自然常數e詳解

崔艷　吳娟

摘要自然常數e是最重要的數學常數之一，人們對它卻知之甚少，通過對自然常數e的由來 、含義、e在實際計算中的應用及含有e的公式為例，詳細解釋了這個重要的無理數。

關鍵詞自然常數極限歐拉公式

中圖分類號：TP274 文獻標識碼：A

自然常數e和圓周率，黃金分割數一起被稱為“三大數學常數”及“三個最著名無理數”， 和圓周率及虛數單位i一樣，e是最重要的數學常數之一，自然常數的知名度比圓周率低很多。e通常用作自然對數的底數，還經常出現在數學和物理學之中，但它從哪里來？它究竟是什么意思？

1自然常數e的由來

在18世紀初，數學大師萊昂哈德·歐拉（Leonard Euler）發現了這個自然常數e（又稱歐拉數）。當時，歐拉試圖解決由另一位數學家雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli）在半個世紀前提出的問題。伯努利的問題與復利有關。假設你在銀行里存了一筆錢，銀行每年以100%的利率兌換這筆錢。一年后，你會得到（1+100%）1=2倍的收益。現在假設銀行每六個月結算一次利息，但只能提供利率的一半，即50%。在這種情況下，一年后的收益為（1+50%）2=2.25倍。而假設銀行每月提供8.3%（100%的）復利息，或每周1.9%（100%的）復利息。在這種情況下，一年后你會賺取投資的（1+）12=2.61倍和（1+）52=2.69倍。根據這個規律，可以得到一條通式。如果假設n為利息復利的次數，那么利率就是其倒數，一年后的收益公式為（1+）n。那么，如果n變得很大，會怎樣？如果n變得無限大，那（1+）n是否也會變得無限大？這就是伯努利試圖回答的問題，但直到50年后才由歐拉最終獲得結果。當n趨于無窮大時，（1+）n并非也變得無窮大，而是等2.718281828459……事實上e就是通過這個極限而發現的，這是一個類似于圓周率的無限不循環小數（即無理數），1727年歐拉首次用小寫字母“e”表示這常數，此后遂成標準，被稱為自然常數。e是“指數”（exponential）的首字母，也是歐拉名字的首字母。

2自然常數e的含義

e是所有連續增長過程都共有的基本增長率。e可以表示一個簡單的增長率，同時發現連續型復合增長的影響，其中每一納秒（或者更快）的增長微乎其微，只要當系統呈連續型指數級增長e便會出現，如：種群密度、放射性衰變、利息計算等等。甚至并不是平穩增長的鋸齒狀系統都能用e來近似，就像每個數字都可以認為和1（基本單位）的呈某個比例，每個圓可以認為和單位圓（半徑為1）的呈某個比例，同樣每個增長率都可以認為和e（單位增長率）的呈某個比例。這世界上的許多事物有這樣的變化率：增長率正比于變量自身的大小。如放射元素衰變時，衰變率和現存的放射性物質多少成正比；資源無窮多社會，人口近似出生率和現存人口數成正比。而此類變化率所確定的解可描述為：如果X的變化率等于變量X自身的倍，那么該變量隨時間的函數為X=Ce。其中C是任意常數，而e的直觀含義正是增長的極限。因此e并不是一個模糊的、似乎隨機的數字，而是表示所有連續型增長系統和某個一般比率呈比例關系這樣的思想。

17 世紀中葉，數學家們發現雙曲線下的面積和自然對數之間有非常奇妙的關系=ln||，并發現許多重要的函數，極限，微分和積分都與自然常數有關。在繪制函數y=e時，會發現對于曲線上任意點的斜率也是e，而從負無窮大到x的曲線下方面積也是e。e是唯一使y=a這個方程有如此奇特性質的數字。在微積分中e也是一個非常重要的數字。同時，自然常數e也是物理學中的一個重要數字，它通常出現在有關波（如光波、聲波和量子波）的方程之中。

3自然常數e的計算

（1）利用極限計算自然常數，由數列（1+）極限得到：n為自然數時，n→∞時，則

（2）牛頓提出利用級數計算的方法，用Maclaurin公式把f(x)=ex展開，并令x=1，可以得到：如果級數是收斂的，那么其結果為e，即e=歐拉取上述公式的前20項進行計算給出數 的前18 位：2.718281828459045235。e的無窮級數使我們看到無理數的無序中居然隱含著如此嚴謹的有序 、簡潔與優美。

4自然常數e的應用

“將一個數分成若干等份，要使各等份乘積最大，怎么分？”要解決這個問題便要同e打交道。答案是：使等分的各份盡可能接近e值。比如把100平均分成若干份，使每份的乘積盡可能大。把這個題意分析一下，就是求兩個數a和b，使ab=100，求a的b次方的最大值。這里a可以為任意有理數，b必須為整數。此時，便要用到自然常數使a盡量接近e。則b應為100/e≈36.788份，但由于份數要為整數，所以取近似值37份。這樣，每份為100/37，所以a的b次方的最大值約為“94740617+167818+32.652”。如分成35或38份，乘積都小于這個數，這就是的神奇之處。

自然常數也和質數分布有關。有某個自然數a，則比它小的質數就大約有個a/lna。在a較小時，結果不太正確。但是隨著a的增大，這個定理會越來越精確，這個定理叫素數定理，15歲的高斯發現了這一定理：“從1到任何自然數N之間所含素數的百分比，近似等于N的自然對數的倒數；N越大，這個規律越準確。”這個定理到1896年才由法國數學家阿達瑪和幾乎是同一時期的比利時數學家布散所證明。e的影響力其實還不限于數學領域。大自然中太陽花的種子排列、鸚鵡螺殼上的花紋都呈現螺線的形狀，而螺線的方程式，是要用e來定義的。建構音階也要用到e，而如果把一條鏈子兩端固定，松松垂下，它呈現的形狀若用數學式子表示的話，也需要用到e。

5含自然常數e的公式舉例

5.1歐拉公式

關于e有一個非常著名的公式，即歐拉恒等式：e=cos+isin，(i為虛數單位）把指數函數和三角函數建立了深層次的聯系，假定=時，由于sin=0，cos=1因此方程變為e+1=0，這個簡單的歐拉公式，完美的把數學中最重要的5個數字e、、i、1、0都聯系在一起，還包含了4個運算符——加、乘、取冪和相等。而且這些數字和運算符分別只出現一次，它把看似不相干，甚至矛盾的元素（有理數、無理數和虛數）包含在一個簡潔的公式中，也是超越數的數學價值e的最高體現。

5.2雙曲函數

雙曲正弦函數

雙曲余弦函數

雙曲函數的起源是懸鏈線，這個懸鏈線的方程就是，19世紀有一門學科開始了全面發展——復變函數。伴隨著歐拉公式的誕生，雙曲函數與三角函數這兩類看起來截然不同的函數獲得了前所未有的統一。 在實域內，三角函數的值是通過單位圓和角終邊上三角函數線的長度定義的。當然這個長度是有正負的。同理，雙曲函數的值也是通過雙曲線和角終邊上的雙曲函數線的長度定義的 。懸鏈線的方程是雙曲余弦函數，這個在文章開頭已經介紹過。而懸索橋、雙曲拱橋、架空電纜及平行直導線單位長度電容等都用到了懸鏈線的原理。

5.3斯特林（Stirling）公式

斯特靈公式是一條用來取!近似值的數學公式。公式為：

或

一般來說，當很大的時候，!的計算量十分大，斯特靈公式在很小的時候，取值已經十分準確。 其意義在于：當足夠大時，!計算起來十分困難，雖然有很多關于!的等式，但并不能很好地對階乘結果進行估計，尤其是很大之后，誤差將會非常大。但利用Stirling公式可以將階乘轉化成冪函數，使得階乘的結果得以更好的估計。而且越大，估計得越準確。

5.4標準正態分布

設標準正態分布的密度函數為(u)，分布函數為(u)，則

以及泊松分布，指數分布，伽瑪分布等等都與e相關。正態分布是自然科學和行為科學中的定量現象的一個統計模型，各種考試分數，測試數值和物理現象比如光子計數等都被發現近似的服從正態分布，正態分布在生活中無處不在。

5.5對數螺線

等角螺線、對數螺線或生長螺線是在自然界常見的螺線，在極坐標系(r, )中，這個曲線可以寫為r=aeb或=ln(r/a)。其中，a和b為常數，是極角，r是極徑。它是由笛卡爾首先提出的，之后由雅各布·伯努利對其進行了深入的探討和研究，發現了對數螺線的許多奇異特性，以至于對數螺線（如圖1）被認為是在所有的平面曲線中最美的圖形。

5.6拉普拉斯變換

拉普拉斯變換是對于t≥0函數值不為零的連續時間函數x(t)通過關系式

X(s)=x(t)edt

變換為復變量s的函數X(s)。拉普拉斯變換是工程數學中常用的一種積分變換，又名拉氏變換。拉氏變換是一個線性變換，拉普拉斯變換在許多工程技術和科學研究領域中有著廣泛的應用，特別是在力學系統、電學系統、自動控制系統、可靠性系統以及隨機服務系統等系統科學中都起著重要作用。

5.7薛定諤方程

作為量子論的基本方程：薛定諤方程為

該方程是1926年由埃爾文·薛定諤發現的，表明了系統的量子態——例如，可解釋為在特定位置探測到粒子的可能性——隨時間而變化，在研究現代物理學中發揮了極其重要的作用。從數學的觀點來看，薛定諤方程和數學一樣是取之不盡的。從此公式可以看出自然常數e在量子力學方面也有著重要作用。

為了討論方便，我們把e或由e經過一定變換和復合的形式定義為“自然律”，因此，“自然律”的核心是e 。自然律具有把有序和無序、生機與死寂予以同一形式的特點，在美學上也具有重要價值。

基金項目：亳州職業技術學院教研課題，網絡環境下高職數學翻轉課堂教學模式的探索與實踐（2016bzjyxm03）；2017年度高校優秀青年人才支持計劃項目（gxyq2017216）。

參考文獻

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