不同密度人群行走作用下結構豎向振動響應分析

陳海浪， 宋志剛， 張 帥(昆明理工大學 建筑工程學院，昆明 650504)

結構振動響應隨人數增長的變化規律，是人群行走激勵下結構振動響應研究的重要問題，其目的是建立多人作用與單人作用下結構振動響應之間的倍數關系，從而為人行橋、大跨度樓板等結構的設計提供理論依據。大量文獻從理論分析和數值模擬的角度指出結構振動響應隨人數N的增長，按N0.5倍關系增長。Matsumoto等[1]結合中心極限定律提出N人作用下結構的動力響應是單人作用下響應的N0.5倍；錢曉斌等[2-4]，結合Monte Carlo模擬發現這個倍數也在N0.5附近；法國標準[5]則分別給出了低密度人群(<1.0人/m2)和高密度人群(>1.0人/m2)相應倍數關系，該倍數也與N0.5成正比。

然而，上述結論忽略了人人相互作用效應，或者說是在假定人群中個體相互無干擾、步行力不同步，且作用力頻譜結構與單人自由行走條件下完全一致的前提下獲得的。忽略人人相互作用效應會導致在使用中心極限定律或Monte Carlo模擬過程中，實際隱含了一些與物理背景不符的情況，例如，當后面的行人速度超過前人時，他無需改變自身運動速度，而可以像“鬼魂”一樣自由穿過前人、不受干擾地行走。而事實上，隨著行人密度的提高，人-人相互作用的影響會逐漸顯現，人在行走過程中會因避免碰撞而降低行走速度，這進一步又會導致行人作用力頻譜結構的變化，從而破壞了N0.5倍關系成立的前提。因此，有必要對人人相互作用影響下結構振動響應隨人數增長的變化規律進行研究。

針對上述問題，本文研究了不同人群密度下結構振動響應隨人數增長的變化規律。首先從隨機振動分析的角度，給出了N0.5倍關系的理論依據，指出了該關系成立的前提條件；然后，借助交通工程領域相關研究，獲得不同人群密度下的行人速度，進一步結合行人步行速度與步頻的經驗規律，確定出行人步頻，并依據已有的荷載板試驗結果獲得該步頻下對應的頻譜參數；最后，結合強迫振動理論提出了人員密度影響系數的計算方法，研究了多人行走作用下結構振動響應隨人數的變化規律。

1 多人激勵下的振動響應

當有N個人作用于結構時，結構在第i階步行力分量作用下的第j模態的運動方程可寫為[6]

(1)

式中:φj，Mj，Cj，ωj，qij(t)分別為第j階振型、第j階振型的廣義質量、廣義阻尼、自振圓頻率和第i階作用力分量下廣義位移;Pijk(t)為位置xk上行人作用力的第i階分量在第j階振型的廣義力，表達為[7]

Pijk(t)=αiGφj(xk)sin(2iπf1t+θi+φk)

(2)

式中:f1為人行走步頻;t為時間;i為步行力分量的階數;初相位角φk反映人作用于結構上的時間差異;αi,θi分別為第i階步行力分量的動載因子和相位角;G為人靜止時的平均體重。

考慮行人步行力初相位φk及行人在橋面作用位置xk為相互獨立的隨機變量，且分別服從[0,2π]和[0,L]的均勻分布，則在Pijk(t)作用下，第j模態動力響應qijk(t)是一個均值為0的隨機過程，其標準差(或者振動位移均方根響應)σqijk為

(3)

式中

(4)

為結構第j振型對第i階作用力分量的動力放大系數，βij=2iπf1/ωj為第i階步行力分量的圓頻率與第j振型圓頻率之比，ξj為第j振型的結構阻尼比。

在有N個行人作用時，假定qijk(t)，(k=1,2,3,…,N)是獨立同分布的隨機過程，則由(1)獲得的振動響應qij(t)也是一個0均值隨機過程，其標準差(或均方根響應)為

(5)

式(5)表明，N人作用時，其振動響應是單人作用的N0.5倍。為便于后面討論，假定人員在面積S的橋面上以人員密度ρ均勻分布，則

(6)

即在面積S給定的情況下，振動響應與ρ0.5成正比。需要特別指出的是，式(5)或(6)是在qijk(t) (k=1,2,3,…,N)獨立同分布的前提下獲得的，這個前提意味著兩個基本假定：①每個行人作用力相互獨立，即行人完全不同步；②步行力第i階分量αi和動力放大系數DLFij為常量，這就意味著式(2)所示的作用力頻譜結構中步頻f1和αi不隨人數發生變化。

對于第(1)個假定，已有研究表明[8-9]，隨著人數的增加，同步運動的人的比例隨之提高，在完全同步的情況下，N人作用產生的動力響應將是單人作用條件下的N倍。關于獨立性假定被破壞以后可能帶來的問題，已有較多文獻進行研究，這里不再贅述。在本文后面的篇幅中，將要進一步指出隨著人群密度的提高，第(2)個假定也可能不成立。

2 不同人員密度下動力響應分析

隨著人群密度的提高，人群中的個體為了避免行走過程中的碰撞，將會降低行走速度，而行走速度的變化，又會導致步頻f1，步行力各階分量αi發生變化。因此，有必要在步行速度與人員密度的關系基礎上，進一步研究步行速度與步行力頻譜結構的關系，從而建立人員密度和步行力頻譜結構之間的關系。

2.1 不同人員密度下行人步行速度

交通過程領域的研究表明，行人步行速度受人群密度、地域文化、出行目的等因素的影響，結合實地觀測，文獻[10]綜合給出了步行速度與人群密度的基本關系式

(7)

vF=1.34αGαT

(8)

式中:vρ為人員密度ρ時的行走速度;vF為在無干擾自由行走速度;ρM為人群堵塞(步速趨于0)時的密度，對于歐美人，ρM取7.155人/m2，對于亞洲人，ρM取9.082人/m2;γ為出行目的指數，αG、αT分別為地域修正系數和出行目的修正系數，取值見表1。

表1 γ、αG及αT的取值Tab.1 The value of γ、αG and αT

以亞洲人的參數為例，在高峰期、通勤期和休閑期條件下，比值vρ/vF隨人員密度的變化規律見圖1所示。由圖1不難看出，在人員密度低于0.3人/m2范圍時，vρ/vF≈1，人基本以自由行走速度行走，當人員密度超過這個范圍以后，行人行走速度隨人員密度的提高而迅速降低。

圖1 步行速度隨人員密度而降低Fig.1 Walking speed decreased as the increase of crowd density

2.2 不同人員密度下行人步頻

Bertram等[11]開展了大量行人速度v與行人步頻f1之間的試驗觀測，Venuti等[12]根據上述試驗結果，給出了一個f1與v的經驗關系

f1=0.35v3-1.59v2+2.93v

(9)

仍以亞洲人參數為例，結合式(8)和表1獲得的在高峰期、通勤期和休閑期條件下自由行走速度vF分別為1.479 m/s，1.368 m/s和1.036 m/s，對應的自由行走頻率f1F分別為1.988 Hz，1.929 Hz和1.718 Hz。結合式(7)、(8)、(9)可推算步頻折減系數R1=f1/f1F隨人員密度ρ的變化規律，如圖2所示。

顯然，在人員密度低于0.3人/m2范圍時，R1≈1，人基本以自由行走頻率行走，當人員密度超過這個范圍以后，行人步頻隨人員密度的提高而迅速降低。為便于后續推導，進一步擬合出圖2所示的ρ-R1關系，結果表明如下形式的三次多項式具有很好的擬合效果

R1=f1/f1F=b1ρ3+b2ρ2+b3ρ+1

(10)

對應亞洲人的特點，在高峰期、通勤期和休閑期條件下的f1F，b1，b2和b3的取值見表2。

圖2 步頻折減系數隨人員密度而降低Fig.2 Frequency reduction factor vs. crowd destiny

表2 不同條件下步頻參數值Tab.2 The parameters of frequency in different condition

2.3 不同步頻下各階步行力分量

在過去的近20年間，Kerr等[13-16]做了大量步行力試驗觀測，獲得了較為豐富的步行力荷載模型。這些試驗數據一般是在節拍提示器控制下，通過測力板試驗獲得，因此，可以看做是單人在不同步頻下的步行力數據。結合觀測數據，不同的研究人員均以步行力各階分量的形式給出了步行荷載模型。以陳雋等提出的豎向步行荷載模型為例，依據試驗給出了前5階分量αi(i=1,2,3,4,5)的均值，見式(11)所示

(11)

(12)

Rαi=1(i=2,3,4,5)

(13)

2.4 人員密度影響系數Kij

(14)

將式(14)除以式(5)，得到考慮步頻和作用力分量變化以后的響應比Rij為

(15)

(16)

參照式(4)，得到

(17)

結合式(6)和式(17)，得到新的修正關系

(18)

由式(18)知，在給定橋面面積S的前提下，由于人群密度的變化引起的行人步頻和其動載因子的變化，多人響應與單人響應之間的增長關系與行人步行力第i階分量所引起的結構第j階模態響應的人員密度影響系數Kij有關，表達為

(19)

(20)

根據SRSS振型組合法，第i階步行力分量作用下結構的總響應為

(21)

根據人員密度ρ和頻率比βij的取值范圍，可將Kij的取值特征做如下定性判斷：

(1)無影響區

結合圖2或式(10)不難發現，當ρ≤0.3人/m2時，R1≈1.0，人步行的頻率幾乎等于自由行走頻率，因此Rαi≈1.0，RDij≈1.0，因此有在這個人員密度范圍內有

Kij=ρ0.5,ρ≤0.3

(22)

即在當ρ≤0.3人/m2時，可以不考慮人人相互作用效應，N人作用下的振動響應是單人作用下振動響應的N0.5倍，或者說，人員密度小于0.3人/m2，是直接Monte Carlo模擬多人振動響應的適用條件。

(2)誘發共振區

當ρ>0.3人/m2時，人行步頻會隨著人員密度提高顯著下降，從而導致步行力分量頻率與結構自振頻率一致而發生共振現象。由式(16)知，當頻率比滿足

R1βij=1

(23)

會出現共振現象，在發生共振的條件下，結構動力放大系數的修正系數RDij獲得最大值

(24)

相應的，可獲得人員密度影響系數的最大值Kijmax

(25)

由于βij=iβ1j，其中，β1j為自由行走步頻與結構第j模態頻率的比值，結合式(23)知，當步行力第i階分量引起結構共振時

(26)

由于ρ>0.3人/m2以后，總有0

β1j≥i-1

(27)

式(27)表明，當自由行走條件下步行力第i階分量的頻率不小于結構自振頻率時，提高人員密度，會使步行力第i階分量的頻率回落并靠近結構自振頻率，導致結構動力放大系數增大甚至誘發共振。在發生共振時，由于ξj<<1，故由式(24)可知RDijmax>>1，同時由式(12)、(13)知，隨ρ提高，Rαi略小于1(i=1)或保持不變(i=2,3,4,5)，結合式(19)可以得到，在誘發共振區

Kij>ρ0.5, (ρ>0.3,β1j≥i-1)

(28)

(3)非共振區

當β1j

Kij<ρ0.5, (ρ>0.3,β1j

(29)

依據上述分析，式(22)、式(28)和式(29)中Kij的取值特征的各個分區應滿足的條件(β1j≥i-1?βij≥1,β1j

圖3 Kij的取值分區應滿足的條件Fig.3 The corresponding condition for the subarea of Kij

3 分析示例

考慮到橋梁等多自由度系統的共振響應會在特定的模態發生，現以通勤期條件為例，計算前5階步行力分量的人員密度影響系數Kij(i=1,2,3,4,5)隨人員密度ρ的變化規律，計算中結構阻尼比ξj取比較常用的0.05，其它計算條件為

(1)通行條件為通勤期，結合表2，f1F=1.929 Hz，b1=0.021 43，b2=-0.120 50，b3=0.024 37；

(2)ρ的取值范圍為0.1～2.5人/m2之間；

(3)頻率比βij，考慮到多數樓板或人行橋設計中，結構的基頻一般不會小于步頻，因此，β1j一般不超過1，計算中β1j分別取0.15，0.35，0.55等3種情況，當f1F=1.929 Hz時，分別對應了結構第j模態頻率分別為12.86 Hz，5.51 Hz，3.50 Hz。依據非共振區和誘發共振區的判據，在這些β1j的取值條件下，可能引起共振的情況見表3。

表3 各階分量誘發共振的條件Tab.3 The condition of each component induced resonance

依據表3，當β1j取0.15時，0.15×5=0.75<1，前5階分量不會引起共振；當β1j取0.35時，0.35×2=0.7，0.35×3=1.05>1，第3,4,5階分量會引起共振；當β1j取0.55時，0.35×1=0.55，0.55×2=1.1>1，第2,3,4,5階分量會引起共振。

根據上述條件，依次按式(10)、式(12)、式(17)、式(19)計算獲得Kij，結果見圖4～圖8，為便于比較，圖中同時給出了ρ0.5倍曲線。

圖4 K1j隨人員密度ρ的變化Fig.4 The change of K1j as the personal density ρ

圖5 K2j隨人員密度ρ的變化Fig.5 The change of K2j as the personal density ρ

圖6 K3j隨人員密度ρ的變化Fig.6 The change of K3j as the personal density ρ

分析圖4～圖8可知：

(1)在ρ≤0.3人/m2時，Kij幾乎與ρ0.5倍曲線重疊，即N人作用下的振動響應是單人作用下振動響應的N0.5倍。

(2)在ρ>0.3人/m2時，所有處于非共振條件下的Kij均低于ρ0.5倍曲線，即N人作用下的振動響應小于單人作用下振動響應的N0.5倍。

圖7 K4j隨人員密度ρ的變化Fig.7 The change of K4j as the personal density ρ

圖8 K5j隨人員密度ρ的變化Fig.8 The change of K5j as the personal density ρ

(3)在ρ>0.3人/m2時，所有處于共振條件下的Kij均大于ρ0.5倍曲線，即N人作用下的振動響應大于單人作用下振動響應的N0.5倍。

(4)步行力的i階分量作用下結構的各階模態的振動響應均不再服從N0.5倍關系，結合式(21)可知，結構的振動總響應也不再服從N0.5倍關系。

4 結 論

受人人相互作用效應的影響，人群作用下結構振動響應隨人數增長的N0.5倍關系可能不再成立，本文在考慮了行人步頻隨人員密度增大而降低的效應后，在理論推導的基礎上結合已有的試驗成果，研究了結構振動響應隨人數增長的初步規律，結果表明：

(1)受人人相互作用影響，人群密度的提高改變了行走速度，從而改變個體步頻和步行力各階分量的大小，并進一步引起結構動力放大系數的改變。因此，人員密度超過一定水平以后，N0.5倍增長關系不再成立；

(2)人員密度小于0.3人/m2，可以不考慮人人相互作用效應，N人作用下的振動響應是單人作用下振動響應的N0.5倍；在人員密度大于0.3人/m2時，在非共振條件下，N人作用下的振動響應小于單人作用下振動響應的N0.5倍，在誘發共振條件下，N人作用下的振動響應大于單人作用下振動響應的N0.5倍。

參 考 文 獻

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