相遇時，它們

就停止運動，設PQ從A點出發時間為t，請分析隨時間t的變化，線段PQ的運動情況。

分析：首先單獨分析每一個動點的運動的關鍵點和時間區間段（如下圖按照七年級學習過的分析方式）。

即：P：從點A到B需要63=2cm/s，從B到D需要22s.

Q：從點A到D需要64=1.5cm/s，從D到B需要624=322s.

其次，由條件當PQ兩點相遇時，它們就停止運動，分析關聯點即點P、Q相遇的時間t=（6+6+62）÷（3+4）=12+627；說明點P、Q在線段BD上相遇。故時間t的分段就確定了。

當0

當1.5

點Q在線段BD上，PQ表示需要利用勾股定理可求，

此時DQ=4t-6，AH=QK=DQ2，PH=AP-AH=3t-4t-62，

QH=AD-DK=6-DQ2=6-4t-62，則PQ可以利用勾股定理求得了；

當2

分解3如圖4，邊長為AB=6cm、AD=8cm的長方形ABCD，點P

點Q同時從A點出發，點P以3cm/s的速度沿折線ABD按A-B-D

的路線運動，點Q以8cm/s沿折線ADB按A-D-B的路線運動，當

PQ兩點相遇時，它們就停止運動，設PQ從A點出發時間為t，請分

析隨時間t的變化，線段PQ的運動情況。

首先單獨分析每一個動點的運動的關鍵點和時間區間段，如下圖按照七年級學習過的分析方式。

即：P：從點A到B需要63=2cm/s，從B到D需要103s.

Q：從點A到D需要88=1cm/s，從D到B需要108=54s.

然后思考彼此的關聯點，即當PQ兩點相遇時，它們就停止運動，需要計算相遇時間，這樣就可以分出真正的時間范圍了?？梢院苋菀追治龀鱿嘤鰰r是簡單的相遇問題，則

t=（6+8+10）÷（3+8）=2411s.也就是說兩點運動的過程可以清晰了，點P從A到B再到BD上某點與點Q相遇，點Q從A到D再到相遇點。所以，分為如下時間段：

當0

當1

DK=QK=AH=8t-82，QH=AK=AD-DK=8-8t-82，

PH=AP-AH=3t-8t-82，PQ=HP2+HQ2即可求。

當2

由分解1、2、3可見原例題的難點已經解決，對于動點問題的分類方法已經成為學生隨心所欲解決的內容了，也就是說，已經是不是問題的問題了，后面的最值問題更是在表達式清晰的情況下顯而易見了。

學生的思維形成過程是需要思維轉換的空間和消化的時間的，體現了思維形成的漸進性，這就需要一線教師認真研究學生的認知規律和教學內容的相關性，合理構造銜接點，建造學生的思維大廈的“腳手架”，從而使學生搭建適合于自己的思維框架、思維習慣，最終形成自己的思維能力。

參考文獻：

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[3]呂小保.“簡單”的問題“不簡單”的教學行為——記一道課本習題的教學[J]，數學通報，2011，50（10）：15-17.

（作者單位：內蒙古呼和浩特市第四中學 010020）