三激光法快速測坡儀的設計及誤差分析

趙四洪，畢貴紅，馬增祿，2

(1.昆明理工大學 電力工程學院，云南 昆明 650051；2.昆明理工大學 設計研究院，云南 昆明 650000)

0 引言

坡度測量常見于勘測、設計、施工及戶外運動中。目前比較常見的測量工具為氣泡式坡度計、水準儀、全站儀和GPS等[1]。氣泡式坡度計測量快速，但精度較低，測量范圍小；水準儀等測量精度高，但操作較復雜，不便攜帶[2]；GPS測量地域廣，操作簡單，但受信號影響，無法開展室內及地下作業。

激光測距儀是一種應用廣泛的高精度測距儀器，可應用于測速系統[3]和俯仰角的測量[4]。傾角傳感器可滿足多領域對姿態角的高精度測量[5]。文獻[6]改進了一種基于激光測距儀的坡度算法，該方法通過多次激光測距然后編程求得坡度，測量次數較多，后期數據處理工作量較大。

本文設計了一種手持式快速激光測坡儀。通過對平面坡度計算公式的簡化，建立了面向測量人員視角的坡度計算函數。分析了激光測距儀和傾角傳感器的特點，設計了一種基于激光測距儀及傾角傳感器的三激光法快速測坡儀。誤差分析表明，在一定的測量方法下，該激光測坡儀精度滿足要求，適用于要求快速及便攜的測量場所。

1 坡度測量的原理

設三維空間△ABC及其在xoy面的投影為△A′B′C′，△ABC的法線向量n與xoy面的夾角為θ，如圖1所示。可知，△ABC與水平面的傾角θ即為待測坡面的坡度角。

(1)

(2)

圖1 空間平面及傾角的求解原理

根據海倫公式，三角形的面積為：

(3)

式中，s=(l1+l2+l3)/2，l1、l2和l3為三角形的邊長。將式(1)和式(2)分別代入式(3)求得△ABC及△A′B′C′的面積后，根據平面夾角的余弦公式:

(4)

可知坡度角θ為關于(lA，lB，lC，a，b，c，δ)的函數。因此，要求得θ，需測得長度lA、lB和lC及角度a、b、c和δ。

測坡儀測量坡度的方法示意圖如圖2所示，若已知測距模塊中的3組激光發射器之間的安裝夾角為δ，同時測得3束激光OA、OB和OC至待測坡面Π的距離為lA、lB和lC，以及OA、OB和OC與水平面的俯仰角a、b和c，代入式(4)即可求得坡度θ。

圖2 測坡儀測量坡度的方法示意

2 測坡儀的系統結構及主要模塊

2.1 系統結構

測坡儀主要由3組激光測距模塊、3組傾角測量模塊、運算和控制模塊及其他外圍模塊構成，結構框圖如圖3所示[7]。考慮到激光光束的俯仰角對坡度計算的影響，每個激光發射器均應設立傾角測量模塊，并與測得的距離一同反饋到運算模塊中。

圖3 測坡儀的硬件結構

各模塊的正常工作用電來自電源模塊及外接電源接口。內置主電源采用可更換可充電鋰電池，帶低電壓及溫度保護等；板載時鐘芯片采用紐扣電池，確保主電源失壓后設備參數及數據不丟失。通信模塊采用無線藍牙，同時兼具外置存儲卡讀取及USB通信接口功能。顯示模塊及按鍵輸入模塊采用基于I2C的LCD和矩陣鍵盤[8]。下面介紹其他主要模塊。

2.2 激光測距模塊

激光測距的原理主要有三角法、干涉法、脈沖法和相位法等[9]，每種方法均需直接或間接測量激光行進的時間，其工作原理如圖4所示。測得的距離為[10]：

(5)

式中，C為光速；Δt為激光往返發射器和目標物體之間所用的時間。因此，時間間隔的測量精度是引起激光測距誤差的主要因素[11]。

圖4 激光測距模塊的工作原理

2.3 傾角傳感器模塊

傾角傳感器利用加速度信號間接測量物體相對于水平面的傾斜角[12]。雙軸傾角傳感器采用水平放置方式時可測量物體的偏轉角α和俯仰角β，測量示意圖如圖5所示[13]。本文設計的激光測坡儀僅需測量俯仰角。

圖5 雙軸傾角傳感器的俯仰角示意

2.4 運算及控制模塊

測坡儀的數據處理框圖如圖6所示，其主要功能是：將某一測量模塊采集的多個樣本數據，通過數字低通濾波器(Low Pass Filter，LPF)消抖后由加法器求平均值，其數值經過標度變換(Scale Transform)后輸入微控制器(Micro Control Unit，MCU)作為該測量對象的最終測量結果[14]。

由于測坡儀需測量3個距離量，為避免各激光發射器之間信號互相干擾，需對3個測距模塊加以時序控制(Sequence Control)。時序控制可采用巡檢法，即每測量一個通道后，間隔一定時間再測量另一個通道[15]。為消除系統誤差，儀器開機自檢后設置了自動誤差調零(Error Zero)[16]，亦可手動設置調零。

圖6 運算及控制模塊數據處理框圖

3 誤差分配及誤差分析

3.1 誤差分配

為使設計的測坡儀精度達到要求，需要確定各個直接測量參數的誤差要求[17]，即確定分配到lA、lB、lC、a、b、c和δ的誤差值。

根據誤差理論，間接測量值的誤差來自直接測量值的誤差傳遞[18]。用代數綜合法進行誤差分解，則坡度θ的總誤差為：

(6)

式中，?θ/?[*]為誤差傳遞系數；Δ[*]為各測量值的誤差。當式(6)等號右邊每項分配的誤差份額都為Δθ/7時為最佳分配方案。

通常，誤差分配估算時每項誤差不大于總誤差即可[19]。設Δl=ΔlA=ΔlB=ΔlC，距離誤差可取總誤差的1/7；設Δφ=Δa=Δb=Δc=Δδ，角度誤差可取總誤差的1/3。每個部分預分配的誤差份額為：

(7)

式(7)為復雜的非線性方程，求解難度較大。利用Mathematica對式(7)化簡后求解，計算結果整理后為：

(8)

分析式(8)可知：① 測量時儀器應位于坡的正面，使測坡儀發射的3束激光有2束盡可能等距；② 儀器的激光束間的夾角δ應盡可能小；③ 儀器的角度誤差Δφ與距離誤差Δl的比值應滿足一定的關系。如令lA=60.0 m，lC=50.5 m，a=0.0 rad(0.0°)，c= -0.045 46 rad(-2.6°)，則Δφ/Δl= -0.005 689。即按照上述誤差分配原則，若儀器選用的傾角測量模塊的角度誤差Δφ為0.1°，則選用的激光測距模塊的距離誤差為0.3 m。

3.2 誤差分析

若測坡儀的精度要求≤1°，儀器中的激光測距模塊的精度為0.5 m，傾角測量模塊的精度和激光測距模塊裝調角度的精度均為0.001 745 rad(0.1°)，對測坡儀的精度進行理論誤差分析[20]。

當測量距離分別為10 m、30 m、60 m和100 m時，采用2種光束夾角的測坡儀，分別對微坡地(≤2°)、地下車庫出入口坡度(≤8°)、坡地耕種極限(≤25°)及45°等坡地進行誤差分析，結果如表1和表2所示。

表1 光束夾角6°時的坡地測量誤差 (°)

表2 光束夾角12°時的坡地測量誤差 (°)

表1和表2表明:① 若模塊的測距精度為0.5 m和測角精度為0.1°，依據本文設計的三激光法測坡儀，當測量距離大于30 m時精度滿足要求；② 激光發射器間的安裝夾角δ越小，測量精度越高；③ 待測坡面的最遠距離，僅受激光測距儀的測距限制。但當距離過遠時，因激光光斑較大測量精度會降低。

4 結束語

在地形勘察、建筑施工和戶外運動中，快速且準確地測量坡度具有重要的意義。本文設計的基于激光測距儀及傾角傳感器的測坡儀是一種應用于要求快速及便攜場合的坡度測量儀器。該儀器向待測坡面發射3束激光，測得光束的距離及俯仰角后，利用微處理器運算得到坡度顯示在屏幕上。誤差分析表明，儀器中的測距組件和測角組件的精度滿足要求時，在正確的測量方式下，該測坡儀的坡度精度可達0.5°。

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