輪盤超橢圓異型螺栓孔均衡優化設計

韓佳欣，郭海丁

（南京航空航天大學江蘇省航空動力重點實驗室，南京210016）

0 引言

航空發動機實際服役情況和試驗表明，高轉速下的發動機輪盤的孔結構極易出現應力集中，導致整體結構強度儲備降低[1-2]。對于發動機盤類部件的螺栓連接而言，螺栓通孔在交變應力作用下容易產生疲勞裂紋并擴展到附近的承力結構，最終導致整個結構失效[3]。因此，降低孔邊應力集中并提高輪盤乃至整個發動機的壽命，是提高發動機安全性和可靠性亟需解決的關鍵問題[4-5]。解決孔邊應力集中問題的傳統措施有孔邊倒角、拋光以及改變結構尺寸等，但這些常規方法降低應力的效果并不明顯，甚至會增加結構質量[6]。針對此類問題，美國GE公司和法國SNECMA公司聯合研制的CFM56-Ⅲ型航空渦輪發動機將位于高壓渦輪盤前安裝邊的螺栓孔改進為1種8圓弧連接異型螺栓孔，并于1984年通過適航認證。這一反傳統結構引起了中國航空發動機學者的關注。對其孔邊受力特性的研究表明，這種異型孔可以有效降低螺栓孔附近應力的大小，改善應力的分布情況，從而提高發動機的壽命[7-8]。然而，8圓弧異型孔輪廓設計參量較多，優化模型也略顯復雜，而且由于采用異型孔會導致孔輪廓尺寸增大，給連接結構的傳力帶來負面影響。

為克服上述缺點，本文基于超橢圓曲線引入1種數學模型更為簡潔的異型孔結構方案對輪盤螺栓孔進行優化，通過引入超橢圓孔輪廓異型度，對優化過程中的孔輪廓尺寸變化幅度進行控制。此外，對最優解附近設計變量靈敏度進行了分析。

1 超橢圓孔輪廓特征及分析

1.1 超橢圓孔及輪廓異型度的定義

自1812年Adolph G?pel首次提出以來，超橢圓方程已經演變出多種形式，并且在不同領域得到廣泛應用，如密碼學、數學、宇宙學和工程領域等[9-11]。其最常見的1種形式為

式中：a、b為超橢圓半軸長，主要限制超橢圓孔大小；m、n為形狀指數，決定超橢圓形狀。

為保證超橢圓輪廓光滑連接，超橢圓指數取值均大于2。m、n取值不同時得到的超橢圓螺栓孔輪廓形狀如圖1所示。

圖1 超橢圓曲線幾何形狀（m，n＞2）

研究表明，隨著指數m、n的增大，孔邊最大應力有明顯下降，但得到的超橢圓孔輪廓可能接近方孔，孔輪廓面積也相應增大，這會明顯減少連接面接觸面積。對于類似的螺栓連接結構，螺栓孔輪廓面積的增大會加劇預緊力損失，減小連接結構抗滑移系數，進而降低結構抗剪承載能力，最終影響連接單元間的傳力傳扭[12-14]。

為比較超橢圓孔與原螺栓孔（基圓）的面積變化，本文引入超橢圓異型度Rs

式中：Sc為基圓面積；Sh為超橢圓孔輪廓面積。當0≤x≤a，0≤y≤b 時，式（1）可變形為

基圓面積Sc可按圓形面積公式求得

式中：r為優化前圓形螺栓孔半徑。

而Sh的求解為

對該式做數值積分可得

式中：h=a/p；a、b為超橢圓半軸長，為方便裝配，設定異型孔輪廓與基圓在x，y軸相切，即a=b=r；Sc始終小于Sh；p為積分區間內采樣點數；h為計算精度，一般設為0.001。

a、b確定時，超橢圓孔異型度只與指數m、n有關。超橢圓異型度隨m、n的變化關系如圖2所示。

圖2 超橢圓孔異型度隨指數m、n的變化關系

從圖中可見，隨著指數m、n的增大，超橢圓孔異型度逐漸增大，當指數大于6時，異型度甚至超過25%（圖1（b）），這無疑會阻礙結構間的可靠傳力和傳扭。

1.2 渦輪盤超橢圓孔異型度設計分析

某航空發動機輪盤連接單元由1根長螺栓將前鼓筒軸、封嚴盤和渦輪盤裝配在一起，如圖3所示。其中渦輪盤前安裝邊通過托板自鎖螺母與螺栓配合，連接結構的剖面如圖4所示[15]。

采用異型螺栓通孔結構時，降低孔邊應力當然是主要目標，但還需要注意由于孔輪廓的改變（即異型度變化）對螺栓連接結構傳力可靠性的影響。對于圖3中的輪盤螺栓連接結構，渦輪盤螺栓孔面積增大會導致渦輪盤前安裝邊與托板螺母的接觸面積（即圖4中的接觸面B）減小，輪盤端面上螺栓孔周圍產生高壓應力，使得孔邊被壓平磨光，因此會降低螺栓結構的抗滑移承載能力，影響結構傳力和傳扭[13]。此外，異型度較大的螺栓孔更加接近方孔，給加工和裝配帶來困難。

圖3 輪盤連接結構

圖4 輪盤螺栓連接單元

因此，采用超橢圓異型螺栓孔時，在追求應力降低的同時，應盡量保持孔輪廓異型度較小。這也使得設計更穩健，有利于提高結構的可靠性和降低加工裝配的難度。

2 渦輪盤超橢圓螺栓孔均衡優化設計方法

2.1 多目標超橢圓異型螺栓孔均衡優化模型

在設計變量變化范圍內，異型孔孔邊應力隨孔輪廓異型度的增大而降低[5]。優化時，單一尋求更低的孔邊應力，可能會導致螺栓孔異型度過大，從而導致裝配精度降低、加工難度增大，進而使傳力的可靠性降低。為此，本文提出1個多目標均衡優化模型，該優化模型包括2個互斥的單目標函數，借以均衡考慮超橢圓螺栓孔異型度減小與孔邊應力降低2個互相制約的優化目標。在有效降低孔邊應力至設定值的同時，保證超橢圓孔具有恰當的異型度，從而保證結構的可靠傳力。其具體形式為

優化目標：

約束：

式中：Mup.、Mlow.和 Nup.、Nlow.分別為 m、n 的上下取值邊界；σmax為孔邊最大第1主應力。

優化目標由2個互斥的目標函數f1（σmax）和f2（m，n）組成，Rs見式（2），Rσ為孔邊應力降低率

式中：σr為原螺栓孔孔邊最大應力。

2.2 某渦輪盤超橢圓螺栓孔均衡優化

考慮到超橢圓異型螺栓孔多目標均衡優化模型的目標函數與設計變量成復雜的非線性關系，采用經典的多目標優化方法NSGA-Ⅱ對其進行尋優。該方法基于Pareto非劣占優原理，得到的Pareto前沿（即非劣最優解組成的集合）分布均勻，適用于求解適應度函數復雜的多目標優化問題[16-18]。

對于某型渦輪連接結構（圖3、4），其正常工作時渦輪盤前安裝邊受到多種因素影響，如離心力、扭矩、預緊力、軸向載荷、徑向溫度梯度和過盈配合產生的載荷等。為兼顧優化模型高效且易行，須對載荷進行簡化。渦輪盤螺栓孔孔邊應力水平主要受離心載荷影響，優化時僅考慮輪盤及葉片離心載荷所得到的孔型，即使在復雜載荷模型下也保持其優勢，依然為應力最小的孔型[5-7]。

采用文獻[5]、[6]所提供的簡化力學模型，基于超橢圓孔均衡優化設計方法，對圖3中的渦輪盤前安裝邊上螺栓孔進行優化，步驟如下：

（1）設定優化參數。渦輪盤材料為GH4169；輪盤工作轉速ωmax=14731 r/min，工作溫度為450℃；超橢圓曲線半軸長 a=b=r（基圓半徑）；2 mm≤m（n）≤6 mm。

（2）基于輪盤簡化力學模型，運用Ansys有限元分析得到孔邊第1最大主應力；運用式（2）～（6）計算得到孔輪廓異型度。建立超橢圓螺栓孔多目標均衡優化模型。

（3）運用非劣占優多目標遺傳算法（NSGA-Ⅱ）對模型進行Pareto非劣占優評估，得到滿足收斂代數和終止準則的Pareto前沿。

（4）分別設定模型中2個優化目標理想優化值

（5）對Pareto前沿的非占優解進行二次挑選，最終獲得最接近設計者理想值的最優設計解。優化流程如圖5所示。

圖5 超橢圓螺栓孔均衡優化方法

3 優化結果與討論

3.1 超橢圓螺栓孔優化結果

基于均衡優化方法可得單參量（m=n）和雙參量（m≠n）時超橢圓螺栓孔多目標均衡優化問題的Pareto前沿，如圖6、7所示。

圖6 單參量超橢圓孔Pareto前沿（m=n）

圖6 、7中Pareto前沿曲線上方的區域為設計可行域，超橢圓孔最優解位置如箭頭所示，優化所得設計參數見表1。

圖7 雙參量超橢圓孔Pareto前沿（m≠n）

表1 超橢圓孔優化結果

由此可見，本文提出的均衡優化方法可有效地在2個互斥的優化目標間尋得折衷解，在孔邊應力下降率達到預期值的同時，使得孔輪廓異型度最小，保證了連接結構的可靠傳力。

3.2 異型孔優化模型及優化效率比較

將超橢圓螺栓孔均衡優化模型與文獻[19]中提出的8圓弧光滑連接的異型螺栓孔優化模型比較，并通過式（10）求解2種模型的全局搜索能力（GSC）對二者的穩定性進行對比。

式中：N=30，表示重復獨立運行2種模型的次數；k為得到全局最優解的次數。

2種優化模型主要區別見表2。

表2 2種異型螺栓孔優化模型對比

經對比可知，8圓弧異型孔降低孔邊應力的效果更加明顯，而超橢圓螺栓孔均衡優化模型則更加簡潔，設計變量數目更少，尋優空間更好把握，優化耗時也明顯降低，且優化效果較均衡，具備較好的傳力傳扭性能。此外，多個優化目標加強了對尋優空間的搜索能力，便于準確定位得到最優解，提高了優化方法的穩定性。2種孔型的輪廓差異的直觀對比如圖8所示。

圖8 不同螺栓孔優化輪廓對比

4 設計穩健性分析

4.1 超橢圓螺栓孔孔邊應力響應面

為分析設計變量對孔邊應力下降率的影響，分別做單參量和雙參量超橢圓孔應力響應面。

（1）單參量超橢圓孔應力響應面如圖9所示。

圖9 單參量超橢圓孔應力下降率響應面

單參量超橢圓孔指數m增大時，應力下降率先增大后減小；m=4.0～4.5時，孔邊應力下降最為明顯。運用多項式擬合應力下降率的響應面函數為

式中：x代表指數m=n；p1～p7為擬合多項式系數，其取值見表3，該情況下擬合的均方根誤差RMSE=0.6389。

表3 單參量響應面擬合多項式系數

（2）雙參量超橢圓孔應力響應面如圖10所示。

從圖中可見，孔邊應力下降率隨指數n的增大而單調增大，隨m的增大先增大后減小，當m=3.0～3.8時，達到峰值。同樣采用多項式對該響應面進行擬合，得到孔邊應力降低率與指數間關系為

式中：x、y分別為指數 m、n；系數 p00～p13的取值見表4，此時均方根誤差 RMSE=1.734×10-12。

圖10 雙參量超橢圓孔應力下降率響應面

表4 雙參量響應面擬合多項式系數

從圖9、10中箭頭所指位置可見，設計的均衡優化模型所得到的最優解在滿足應力降低目標的同時，選擇了指數相對較小，即異型度較小的均衡解（因超橢圓指數與異型度成單調遞增關系，圖2）。此時，最優解附近響應面變化較為平緩，設計具有較好的穩健性[20-21]。

4.2 設計靈敏度分析

在結構的優化中，靈敏度分析作為反映穩健性的重要指標日益得到重視[22-23]。對于結構復雜的優化問題，其功能函數不能明確表達時，靈敏度分析常采用響應面法獲得[24]。考慮到超橢圓孔孔邊應力降低率隨指數變化基本連續，且數學模型簡潔，變量較少，采用對響應面的擬合多項式求導數和偏導數的方式來計算其最優解附近的靈敏度。對式（11）和（12）分別求導，繪制其靈敏度隨指數變化的曲線，如圖11、12所示。

圖中箭頭所指為最優解，在2種情況下，其所在區域的指數靈敏度都相對較小。這意味著優化得到的超橢圓螺栓孔不會因為輪廓的微小變化而產生過于明顯的孔邊應力變化，并表明均衡優化所獲得的超橢圓螺栓孔設計點具備較好的穩健性。這在一定程度上也對未來加工誤差的控制和加工方法的選擇提供了方便。

圖11 單參量超橢圓孔指數靈敏度

圖12 雙參量超橢圓孔指數靈敏度

5 結論

本文針對輪盤螺栓孔孔邊應力集中問題提出了1種超橢圓螺栓孔均衡優化方法，得到以下主要結論。

（1）提出的超橢圓螺栓孔設計方法均衡考慮了2個相互制約的目標函數，得到的超橢圓螺栓孔能按設計需求有效降低孔邊應力，且孔輪廓異型度較小，保證了可靠的傳力。

（2）超橢圓孔數學模型簡潔，設計變量更少，尋優空間更易把握，優化效率和穩定性較高。

（3）均衡優化獲得的超橢圓異型孔應力響應靈敏度較小，設計穩健性較好。

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