趣談數學中的轉化思想

孫翠微

三十六計中有一個相當精彩的智謀——圍魏救趙.其精妙之處在于避實就虛，一招制勝.在研究和解決數學問題的過程中，當我們遇到較難或者復雜的問題時，迎頭直上往往絞盡腦汁也不得其解，如果避實就虛，轉化成一個我們熟悉或者在我們能力范圍之內的問題進行解決，就會化難為易，問題迎刃而解.

轉化思想是一種最基本的數學思想.在解決數學問題時，我們一般會將未知問題轉化為已知的問題，把復雜的問題轉化為簡明的問題，把抽象難懂的問題轉化為具體形象的問題，將生活中的問題轉化為數學中的問題等.可以說轉化思想就好比一把神兵利器，對付難解的問題，總能所向披靡.下面我們一起來領略一下轉化的魅力吧.

一、未知化已知

例1 求1+3+32+33+…+38的值.

【分析】直接計算，太麻煩！仔細觀察，不難發現，從第二個加數起每一個加數都是前一個加數的3倍，不妨設：

S=1+3+32+33+…+38，①

然后在①式的兩邊都乘3，得：

3S=3+32+33+34+…+38+39，②

②-①得：3S-S=39-1，即2S=39-1，

【點評】這一題的精妙之處在于，抓住式子的結構特征，通過變換將一道算式的求和問題轉化成兩個等式“錯位相減”的問題，求解方程，化未知為已知，進而輕松解決.如果把“3”換成字母m（m≠0且m≠1），能否求出1+m+m2+m3+m4+…+m2016的值，試試看？

所謂化未知為已知，就是把生疏的問題轉化為熟悉的問題，把新問題轉化為舊問題.比如：我們解二元一次方程組的基本思路是消元，故把二元一次方程組化為一元一次方程來解決；解分式方程需要先去分母，轉化為整式方程來解決等.

二、數與形的轉化

（一）化形為數.

例2 如圖1，平面直角坐標系中，直線y=x+2與x軸交于點A，與y軸交于點D，B為AO的中點，DC⊥DB交x軸于點C，E在y軸上，且OE=OC，經過B、E、C三點的拋物線與直線AD交于F、G兩點，直線AD與其對稱軸交于M點.

圖1

（1）求經過B、E、C三點的拋物線的表達式.

（2）N是拋物線上一動點，在拋物線的對稱軸上是否存在點H，使以C，D，N，H為頂點的四邊形為平行四邊形.若存在，求出滿足條件的點H的坐標；若不存在，請說明理由.

【分析】（1）由y=x+2可求出點A（-2，0）、D（0，2）、點B（-1，0），由△ODB∽△OCD，可得C（4，0），所以E（0，4），然后利用待定系數法就可以直接求出拋物線的表達式.

（2）D、C為兩定點，N、H為兩動點，由平行四邊形對角線互相平分，易得對角線的交點即為每條對角線的中點.按CD為邊和對角線兩種情況分類討論.

解：（1）在y=x+2中，分別令x=0，y=0，于是得到A（-2，0）、D（0，2），由B是AO的中點，得B（-1，0），由△ODB∽△OCD，得OD2=OB·OC，得OC=4，C（4，0），由OE=OC，得E（0，4）.

設函數解析式為y=a（x+1）（x-4），將E（0，4）代入得a=-1，所以y=-x2+3x+4.

（2）∵拋物線的對稱軸為x=1.5，設H（1.5，h），由于點N在拋物線上，設N（n，-n2+3n+4）.

①當CD為邊時：HC、DN為對角線，

【點評】運用代數方法解決幾何問題，往往是把幾何元素代數化，比如平面直角坐標系中，把點轉化為坐標的形式.幾何關系數量化，解題思路更加清晰簡單，往往能化繁為簡，事半功倍.

（二）化數為形.

圖2

【分析】多個異分母分數相加，直接計算非常麻煩.如果借助圖形，這道算式可以理解為一個面積為1的大正方形中，如圖2的、…的和，那么通過觀察，可以發現，這些面積之和等于大正方形的面積1減去，

【點評】很多代數問題，借助圖形能夠幫助我們更直觀形象地抓住本質，找到解決問題的路徑.我國著名數學家華羅庚曾說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微.”在平時的數學學習和研究中如果能夠靈活地在數與形之間進行轉化，往往能幫助我們另辟蹊徑，達到“柳暗花明又一村”的效果.

三、空間向平面的轉化

例4 如圖3，一只螞蟻要從正方體的一個頂點A沿表面爬行到頂點C，怎樣爬行路線最短？

圖3

【分析】根據線段的性質，兩點之間線段最短，我們把正方體展開，直接連接A、C兩點可得最短路線.如果看爬行路徑，有三種情況：若螞蟻爬行時經過面AD，可將這個正方體展開，在展開圖上連接AC，與棱a（或b）交于點D1（或D2），螞蟻沿線段 AD1→D1C（或 AD2→D2C）爬行，路線最短；類似地，螞蟻經過面AB和AE爬行到頂點C，也分別有兩條最短路線，因此，螞蟻爬行的最短路線有6條.

【點評】在研究和解決立體圖形的問題時，需要較強的觀察和抽象思維能力，難度較大.然而相對平面圖形來說，我們有較多的數學學習活動經驗，往往會把立體圖形轉化成平面圖形來解決.比如計算圓錐的側面積時要轉化成求側面展開圖扇形的面積，這樣，化立體為平面，大大降低了計算的難度.