精確直線可展機構及其動力學分析

暢博彥 李文啟 金國光 宋艷艷

1.天津工業大學機械工程學院，天津，300387 2.天津工業大學天津市現代機電裝備技術重點實驗室，天津，300387

0 引言

可展機構是由預制單元集成的，能夠從初始的緊密構形展開到預先設定的展開構形，且是具有一定承載能力的機構。可展機構中的直線可展機構在交通運輸和航空航天等領域［1-3］有著廣泛的應用前景。

直線運動機構是構造直線可展單元的基礎，如 Peaucellier-Lipkin機構、Kempe機構、Sarrus機構、Hart直線機構、Bricard直線機構和Radasat雷達天線展開機構［4］等，均可實現精確直線運動；Watt機構、Roberts機構、Chebyshev機構、Hoekens機構、λ形機構等［5-7］可實現近似直線運動，且以上所述直線運動機構中均只含有轉動副。LU等［8］以Hoekens機構為基礎，設計得到一種新型直線可展單元，研究了該可展單元的模塊化組成原理，構造出了一種大型直線可展機構，并對機構的靜剛度進行了分析。YANG等［9］以混聯運動支鏈替代Sarrus機構原有支鏈，設計得到6種對稱結構的直線運動機構，所得機構與Sarrus機構相比，具有更好的力承載性能。張武翔等［10］以調整結構勢能最小為目標，研究了Radasat機構尺寸調整的數學模型，給出了2種有效的桿長尺寸調整方法。WEI等［11］對單閉環空間對稱8R機構的幾何運動特性進行了分析，構造出一種空間直線可展單元，并通過擴展設計得到一種新的矩形直線運動機構，該機構只有一個自由度，屬于高度過約束機構。DING等［12］依據多面體幾何理論，將一種特殊結構的空間連桿機構用于直線可展機構的設計，并對可展機構的運動特性進行了分析。

剪叉機構因其具備可展性好、制造安裝方便的優點，是直線可展單元模塊化擴展時的一種常用機構［13］。李端玲等［14］基于螺旋理論和球面幾何理論，對單個球面剪叉單元的自由度特性進行了研究，建立了包含n個支鏈、m個剪叉單元的球面可展機構運動學模型。袁茹等［15］、孫遠濤等［16］分別以剪叉式環形陣列機構和直線陣列機構為對象，建立了機構的運動學和動力學模型，并對機構展開過程中的動態特性進行了研究。

本文將Hart直線機構和剪叉機構相結合，提出一種僅含轉動副的直線可展單元，經模塊化組合和擴展后，構造出一種精確直線可展機構，并對該機構的結構學、運動學和動力學進行分析和仿真研究。

1 精確直線可展機構及其組成原理

圖1為精確直線可展機構實物圖，該機構由圖2所示的3種模塊（即底部模塊、中部模塊和頂部模塊）經轉動副順序連接而成。3種模塊均為軸對稱結構，并由2組同類型的直線可展單元反向對稱安裝而成，其中直線可展單元根據所在模塊位置不同，其結構略有差異，但均以Hart直線機構和剪叉機構為基礎構造得到，構造過程見圖3。

圖1 精確直線可展機構實物圖Fig.1 Physical map of the accurate straight-line deployable mechanism

圖2 三種模塊簡圖Fig.2 Diagram of the three modules

Hart直線機構是一種特殊的平面六桿機構，見圖4，其中以桿AB為機架，可將桿BG的擺動轉化為點F沿y軸方向的精確直線運動。根據該機構的幾何尺寸要求，需要有 LAE=LFE成立，由此關系可得配對剪叉機構的桿長約束條件為LAE=LEH=LFE=LEI，因此，在直線可展單元中，有如下關系成立：

即I點的運動軌跡為沿x軸方向的精確直線，用于實現剪叉機構的開合運動。

機構模塊化裝配時，可通過改變中間模塊的數量來調節機構的行程；機構模塊化裝配完成后，通過控制剪刀叉的開合可實現相鄰模塊間運動和動力的傳遞，并最終實現機構的展開或收合運動，見圖5。

圖3 三種直線可展單元構成簡圖Fig.3 Diagram of three straight-line developable units

圖4 Hart直線機構Fig.4 Hart straight-line mechanism

圖5 精確直線可展機構的兩個構態Fig.5 Two configurations of the accurate straight-line deployable mechanism

該精確直線可展機構與現有機構相比具有如下優點：①僅含有轉動副，機構具有耐磨性強、使用壽命長、加工制造方便、不易卡死等優點；②采用模塊化設計，通過改變中部模塊的安裝數量可實現最大伸縮量的改變，機構應用范圍廣，適應能力強；③采用對稱布置結構，增大了機構的整體支撐強度，具有承載能力高、力傳遞性能好的優點；④該機構可實現精確直線運動，且為單自由度機構，有利于實現對機構的精確控制。

2 精確直線可展機構運動學建模

Hart直線機構中各桿件長度需滿足：以短桿FG的桿長為單位長度，桿AE和桿FE的長度均為桿FG長度的1/k倍，桿AB的長度為桿FG長度的(1-k2)/k2倍，桿BG的長度為桿FG長度的1/k2倍，桿CD的長度為桿FG長度的(1-k2)/k倍，k為機構的桿長比例系數且0＜k＜1；點D距點A的長度等于桿CD的長度，點C距點B的長度等于桿AB的長度。

以點A為原點，桿AB為 x軸，建立固定坐標系 Oxy，各桿件與 x軸夾角分別為 θ1、θ2、θ3、θ4、θ5（見圖4）。

針對閉環運動鏈ABCDA，列寫閉環矢量方程：

即

針對閉環運動鏈AEFGBA，列寫閉環矢量方程：

即

將各桿件的長度關系代入式（2）和式（3），并結合裝配關系可求得

根據幾何關系，F點坐標（xF，yF）可表示為

將式（7）代入式（8）中可得即Hart直線機構中，點F的運動軌跡為沿 y軸方向的精確直線，其運動規律可通過式（9）中 yF的表達式求得。

n層精確直線可展機構中共含有n個模塊（n≥2），包括1個底部模塊、（n-2）個中部模塊和1個頂部模塊，見圖6。以各模塊內部的可展單元為研究對象，在各自的動坐標系中，其運動規律均滿足式（4）～式（9）。通過各模塊的疊加實現了對機構直線運動行程的比例放大，即第n層模塊中點F的運動規律可以表示為

圖6 n層精確直線可展機構簡圖Fig.6 Accurate straight-line deployable mechanism consisted with n-layer modules

3 精確直線可展機構動力學建模

基于Lagrange方程進行系統動力學分析，選定系統廣義坐標，求出系統動能、勢能和廣義力的表達式，代入Lagrange方程中，即可導出系統動力學方程

式中，l為系統的自由度；qi為廣義坐標；U為系統的總勢能；T為系統的總動能；Qi為對應于廣義坐標qi的廣義力。

3.1 系統的總重力勢能

圖6中，3種模塊中共有8種桿，分別是桿AB、桿AE、桿AH、桿BG、桿CD、桿FE、桿FI、桿FG，對應桿件的數量分別為（n+1）個、2個、2（n-1）個、2n個、2n個、2個、2（n-1）個、2n個，各桿件質量分別用 m1、m2、m3、m4、m5、m6、m7、m8表示。

假設機構中各構件均為勻質桿，且其質心為桿件的幾何中心，根據機構的組成原理和軸對稱性，可得8種桿件質心坐標的通用表達式為

由式（12）～式（19）可求解得到n層精確直線可展機構中全部桿件的質心坐標。根據所求質心坐標，n層精確直線可展機構的總重力勢能為

3.2 系統的總動能

n層精確直線可展機構中，所有桿件均作平面運動，各桿件動能的通式為

式中，J為各構件繞質心的轉動慣量；ω為各構件繞質心轉動的角速度；m為各構件的質量。

根據式（21），可得到系統中8種類型桿件的動能分別為

式中，J2、J3、J4、J5、J6、J7、J8分別為桿AE、桿AH、桿BG、桿CD、桿FE、桿FI、桿FG繞其各自質心的轉動慣量。

綜上8種類型桿件的動能，進而可求得系統的總動能為

3.3 系統動力學模型的建立

n層精確直線可展機構為單自由度系統，選取桿BG的轉角θ1為廣義坐標，忽略各運動副間的摩擦、間隙和桿件變形，將式（20）和式（22）代入式（11），可建立系統動力學模型：

根據所建動力學模型的表達式（式（23）），即可求出該機構在給定運動規律時，所需的驅動力矩，數值計算過程見圖7。

圖7 動力學數值仿真流程圖Fig.7 Flow chart of the simulation for dynamics

4 精確直線可展機構動力學仿真

以圖1所示的3層精確直線可展機構為例，對其進行動力學數值仿真和虛擬仿真。取桿FG的長度 LFG=0.06 m，桿長比例系數k=0.5，各桿件橫截面均為0.016 m×0.006 m的矩形，材料均選用鋁合金，密度為2 700 kg/m3，該機構各構件幾何參數與物理參數見表1。

表1 精確直線可展機構的幾何參數與物理參數Tab.1 Geometric parameters and physical parameters of accurate straight-line deployable mechanism

在SolidWorks軟件中按照表1所示的參數建立3層精確直線可展機構的三維模型，見圖8。對機構進行虛擬運動仿真，得到該機構在不發生干涉的條件下，θ1=10.4°時機構處于最大壓縮狀態；θ1=51.4°時機構處于最大伸展狀態。將θ1min=10.4°和 θ1max=51.4°代入該機構的伸縮率計算通式：

其中，smax、smin分別為點F與點A距離的最大值和最小值，進而可求得該組參數條件下機構的伸縮率為3.69。

圖8 3層精確直線可展機構三維圖Fig.8 The 3D modeling of accurate straight-line deployable mechanism consisted with 3-layer modules

設桿BG為驅動桿，初始位置時機構處于最大壓縮狀態，0～6 s時驅動桿沿順時針方向以6.83°/s的角速度進行勻速轉動，6～8 s時保持靜止，8～14 s時驅動桿逆時針以6.83°/s的角速度進行勻速轉動。運用Motion插件對機構進行動力學分析，得到精確直線可展機構末端執行器輸出（即頂部模塊F點）的運動規律和機構所需的驅動力矩。根據相同的機構結構參數和運動輸入參數，基于動力學模型式（23），運用數值仿真軟件進行數值計算，將得到的數值計算結果與虛擬仿真結果相比較見圖9和圖10，可以看出，虛擬仿真結果與數值計算結果一致，驗證了所建動力學模型的正確性和有效性。

由圖9可以看出，在輸入運動規律為勻速運動的條件下，運動開始和運動終止時，機構末端執行器輸出速度分別由0突變為0.125 m/s，再由-0.125 m/s突變為0，理論上此時加速度趨近于無窮大，由此產生的巨大慣性力導致機構存在剛性沖擊；運動時間為6 s和8 s時，機構末端執行器輸出的速度為0，但加速度出現有限值突變，導致慣性力突然變化而產生柔性沖擊。以上兩類沖擊將直接作用于末端執行器，并對機構的運動穩定性、可靠性和運動精度產生影響，因此，必須對輸出末端執行器的運動規律和驅動力矩進行優化。選取正弦加速度曲線為機構末端執行器的輸出運動規律，根據幾何參數可得到末端執行器的位移滿足：

圖9 末端執行器輸出運動規律Fig.9 The motion of end-effector

圖10 驅動力矩曲線Fig.10 The curve of driving torque

通過數值仿真軟件對式（25）所示的精確直線可展機構末端執行器的輸出運動規律進行數值計算，得到其運動規律見圖11。由圖11可以看出，對機構的運動規律進行優化后，機構在整個運行過程中，末端執行器輸出的速度和加速度均連續，且在機構運動開始、運動時間為6 s、運動時間為8 s和運動終止時，速度和加速度均為零，不產生剛性或柔性沖擊，保證了機構在連續運動過程中不會對末端執行器產生沖擊作用，從而有效提高了機構的穩定性、可靠性和運動精度。

聯立式（25）、式（9）和式（10），可求出桿BG的轉角θ1，再將求解得到的θ1代入機構動力學方程式（23）中，可求解得到優化后機構所需的驅動力矩見圖12。

圖11 優化后末端執行器的輸出運動規律Fig.11 The motion of end-effector after optimization

圖12 優化后驅動力矩曲線Fig.12 The curve of driving torque after optimization

5 結論

（1）提出了一種新型精確直線可展機構，闡述了該機構的模塊化組成原理，并運用矢量代數法構建了機構的運動學模型。

（2）運用Lagrange方法建立了新型精確直線可展機構的動力學模型，并以3層精確直線可展機構為例，應用虛擬仿真技術驗證了所建動力學模型的正確性，所建動力學模型可為機構的動力學分析和優化設計奠定基礎。

（3）針對勻速驅動時精確直線可展機構存在剛性和柔性沖擊的問題，對該機構末端執行器輸出運動規律和驅動力矩進行優化設計。結果表明：末端執行器的輸出運動規律采用正弦加速度曲線時，可有效避免由于機構慣性力過大而產生的沖擊作用，為保證機構運動的穩定性、可靠性和精確性提供了方法和依據。

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