靜電成形薄膜反射面設計

秦東賓, 杜敬利, 谷永振, 姜文明, 張逸群(西安電子科技大學 電子裝備結構設計教育部重點實驗室， 西安 710071)

隨著當代科技的迅速發展和對宇宙探索的不斷深入，人們對星載天線系統的需求與日俱增，同時對于天線性能指標要求越來越高。靜電成形薄膜反射面天線是一種新型星載可展開天線，其工作原理是在鍍有金屬層的薄膜反射面和控制電極間施加不同的電壓(一般薄膜為等效零勢面，電極為高電勢)，產生靜電力來張拉薄膜，從而使薄膜形成具有一定焦徑比的高精度反射面[1-2]，結構示意圖如圖1所示。相對于傳統的可展開天線，其具有口徑大、質量輕、形面精度高、收攏體積小、易于折疊和展開、應用頻段高等特點[3]，被譽為21世紀最具潛力的空間天線結構之一[4]。

圖1 靜電成形薄膜反射面組成結構示意圖Fig.1 The concept of electrostatic forming membrane reflector

靜電成形薄膜反射面天線概念源于1978年麻省理工學院為研制大口徑、高精度、輕質量的天線進行的靜電成形薄膜反射面技術研究[5]。1979年NASA設計制作了4.88 m口徑的5環電極靜電成形薄膜反射鏡，在一定程度上驗證了該技術的優勢，但受到當時薄膜制備水平以及電極控制等相關技術的限制，膜面精度較差，未取得滿意的結果[6-7]。隨著薄膜制備、電極控制等相關技術的快速發展，靜電成形薄膜反射面的研究再次取得進展。2004年，美國SRS公司聯合Northrup Grumman Corp公司，研制出首個真正意義上的5 m口徑靜電成形薄膜反射面天線樣機[8]。目前國內對靜電成形薄膜反射面技術的研究仍處于基礎探索階段，長春光機所和蘇州大學對薄膜反射鏡的成形機理和形面控制做了大量研究，西安電子科技大學對靜電成形薄膜反射面的兩場耦合、電極電壓優化等理論進行了研究，并制作了0.55 m實物模型。薄膜反射鏡與薄膜反射面除了基礎結構有區別外，兩者反射面曲率也差別較大，后者曲率大得多。也正由于其反射面曲率較大，對薄膜反射面的制作造成了一定的難度。

目前薄膜反射面的制作方式主要有三種：① 利用氣壓作用使平面薄膜變形為近似拋物面形狀；② 利用拋物面狀的模具進行鑄模加工；③ 由平面膜片拼接成拋物面形。第一種加工工藝最簡單，但僅適用于曲率較淺的薄膜反射面，而靜電成形薄膜反射面曲率大，且此工藝成形形面不易保證；第二種加工工藝最復雜，一般只有薄膜生產商才有能力加工，費用昂貴，且不適合大口徑天線的應用；故目前大多采用第三種加工方法，加工相對簡單且能滿足精度要求[9]。

本文對靜電成形薄膜反射面天線進行了電極布局設計，反射面保型設計、裁剪設計和成形模擬。在此基礎上研制了的試驗模型，并采用攝影方式進行了反射面形面精度測量，經過多次測量和形面調整，逐步提高了形面精度。

1 反射面設計

1.1 電極布局設計

基礎電極分布形式是靜電成形薄膜反射面天線的重要部分。薄膜反射面可以在靜電力的作用下維持膜面形態的穩定，同時還可利用靜電力實現膜面形狀調整，改善形面精度。因此有必要對電極進行布局和電壓進行優化，這樣可減少電壓通道數目，減輕天線系統的整體質量。

電極布局優化的實施方法主要是在非線性有限元分析的基礎上，通過對電極面上的多個基礎電極進行組集優化，每個組集內電極由同一電壓通道控制，如圖2所示，通過調整通道電壓保證反射面的形面精度要求。因此，必須對電極布局形式和電壓值同時優化。

圖2 基礎電極組集Fig.2 Electrode layout and connection to channels

綜上所述，可得到如下的電極布局優化模型[10]，見式(1)

findn,{w}={w1,w2,…,wa},{U}={U1,U2,…,Un}

s.t. [KL+KNL]{ΔX}={FE+FT}

min {σ}>0

max {σ}/min {σ}<υ

n∈{1,2,…,nup}

wi∈{1,2,…,n} (i=1,2,…,a)

0

(1)

式中：[KL]和[KNL]分別薄膜結構的線性矩陣和非線性剛度矩陣，FE為靜電力，FT為熱載荷向量，{σ}為薄膜反射面應力；υ為薄膜反射面最大應力比的上限值；上標up表示設計變量的上限值。

由電極布局優化模型可以看出，此為高度非線性規劃問題，傳統的梯度算法不能得到一個全局解。遺傳算法是一種非梯度優化算法，通常用于求解非線性問題。因此，使用梯度法和遺傳算法相結合的優化方法來解決這個問題。

在設計變量中，各通道電壓值為連續變量，電壓通道數目、每個基礎電極所對應的電壓通道號為離散變量。為方便解決模型，各通道電壓值可在約束中分別進行優化。優化模型近似改寫為式(2)形式。外部優化只涉及離散變量，可以很容易地用遺傳算法處理；內部優化只涉及連續變量，可以使用梯度的方法有效地解決。

findn,{w}={w1,w2,…,wa}

minf=α1n+α2f2

s.t. find {U}={U1,U2,…,Un}

s.t. [KL+KNL]{ΔX}={FE+FT}

min{σ}>0

max{σ}/min{σ}<υ

0

n∈{1,2,…,nup}

wi∈{1,2,…,n}(i=1,2,…,n)

(2)

1.2 保型設計

薄膜反射面在靜電力和索拉力的作用下張拉成形，理想形狀為某給定拋物面。在給定成形膜面形狀、電壓和索拉力的情況下，可反求出薄膜反射面對應的無應力放樣形狀。

優化參數為控制膜面放樣形狀的形狀參數αi(i=1,2,…,k)，對給定的電壓和索拉力，使得RMS偏差最小，約束函數為通道電壓值{U}小于某一上限值，對應的優化模型可表示為

minδrms

s.t. [KN+KNL]{ΔX}=FE{U,X,α}+FT

0

(3)

這樣便可得到薄膜反射面的無應力放樣形面。

1.3 裁剪設計

通過保型設計得到膜面的無應力放樣形狀后便可采用由平面膜片拼接成拋物面形的方法來制作曲面薄膜反射面。先將初始膜面布置裁剪線劃分為若干子曲面，再對各子曲面進行展平，可得到平面裁剪片(平面膜片)。且由于此初始膜面為無應力狀態，無需進行裁剪過程中的預應力釋放。對于軸對稱反射面一般將膜面母線作為裁剪線，將整個膜面均勻劃分為若干個扇形子曲面，再對任意一個扇形子曲面進行展平分析。

將扇形子曲面離散成三角形單元，由于展開前后曲面三角形單元的邊長存在差異，可將展平問題轉換為等效力學問題，使得展平前后三角形的邊長差異最小[12]，從而實現扇形子曲面的展平。

下面分析三角形單元的應變和各邊伸長量的關系，將薄膜的膜面內力等效為單元各邊內力。圖3為一平面三角形單元，如圖所示建立局部坐標系，三角形三條邊長為l1,l2,l3，內力為T1,T2,T3，伸長量為δ1,δ2,δ3。

圖3 三角形單元Fig.3 The triangular element

(4)

由彈性力學物理方程，應力可表示為{σ}=[D]{ε}=[D][B]{δ}，[D]為彈性矩陣，則三角形單元各邊的內力可表示為

(5)

式中：[K]為單元彈性剛度矩陣；V為單元體積。

假定三角形單元個邊為一桿單元，則將單元各邊的內力簡化為整體坐標系下節點力，如下式所示

(6)

式中：pe為三角形單元在整體坐標系下的節點力向量；x1，x2，x3，y1，y2，y3分別表示平面三角形單元的三個節點的平面坐標。

1.4 成形模擬

通過裁剪設計，得到了反射面的無應力狀態平面裁剪片，將裁剪片拼接起來，施加靜電力和索拉力靜態分析后便可得到穩定的空間膜面，此時的膜面為最終成形形態。由于用平面裁剪片代替曲面片有原理誤差，則拼接后的形態與原設計形態有差異，應進行探究。

在平面裁剪片拼接還原到設計曲面過程中，以每片裁剪片的平面坐標作為初始狀態，通過部分節點支座位移的方法將膜面提升到設計位置，膜面在此過程中保持平衡，最終得到的膜面為成形狀態。在此膜片位移過程中，膜單元的剛體位移、轉動并不改變膜單元的面內應力，只有單元形狀的變化才有改變其應力；同時此過程中膜面由初始狀態到成形狀態膜面節點的位移較大，而薄膜結構本身是一種只能抗拉、不能抗彎和抗壓的柔性結構，在外荷載作用下具有小應變、大變形的特點，具有較強的幾何非線性，所以在建立平衡方程時必須考慮非線性變形的影響。

非線性有限元法是薄膜結構找形的一種有效方法，其采用New-Raphson方法進行非線性有限元求解，并同時對部分節點施加強制位移，通過不斷迭代膜面發生變形，直到滿足設計要求。有限元基本方程如式(7)所示

([KL]i+[KNL]i).{ΔX}i=Fi+Ri

(7)

上述過程中外荷載為零，Ri=0。為保證計算的精度和收斂性，應將整個過程進行分階段計算，即將裁剪片從初始狀態開始分若干次逐步提升到規定的位置。同時為了保證找形過程的收斂性，以膜面中節點的z坐標作為提升變量，通過各節點的x,y坐標的自由移動來保證膜面狀態的平衡。

計算采用的是U.L.格式，在有限元方程迭代過程中參考位形是不斷改變的。具體步驟如下：

(1) 將各節點z坐標固定于其設計坐標處；

(2) 計算膜單元剛度矩陣[K]=[KL]+[KNL]，0時刻為裁剪片的平面位形、零初始預應力，以后時間t的迭代步都是取當時的位形；

(4) 位移應力迭加得到結構新的位形{Xt+Δt}={Xt}+{ΔU}，{σt+Δt}={σt}+{Δσ}；

(5) 由新的位形及應力求出等效節點力向量，若等效節點力的值大于控制精度，則返回第2步。迭代直到等效節點力滿足精度要求。

假定裁剪片拼接時不存在重疊和空隙則通過上述步驟可獲得拼接后的成形膜面，此方法相較與幾何近似為折面的方法[13]精度更高，并且不局限于旋轉拋物曲面，可適用于任何曲面形式。

2 模型試驗

2.1 模型設計

根據前述理論設計了0.55 m口徑靜電成形薄膜反射面天線結構，反射面焦距比F/D=2，反射面及邊緣連接帶材料均為聚酰亞胺薄膜，彈性模量為2.17 GPa，泊松比為0.34，厚度為0.025 mm，拉索采用芳綸結構，彈性模量為500 MPa，泊松比為0.34，直徑為0.8 mm。

薄膜天線結構由薄膜反射面和電極面構成。薄膜反射面，如圖4(a)所示，由12塊平面膜片采用對拼形式粘接而成，反射面邊界為裙邊形式，拉索穿過裙邊與天線支撐結構連接保證膜面應力均勻，共有24根拉索，其拉力值可由拉力傳感器讀出；反射面下方是電極面，如圖4(b)所示，電極分為三環式，采用9個通道對13塊電極精密調控，反射面與電極面兩者間距為5 mm。

(a)薄膜反射面模型(b)基礎電極模型

圖4 天線試驗模型

Fig.4 The antenna experiment model

2.2 精度實驗

由于薄膜反射面的柔性很大，只能采用非接觸式方法來測量形面精度；由于薄膜的形面精度較高，測量儀器須具有高測量精度。因此采用了Digimetric攝像測量系統，對薄膜反射面進行形面精度測量。測量前需做的準備工作有：設置正確的相機參數；合理布置編碼點、標志點以及測量標尺的位置；合理選擇拍攝站點，有利于保證系統的測量效率。其中，測量標尺起到比例尺的作用，是以大理石為原材料制作，具有極小的熱膨脹系數，環境條件的變化對其長度的影響極小。

測量時，采用手持CCD相機在攝站處以自由拍攝的方式進行拍照，拍照時使用的是Nikon D90型相機，有效像素為1 230萬。為保證系統圖像處理和解算測量點坐標的精度，拍照時盡可能保證光線明暗適中，拍攝距離大致不變，而拍攝角度盡量多變，且照片清晰度高；再者，需保證前后2次拍照所得照片中的同名編碼點不少于5個。拍攝完畢后，將照片導入到測量系統Digimetric軟件，以標尺測量所得長度與真實長度的比值為尺寸比例，解算標志點和編碼點的三維空間坐標，實現反射面的三維重建，如圖5所示。最終，通過Digimetric軟件計算出反射面上測量點的三維坐標，進而得到反射面的形面精度。

2.3 試驗結果

首先，將索拉力和電極電壓調整到對應的標稱值，對薄膜反射面進行精度測量，得到的初始形面精度為0.46 mm，精度不高，這是因為在模型加工和反射面拼接和粘貼過程中不可避免存在誤差。因此，需要根據實測反射面和理想拋物面的偏差，利用測量點的坐標信息建立實物仿真模型，運用攝動法對電壓值和索拉力施加單位調整量并組集得到敏度矩陣求解得到索拉力和電壓值的調整量，通過索拉力和電壓值的協同調整來改善膜面精度。而薄膜結構為柔性結構，具有高度非線性，必須交替進行測量和調整且重復多次才能使精度逐漸提高。經過多次反射面的調整后,反射面精度達到0.13 mm，如圖6所示。

(a)標志點識別(b)標志點選取

圖5 標志點處理

Fig.5 The operation of market points

圖6 形面精度隨調整變化曲線Fig.6 Surface accuracy change by adjustment

3 結 論

本文主要介紹了靜電成形薄膜反射面的設計方法，采用電極布局優化模型進行電極布局設計，采用梯度法和遺傳算法解決了高度非線性問題；在保型設計中，通過減小RMS偏差使實際形面與理想形面接近；裁剪設計中將展平問題轉換為等效力學問題實現扇形子曲面的展平；基于有限元思想將平面裁剪片拼接得到初始膜面狀態，施加靜電力和索拉力后得到最終成形狀態。應用上述理論設計制作了0.55 m口徑靜電成形薄膜反射面天線模型，采用攝影測量對薄膜反射面進行精度測量，經過多次調整后，形面精度逐漸改善，達到較高的形面精度。

參 考 文 獻

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