創(chuàng)新復(fù)習(xí)設(shè)計，簡約而不簡單
——以“角平分線”復(fù)習(xí)課設(shè)計為例

■祁榮圣

一、說在前面

2018年3月，揚(yáng)州市江都區(qū)教研室承辦江蘇省中小學(xué)教研室網(wǎng)絡(luò)教研平臺——“教學(xué)新時空”“名師課堂”初中數(shù)學(xué)的第53次研討活動，研討主題為“創(chuàng)新復(fù)習(xí)設(shè)計”。本文結(jié)合筆者參與本次研討磨課及現(xiàn)場討論的感受，以張躍老師執(zhí)教的“角平分線”復(fù)習(xí)課為例，談?wù)勅绾螌⒘闵?nèi)容梳理整合建構(gòu)，通過設(shè)計創(chuàng)新，學(xué)生經(jīng)歷理解知識的過程，提升能力，發(fā)展和深化方法，整體學(xué)，關(guān)聯(lián)學(xué)，從學(xué)會走向會學(xué)。

二、“角平分線”復(fù)習(xí)課設(shè)計案例

教學(xué)目標(biāo)：

1.學(xué)生在基本圖形的觀察中回顧對角平分線的認(rèn)識，經(jīng)歷探究活動，遷移運(yùn)用性質(zhì)，形成能力；

2.經(jīng)歷不同階段整體認(rèn)識角平分線的過程，培養(yǎng)提出問題、分析解決問題的能力；

3.在思維訓(xùn)練中增強(qiáng)問題意識，形成綜合利用知識解決問題的能力。

教學(xué)重點(diǎn)：培養(yǎng)利用角平分線知識解決問題的能力及問題意識；

教學(xué)難點(diǎn)：增強(qiáng)知識間的整體應(yīng)用意識，提高思維深度。

教學(xué)過程：

活動一、梳理知識

操作：如圖1，將直角三角形紙片ABC沿著過點(diǎn)A的直線折疊，使得點(diǎn)C落在AB邊上的點(diǎn)D處，請畫出折痕AE。

觀察圖2，問1：你有哪些結(jié)論？

預(yù)設(shè)：①直角三角形的兩個銳角互余，∠BAC+∠ABC=90°；②勾股定理：AC2+BC2=AB2；③AE是∠CAB的平分線；④△ACE≌△ADE；⑤△BDE∽△BCA。

問2：圖中的CE與DE相等嗎？請說明理由。

問3：若AC=3，BC=4。你能提出哪些問題？

圖1

圖2

預(yù)設(shè)：①求CE的長度；②求BE的長度；③求AE的長度。

方法1：勾股定理法，設(shè)CE=DE=x，則BE=4-x。在Rt△BDE中，x2+22=（4-x）2，解得：x=1.5。

方法2：面積法方法3：相似法，證△BDE∽△BCA。

方法4：三角函數(shù)法，tanB=

問4：如果將紙片沿著過點(diǎn)B的直線折疊，使得點(diǎn)C落在AB邊上，得到折痕BF。請畫出折痕BF。觀察圖3，你有哪些結(jié)論？

預(yù)設(shè)：①點(diǎn)O到△ABC三邊的距離相等；②點(diǎn)O在∠ACB的平分線上；③∠AOB=135°；④點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心；⑤過點(diǎn)O引AC、BC垂線，垂足為M、N，四邊形OMCN是正方形。

活動二、深化探究

1.角平分線+角平分線。

（1）如圖4，點(diǎn)D是△ABC內(nèi)角∠ABC、∠ACB的平分線的交點(diǎn)，你有什么結(jié)論？

（2）如圖5，點(diǎn)Q是△ABC外角∠MAC、∠NCA的平分線的交點(diǎn)，你有什么結(jié)論？

（3）如圖6，點(diǎn)P是△ABC內(nèi)角∠ABC、外角∠NCA的平分線的交點(diǎn)，你有什么結(jié)論？

圖3

圖4

問：觀察圖5、圖6，你有什么發(fā)現(xiàn)？（點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合）

如果在同一個三角形中畫出以上圖形，觀察圖7，你有什么發(fā)現(xiàn)？（A、D、C、P四點(diǎn)共圓）你能運(yùn)用圓的知識進(jìn)一步驗證剛才發(fā)現(xiàn)結(jié)論的正確性嗎？

圖5

圖6

圖7

圖8

2.角平分線+圓。

（1）課本再現(xiàn)。

如圖8，P是∠BAC的平分線上一點(diǎn)，PD⊥AC，垂足為D。AB與以點(diǎn)P為圓心，PD為半徑的圓相切嗎？為什么？（蘇科版《教學(xué)》教材九年級上冊第74頁）

（2）如圖9，四邊形ABCD內(nèi)接于圓，AC平分∠BAD。BC與CD相等嗎？為什么？

圖9

圖10

變式：如果隱去圖中的圓，如圖10，其他條件不變。結(jié)論還成立嗎？

方法1：作垂直，過點(diǎn)C作CM⊥AB，CN⊥AD，垂足分別為M、N。

方法2：割，在AD邊上截取AE=AB，連接CE。

方法3：補(bǔ)，在AB的延長線上截取AF=AD，連接CF。

小結(jié)：異中尋同，3種解法都圍繞角平分線的軸對稱本質(zhì)特征構(gòu)造轉(zhuǎn)化。

活動三、自主反思

1.交流：關(guān)于角平分線，你還有什么疑惑？還有怎樣的思考？

2.知識結(jié)構(gòu)樹（知識、學(xué)法）。

活動四、探究作業(yè)

數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)需要在一步一步向上攀登中梳理知識、建構(gòu)學(xué)法，結(jié)合本節(jié)課完成探究性作業(yè)——《與角平分線相遇的……》反思小文章。

三、教學(xué)立意的進(jìn)一步闡釋

上面展示了學(xué)完“對稱圖形——圓”之后的初三一輪復(fù)習(xí)——以角平分線為主線串聯(lián)的一節(jié)復(fù)習(xí)課，以下再從整體上就該設(shè)計的教學(xué)立意給出進(jìn)一步的闡釋。

1.開放簡單，預(yù)設(shè)充分。

本節(jié)課初始階段沒有安排操作，教師沒有刻意提出尺規(guī)作角平分線，因為折疊伴隨角平分線的場景是學(xué)生經(jīng)歷過的，這是簡單的重復(fù)，是基于初三學(xué)生認(rèn)知水平和能力的考慮。課伊始階段，從學(xué)生熟悉的折疊場景入手，通過直觀想象，設(shè)計開放的問題，啟發(fā)學(xué)生：你有什么結(jié)論？結(jié)論指向一定是熟悉的，所以簡單的開放利于喚起學(xué)生回憶，帶入熟悉的情境場思考，馬上就有學(xué)生基于特殊的直角三角形陳述各種結(jié)論，在打開的思維質(zhì)態(tài)中教師順勢拋出問題：若AC=3，BC=4，你能提出哪些問題？再次通過開放結(jié)論，自主編題，把角平分線性質(zhì)與判定繼續(xù)在問題情境中應(yīng)用。變換設(shè)問方式，讓學(xué)生自己提問題，提有價值的問題，在濃濃的自創(chuàng)問題情境中串聯(lián)所學(xué)知識，匯點(diǎn)成線。在提出有價值問題的競爭中，教師臨場決策，依據(jù)學(xué)情，選用預(yù)設(shè)充分的備案，引領(lǐng)學(xué)生精彩生成。設(shè)問內(nèi)容和方式的簡單開放，促進(jìn)學(xué)生自主梳理、建構(gòu)，形成知識網(wǎng)絡(luò)，完善知識應(yīng)用體系，有效拓寬復(fù)習(xí)中主體參與的廣度和深度。

事實上，角平分線知識比較簡單，當(dāng)它相遇系列圖形，就會產(chǎn)生模型，碰撞出美麗。上述設(shè)計的深入探究部分以角平分線相遇角平分線、角平分線相遇圓為主線，結(jié)合課本原題設(shè)計問題，引導(dǎo)學(xué)生解密。設(shè)計的結(jié)尾階段持續(xù)激發(fā)學(xué)生探究角平分線的興趣，通過反思小文章的研究性作業(yè)，讓復(fù)習(xí)在一步一步向上攀登中梳理知識、建構(gòu)學(xué)法。充滿挑戰(zhàn)，激發(fā)學(xué)生將有限的課內(nèi)探究延伸至課外，可以想象，在角平分線與坐標(biāo)系，角平分線與平行線，等腰攜手角平分線等舞臺上，孩子們會演繹無限精彩。復(fù)習(xí)課堂提供給學(xué)生學(xué)懂學(xué)會的平臺，在充滿濃濃的“新授味道”中引領(lǐng)學(xué)生體會、感悟，從中省悟會學(xué)之道。

2.重組變式，感悟本源。

復(fù)習(xí)需要重新組合、調(diào)整課本，在溫故知新中創(chuàng)造新的課堂教學(xué)資源，提供給學(xué)生討論、研究，再認(rèn)識，在打牢數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的同時，培養(yǎng)學(xué)生靈活的應(yīng)變能力。比如對特殊的直角三角形中增加線段長度，你能提出什么問題？著力于培養(yǎng)學(xué)生捕捉問題，自主提出問題，交流勾股定理解法、相似法、面積法、三角函數(shù)法等不同求解線段的方法，在解法相異處思考內(nèi)在聯(lián)系，感悟幾何問題代數(shù)解的通法，方程思想架構(gòu)圖形間數(shù)量聯(lián)系的通式得以體現(xiàn)。

選取“角平分線+角平分線”組合，依舊是學(xué)生熟悉的情景。組合“辨識圖5、圖6中不同的角平分線相交”，設(shè)計“你有什么共同的發(fā)現(xiàn)”這一問題，為站在圓的高度理解舊情境中的結(jié)論賦予新解法，推陳出新。把角平分線這個小的知識點(diǎn)，隨認(rèn)知水平的發(fā)展放置在不同的問題情境中，與其他圖形綜合，小題大做，小題深做，讓學(xué)生感受小題不小。陳題新做，重構(gòu)舊知識的新視野，新路徑，從中獲得“‘圓’來就簡單”的驚嘆，獲得新體驗，增長新經(jīng)驗，生長新“學(xué)力”，感受數(shù)學(xué)的魅力，揭示數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系和本質(zhì)。

“角平分線+圓”的探究，回歸教材，低起點(diǎn)、慢爬坡，通過變式，削減條件，隱去圓的情境，探究層層深入。雙垂直構(gòu)造解法，是植根于角平分線性質(zhì)理解的自然解法。一割一補(bǔ)，是對角平分線對稱理解的升華，異中尋同。三種解法都圍繞角平分線的軸對稱本質(zhì)特征構(gòu)造轉(zhuǎn)化，共性特征的歸納是思維的深化。

3.反思作業(yè)，“讓學(xué)”促學(xué)。

復(fù)習(xí)教學(xué)設(shè)計的拓展與延伸作業(yè)要根據(jù)學(xué)生的具體情況，不一味地加深難度，不一味地追求新穎解法與技巧，應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生在本質(zhì)處精思、深挖，設(shè)置體現(xiàn)個體獨(dú)特的學(xué)習(xí)見解或解題過程中的情感、心態(tài)變化的“反思性”作業(yè)，如本節(jié)課布置的作業(yè)是課后完成關(guān)于“角平分線與其他圖形的相遇還有什么樣的思考”，是一個開放性的作業(yè)。

這類當(dāng)下流行的反思性作業(yè)恰好與荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾倡導(dǎo)的“反思是重要的教學(xué)活動，它是數(shù)學(xué)的核心和動力”不謀而合。關(guān)于研究性作業(yè)時常以反思小文章的形式呈現(xiàn)，其優(yōu)點(diǎn)有三：一是屬于學(xué)生的自選動作，真正做到個性化展示，當(dāng)學(xué)生想對課堂或者問題有話可說時，這就形成合乎時宜的教育；二是個體感受是依據(jù)自身的體驗思考，不會越級拔高，這便遵循了教育的循序漸進(jìn)；三是反思小文章的評選交流展示，利于學(xué)生互相觀摩學(xué)習(xí)他人長處，這就在切磋交流中達(dá)成課程標(biāo)準(zhǔn)中合作探究的目標(biāo)要求，久而久之，這種精心互動的交流“讓學(xué)”，一定會促使學(xué)生更加主動積極地投入學(xué)習(xí)。

綜上，復(fù)習(xí)不能只停留在知識表層，需要注重知識遷移，更需要培育學(xué)生創(chuàng)新應(yīng)用。

設(shè)計案例中不斷變換數(shù)學(xué)知識發(fā)生的外部和內(nèi)部環(huán)境，以角平分線貫穿整個初中學(xué)段重要的軸對稱圖形，重組教材、整合兼并分散的知識、整體學(xué)習(xí)關(guān)聯(lián)性內(nèi)容，在問題解決中體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法，為創(chuàng)新復(fù)習(xí)課的設(shè)計提供借鑒。