機動轉(zhuǎn)彎條件下轉(zhuǎn)子有限元建模方法

張 鵬，羅貴火，王 飛

（南京航空航天大學江蘇省航空動力系統(tǒng)重點實驗室，南京210016）

0 引言

機動性是飛機重要的戰(zhàn)術性能指標，良好的機動性能為飛機帶來優(yōu)異的空中格斗和突防能力。機動飛行會使飛機轉(zhuǎn)子系統(tǒng)承受附加離心力及附加陀螺力矩的影響，飛機轉(zhuǎn)子動力特性也將發(fā)生改變。文獻[1]考慮了圓盤自由度，利用柔度影響系數(shù)法建立了雙盤懸臂轉(zhuǎn)子的運動微分方程，研究了水平盤旋和俯沖拉起條件下轉(zhuǎn)子的振動特性；文獻[2]以Jeff cot轉(zhuǎn)子為研究對象，利用Lagrange方程建立圓盤的運動微分方程，并對機動飛行下轉(zhuǎn)子的非線性特性進行求解；目前諸多研究[3-8]將圓盤和轉(zhuǎn)子軸視為2個單元，利用柔度影響系數(shù)法或Lagrange方程進行建模，在保證計算正確性的同時有效地減少了計算量，但由于轉(zhuǎn)子簡化后的自由度較少，計算得到的振型誤差相對較大，難以獲得轉(zhuǎn)子軸上各位置的響應情況，有一定的局限性。

本文針對機動轉(zhuǎn)彎飛行動作，利用能量法對各有限單元的矩陣進行推導，并對各單元的載荷向量進行推導，建立能夠考慮轉(zhuǎn)彎過載的轉(zhuǎn)子有限元建模方法，為機動轉(zhuǎn)彎條件下轉(zhuǎn)子動力學研究提供1種新方法。

1 單元矩陣的推導

1.1 剛性圓盤單元

由文獻[9]結(jié)論可得圓盤慣性矩陣Me和陀螺矩陣Ge

式中：md為圓盤質(zhì)量；Id為圓盤直徑轉(zhuǎn)動慣量；IP為圓盤極轉(zhuǎn)動慣量。

1.2 線性彈簧單元

由文獻[9]結(jié)論可得線性彈簧單元的剛度矩陣Kse和阻尼矩陣Cse

式中：Ks1、Ks2分別為線性彈簧在x、y正交方向的剛度系數(shù)；Cs1、Cs2分別為線性彈簧在x、y正交方向的阻尼系數(shù)。

1.3 Timoshenko梁單元

本文采用考慮剪切變形和轉(zhuǎn)動慣量的Timoshenko梁單元建立轉(zhuǎn)子模型。梁單元局部坐標如圖1所示，考慮剪切變形的梁單元如圖2所示。

圖1 梁單元局部坐標

圖2 考慮剪切變形的梁單元

梁單元內(nèi)任一點位移用形函數(shù)和節(jié)點位移表示為

其中

根據(jù)文獻[11]，Timoshenko梁單元的形函數(shù)為

定義剪切修正系數(shù)為

式中：μ為軸段材料的泊松比；λ=ri/ro，為內(nèi)徑與外徑之比。

軸段的截面慣性矩表達為

式中：R1為軸段內(nèi)圈半徑；R2為軸段外圈半徑。定義常數(shù)

式中：Ge、Ae分別為剪切模量和截面面積；Ee、Ie分別為材料彈性模量和軸段截面慣性矩。

根據(jù)文獻[11]，長度為le的Timoshenko梁單元剛度矩陣Ke可表達為

其中

單元的慣性矩陣Me可表達為

其中

單元的陀螺矩陣Ge可表達為

其中

2 載荷向量的推導

2.1 機動轉(zhuǎn)彎軌跡建模

為便于描述機動飛行過程中飛機的姿態(tài)，建立機身坐標系如圖3所示。其中o0x0y0z0為靜止的地面坐標系，obxbybzb為固定在機身上的機身坐標系。

圖3 飛機姿態(tài)坐標系

飛機的整個機動轉(zhuǎn)彎過程如圖4所示，機身姿態(tài)如圖5所示。飛機在直線段Ⅰ以平飛姿態(tài)進行直線飛行；在轉(zhuǎn)彎段Ⅰ內(nèi)，飛機沿機身中軸線zb滾轉(zhuǎn)角度θB，并且以正弦變機動角速度ωB通過轉(zhuǎn)彎段Ⅰ；隨后，無人機以轉(zhuǎn)彎段Ⅰ末的姿態(tài)完成轉(zhuǎn)彎段Ⅱ的飛行；在轉(zhuǎn)彎段Ⅲ內(nèi)，飛機沿機身中軸線zB滾轉(zhuǎn)角度-θB，并且以余弦變機動角速度ωB通過轉(zhuǎn)彎段Ⅲ；最后，飛機完成轉(zhuǎn)彎，沿直線段Ⅱ進行直線平飛。

圖4 機動轉(zhuǎn)彎軌跡

圖5 機動轉(zhuǎn)彎機身姿態(tài)

根據(jù)以上敘述，假設機動轉(zhuǎn)彎過程中飛機的機動角速度表達為[3]式中：ω0為穩(wěn)定的機動轉(zhuǎn)彎角速度；t1、t2、t3分別為直線段Ⅰ、轉(zhuǎn)彎段Ⅱ、直線段Ⅱ結(jié)束的時刻。

假設機動轉(zhuǎn)彎過程中飛機的滾轉(zhuǎn)角度表達為

式中：θ0為穩(wěn)定的機身滾轉(zhuǎn)角度。

2.2 梁單元的附加離心力載荷向量

機動轉(zhuǎn)彎條件下單位長度梁單元所受的附加離心力作功為

式中：ωB為機動角速度；RB為轉(zhuǎn)彎軌跡半徑；ρe為軸的密度；Ae為軸的截面積；dξ為微元段長度。

對式（14）沿梁單元長度方向積分得

定義

將式（3）、（16）代入式（15）得

其中

由Lagrange方程得梁單元附加離心力向量為

其 中

2.3 梁單元的附加陀螺力矩載荷向量

機動轉(zhuǎn)彎時梁單元微元段由于轉(zhuǎn)動所承受的動能增量為

對式（20）沿梁單元長度方向積分得

定義

將式（3）、（22）代入式（21）得

其中

由Lagrange方程得梁單元附加陀螺力矩向量為

其中 B'=2ρeIeΩzωB。

2.4 梁單元的重力載荷向量

類比軸所受附加離心力的推導過程，可得機動轉(zhuǎn)彎時軸所受重力載荷向量為

式中：Z2n-1=-Ansin θB；Z2n=Ancos θB，（n=1，2，3，4）；An的定義見式（16），Z(=gρeAe，g為重力加速度。

2.5 圓盤的載荷向量

機動轉(zhuǎn)彎時盤承受附加離心力為

盤所受附加離心力在機身坐標軸的分量為

機動轉(zhuǎn)彎時盤承受附加陀螺力矩大小為

盤所受附加陀螺力矩在機身坐標軸的分量為

將盤在機動轉(zhuǎn)彎過程中所受的附加載荷寫成向量形式

由圖5可得，機動轉(zhuǎn)彎時，盤所受重力在機身坐標系x、y方向的分解為

因此，盤的重力載荷向量為

由于制造誤差等因素，盤的質(zhì)心會偏離盤心一定的距離，使得盤在轉(zhuǎn)動過程中會承受不平衡力載荷，可表達為

式中：me為不平衡量；Ω為自轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)速；t為時間。

3 單元矩陣及載荷向量的組裝

根據(jù)文獻[12]，對上述推導的單元矩陣和載荷向量進行組裝，形成系統(tǒng)慣性矩陣、剛度矩陣、陀螺矩陣和阻尼矩陣分別為M、K、G、C，系統(tǒng)總外載荷向量Psum為

形成轉(zhuǎn)子運動微分方程

4 機動轉(zhuǎn)彎轉(zhuǎn)子振動響應算例

雙盤轉(zhuǎn)子有限元模型如圖6所示。以圖6中的轉(zhuǎn)子為研究對象，計算轉(zhuǎn)子在機動轉(zhuǎn)彎過程中的響應。轉(zhuǎn)子參數(shù)見表1，轉(zhuǎn)彎軌跡參數(shù)見表2。

圖6 雙盤轉(zhuǎn)子有限元模型

將表1和表2中的數(shù)據(jù)代入式（36），為提高計算效率，利用固定界面模態(tài)綜合法對系統(tǒng)進行自由度縮減[13-15]，對縮減后的模型進行Newmark數(shù)值求解[10,16]，得圓盤處的瞬態(tài)軸心軌跡如圖7所示，平飛段穩(wěn)態(tài)軸心軌跡如圖8所示，轉(zhuǎn)彎段穩(wěn)態(tài)軸心軌跡如圖9所示。

從圖7中可見，盤心首先在直線段Ⅰ的位置進行圓周運動；當飛機進入轉(zhuǎn)彎段Ⅰ時，盤心沿轉(zhuǎn)彎段Ⅰ的箭頭方向進行螺旋運動，最終到達轉(zhuǎn)彎段Ⅱ的位置，在該位置，飛機作穩(wěn)定的轉(zhuǎn)彎機動，盤心作穩(wěn)定的圓周運動，但圓周運動的圓心與直線段Ⅰ的不同；當飛機退出轉(zhuǎn)彎機動時，即飛機進入轉(zhuǎn)彎段Ⅲ，此時盤心沿轉(zhuǎn)彎段Ⅲ箭頭方向進行螺旋運動退出轉(zhuǎn)彎機動，最終到達直線段Ⅱ的位置，即回到進入轉(zhuǎn)彎段Ⅰ之前的位置繼續(xù)做圓周運動。

表1 轉(zhuǎn)子參數(shù)

表2 轉(zhuǎn)彎軌跡參數(shù)

圖7 圓盤處的瞬態(tài)軸心軌跡（轉(zhuǎn)速為5000 r/min）

圖8 平飛段穩(wěn)態(tài)軸心軌跡

圖9 轉(zhuǎn)彎段穩(wěn)態(tài)軸心軌跡

從圖8、9中可見，平飛和轉(zhuǎn)彎時盤心軸心軌跡都是1個圓，半徑大小受不平衡量的影響。對比2圖可知機動轉(zhuǎn)彎產(chǎn)生的附加載荷會使轉(zhuǎn)子產(chǎn)生不可忽略的靜位移，在實際航空發(fā)動機中，這會使得轉(zhuǎn)子系統(tǒng)與周圍靜子件有發(fā)生碰摩的危險。

5 結(jié)束語

（1）推導了1套機動轉(zhuǎn)彎條件下轉(zhuǎn)子有限元建模方法，能夠方便地考慮軸所承受的附加載荷以及轉(zhuǎn)子支承的非線性力，使機動條件下轉(zhuǎn)子系統(tǒng)建模能夠方便地考慮更多的自由度。

（2）求解了線性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在機動轉(zhuǎn)彎條件下的響應，結(jié)果表明機動轉(zhuǎn)彎產(chǎn)生的附加載荷會使轉(zhuǎn)子產(chǎn)生靜位移。

（3）本文算例的研究對象為某線性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，為了更加貼近實際，未來可將轉(zhuǎn)子支承表示為非線性，作為非線性力加在系統(tǒng)運動微分方程的右端。

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