雙正交小波基構造法及其在爆破振動信號分析中的應用

凌同華， 劉浩然， 張 亮， 谷淡平， 吳聯迎(.長沙理工大學 土木與建筑學院，長沙 404；.福建省建筑科學研究院，福州 350000)

目前小波分析技術被廣泛地應用于爆破振動信號的能量譜分析、重構分析和微差延期時間識別等方面[1-2]。微差延期時間的有效識別對維護爆破施工安全、優化爆破參數和控制爆破效果具有重要的指導意義[3-4]。由于不同小波基分析同一信號會產生不同的結果[5]，因此為了提高爆破振動信號的小波分析效果，需根據信號的特征選取或構造最優小波基。

在小波構造的實際應用中，傳統的小波構造方法普遍存在盲目性、局限性和計算復雜性。目前，正交小波基構造法能夠構造具有良好緊支撐性和光滑性的Db系列小波基，該系列小波基能很好地用于爆破振動信號的去噪、重構和能量譜分析[6]。然而，該系列小波基波形固定，不能與爆破振動信號的波形相匹配，導致該類小波基在微差延期時間識別方面具有較差的精確性、分辨率和穩定性。近年來，模式自適應小波構造法被用于構造與爆破振動子信號相關性高的連續小波基(Pattern Adapted Wavelet，PA小波基)。該構造方法具有目的性強和構造過程簡單等特點，且構造出的PA小波基能有效提高微差延期時間的識別精度[7]。然而，不同爆破參數、不同測點、不同巖性條件下，微差爆破振動信號各不相同，爆破振動子信號也各不相同，這影響了PA小波基在微差延期時間識別方面的分辨率和穩定性；同時每分析一條微差爆破信號，即需構造一個新的PA小波基，這增加了小波構造的工作量、降低了信號分析效率。

雙正交小波基具有雙正交性、對稱性以及小波基波形不固定的特點。因此在理論上，構造與爆破振動信號相關性高的雙正交小波基從而提高小波分析效果是切實可行的。然而，現有的雙正交小波構造方法盲目性強，且計算復雜。這限制了雙正交小波基在爆破振動信號分析中的應用。本文結合多分辨分析理論和雙正交小波基的半帶濾波器形式[8-9]，改進了雙正交小波基的構造方法。根據爆破振動子信號的特性和改進的小波構造法，提出一種爆破振動信號分析用雙正交小波基構造方法，并運用該法構造出新的小波基。新小波基在微差延期時間識別方面具有較高的準確性、穩定性和分辨率，具有一定的普遍適用性，從而提高了爆破振動信號的小波分析效果和應用效率。

1 雙正交小波構造方法

1.1 雙正交小波的多分辨分析

(1)

雙正交小波的兩尺度函數滿足如下的雙正交關系[11]

(2)

即雙正交小波的低通濾波器滿足下列條件

(3)

1.2 完全重構濾波器的雙正交小波構造法

運用拉格朗日半帶濾波器構造公式[12]和完全重構條件，雙正交小波的構造方法可表示為

(4)

或

(5)

其中，

(6)

(7)

完全重構濾波器的雙正交小波構造法考慮了濾波器的支集長度和消失矩階數，在一定程度上降低了小波構造的復雜性。但在運用該方法求解濾波器時，需要設Z2n的系數為零，此步驟的計算機編程過于繁瑣復雜，不易于快速實現。

1.3 改進的雙正交小波構造方法

由于Z=cos(ln(z)/j)，運用換元法，式(4)、(5)可改寫為

(8)

(9)

(10)

Foriform 1 tondo；

t=l1-2i

Ift≥l2

z=l2

elsez=l1-2i

end

eq[1,i]:=submatrix(h1,1..1,1..z)&*transpose(-submatrix(h2,1..1,1+2i..,z+2i)=0

end:

solve({eq[1,1],…eq[1,n]},{a0,a1,…ai,b0,b1,…bi})

2 爆破振動信號分析用雙正交小波構造方法

2.1 爆破振動信號分析用雙正交小波構造方法的具體步驟

根據爆破振動子信號特點和WMLB法，提出一種用于爆破振動信號分析的雙正交小波基構造方法(Biorthogonal Wavelet Construction Method for Blasting Vibration Signal Analysis，BWBV法)。BWBV法建立了小波基與爆破振動信號之間的關系，并降低了雙正交小波構造法在實際應用中的盲目性。該法詳細步驟如下：

(1) 根據爆破振動子信號的持續時間特點，設計小波基的支集長度[15-16]。支集長度太長會產生信號分析的邊界問題，也會影響小波分析的局部特性；支集長度太短會影響消失矩階數，從而減弱小波分析對信號能量的集中程度。

(2) 根據爆破振動信號的細節幅值變化和規則性，確定小波基的消失矩[17]。小波基的消失矩階數決定了信號能量在各小波頻帶中的分布程度，一般消失矩階數越高，低頻段的信號能量越大。

(3) 對爆破振動子信號進行小波時-頻分析，其中低頻成分的主體波形能夠很好的反映子信號的振動形式。因此，令小波函數與低頻成分的主體波形具有一定的相似性。

(4) 將確定的支集長度、消失矩階數代入WMLB法構造小波基，通過改變構造方程中未知數的取值調整小波基波形。

(5) 將新小波基用于模擬和實例信號分析，運用小波變換模值識別微差延期時間，以驗證小波基分析的準確性、分辨率和穩定性[18-19]。若分析效果較差，則重新調整該法中各參數取值。注意，各參數調整的優先級為：方程未知數>消失矩階數>支集長度。

爆破振動雙正交小波基構造方法的流程如圖1所示。

圖1 BWBV法的應用流程Fig.1 Flowchart of BWBV method

2.2 雙正交小波基的構造

爆破振動子信號的持續時間較短，因此新小波基的支集長度的取值范圍為5～9。圖2(a)為爆破振動子信號的速度-時程曲線，對子信號中的任意區域進行微觀分析，通過觀察區域1的幅值變化，可以看出爆破振動信號具有突變快的特點，是典型的隨機非平穩信號。考慮信號規則性與消失矩之間的關系，以及消失矩階數對信號能量分布的影響，設新小波基消失矩的取值范圍為2～4。運用小波時頻分析提取爆破振動子信號的低頻成分，如圖2(b)所示，其中低頻成分的主體波形具有一定的近似對稱性，因此新小波基應具有對稱性，其小波函數要與該低頻成分的主體波形具有一定的相似性。

(a) 爆破振動子信號速度-時程曲線

(b) 爆破振動子信號低頻成分的速度-時程曲線圖2 爆破振動子信號及其低頻成分Fig.2 Blast vibration sub-signal and its low-frequency signal

(11)

根據式(10)，新小波的構造方程組如下

(12)

由于式(12)為不定方程，為了求解小波的尺度函數，令未知參數b1=-0.4，求出式(12)的解，則新小波的尺度和對偶尺度濾波器為

(13)

圖3 MB4.2小波的函數及濾波器組Fig.3 Functions and filter bank of MB4.2 wavelet

3 新小波基的可行性驗證

構造已知延期間隔的模擬信號，采用新小波基對模擬信號進行分析，從而驗證新小波基在微差延期時間識別方面的精確性和普遍適用性，以及BWBV法根據爆破振動子信號特點構造雙正交小波基的可行性。

3.1 模擬信號概況

在MATLAB的Simulink軟件平臺中，運用圖2(a)中的爆破振動子信號構造模擬信號y1(n)，該信號由5段子信號疊加而成，且各子信號出現的時刻為0，0.01 s，0.02 s，0.03 s，0.04 s，即設計間隔均為0.01 s。圖4為模擬信號y1(n)的速度時程曲線。運用圖5中的爆破振動子信號構造模擬信號y2(n)，該模擬信號由5段子信號疊加而成，各子信號之間的設計間隔均為0.02 s，圖6為模擬信號y2(n)的加速度時程曲線。

圖4 信號y1(n)的速度-時程曲線

Fig.4 The velocity vs time curve of blast vibration signaly(n)

圖5 爆破振動子信號加速度-時程曲線

Fig.5 The acceleration vs time curve of blast vibration sub-signal

圖6 信號y2(n)的加速度-時程曲線

Fig.6 The acceleration vs time curve of blast vibration signaly2(n)

3.2 模擬信號的分析結果

(1)模擬信號y1(n)的小波分析結果

按照文獻[7]中的方法，根據圖2(a)中的子信號構造模式自適應小波基，并命名為PA1小波。分別采用MB4.2小波、Db5小波以及PA1小波對模擬信號y1(n)進行小波變換,并取模值，結果見圖7和表1。圖7(a)為MB4.2小波變換模值曲線，在該圖中可以確定5個具有高分辨率的局部模極大值點，用局部模極大值點1，2，3，4，5表示各爆破振動子信號的奇異點，再用奇異點的時間坐標值表示雷管的起爆時刻。因此采用MB4.2小波得到的1-2段、2-3段、3-4段和4-5段微差延期時間，詳見表1。圖7(b)為PA1小波變換模值曲線，在該圖中標記子信號的奇異點，并計算微差延期時間，詳見表1。圖7(c)為Db5小波變換模值曲線，在該圖中標記子信號的奇異點，并計算微差延期時間，詳見表1。在表1中，MB4.2小波的識別結果與設計間隔時間完全相等，PA1小波基和Db5小波基的識別結果與設計間隔時間存在微小誤差。上述結果表明MB4.2小波、PA1小波和Db5小波均能有效識別疊加信號中爆破振動子信號的奇異性，并能運用奇異性精確識別微差延期時間，且MB4.2小波的識別精度高于PA1小波和Db5小波。這驗證了MB4.2小波在微差延期時間識別方面的可行性和精確性，也證明了BWBV法根據子信號特點構造雙正交小波基的可行性，從而解決了爆破振動信號分析中雙正交小波構造的盲目性。

(a) 采用MB4.2小波的小波變換模值曲線(a=5)

(b) 采用PA1小波的小波變換模值曲線(a=7)

(c) 采用Db5小波的小波變換模值曲線(a=11)圖7 信號y1(n)的小波變換模值曲線Fig.7 Wavelet transform modulus curve of signal y1(n)

表1三種小波基識別的信號y1(n)的延期間隔

Tab.1Delayintervalofsignaly1(n)identifiedbythreewaveletbases

段次設計間隔/ms實際間隔/msMB4．2小波PA1小波Db5小波1?210109．69．62?31010109．63?4101010104?510101010注：段次1?2是指第一段與第二段的時間間隔，其他依次類推

(2)模擬信號y2(n)的小波分析結果

按照文獻[7]中方法，根據圖5中的子信號構造模式自適應小波基，并命名為PA2小波。分別采用MB4.2小波、Db5小波以及PA2小波對模擬信號y2(n)進行小波變換,并取模值，結果見圖8和表2。圖8(a)為MB4.2小波變換模值曲線，在該圖中可以確定5個具有高分辨率的局部模極大值點，用模極大值點表示子信號奇異點，并計算微差延期時間，詳見表2。圖8(b)為PA2小波變換模值曲線，在該圖中標記子信號奇異點，并計算微差延期時間，詳見表2。圖8(c)為Db5小波變換模值曲線，在該圖中標記子信號奇異點，并計算微差延期時間，詳見表2。在表2中，MB4.2小波的識別結果與設計間隔時間完全相等，PA2小波基和Db5小波基的識別結果與設計間隔時間存在微小誤差。上述結果表明MB4.2小波、PA2小波和Db5小波均能有效識別疊加信號中爆破振動子信號的奇異性，并能運用奇異性精確識別微差延期時間，但MB4.2小波的識別精度高于PA2小波和Db5小波。這再次證明MB4.2小波在微差延期時間方面的可行性和精確性。此外，在模擬信號y1(n)和y2(n)的分析中，MB4.2小波基均具有最優的微差延期時間識別效果，這表明，與模式自適應小波構造法相比，BWBV法無需跟據不同的爆破振動信號而重新構造小波基，即BWBV法構造的小波基具有一定的普遍適用性。

表2三種小波基識別的信號y2(n)的延期間隔

Tab.2Delayintervalofsignaly2(n)identifiedbythreewaveletbases

段次設計間隔/ms實際間隔/msMB4．2小波PA2小波Db5小波1?2202020202?3202020203?4202020204?520201919注：段次1?2是指第一段與第二段的時間間隔，其他依次類推

(a) 采用MB4.2小波的小波變換模值曲線(a=1)

(b) 采用PA2小波的小波變換模值曲線(a=1)

(c) 采用Db5小波的小波變換模值曲線(a=1)

圖8 信號y2(n)的小波變換模值曲線

Fig.8 Wavelet transform modulus curve of signaly2(n)

4 工程實測信號分析

4.1 實測信號概況

選取某微差爆破工程中的一條爆破振動信號s(n)，加速度-時程曲線如圖9所示，相應的爆破參數見表3。注意，圖5中的子信號與圖9中的信號s(n)同屬一個爆破工程項目，所以PA2小波為該實測信號的模式自適應小波基。

圖9 微差爆破振動信號s(n)的加速度-時程曲線Fig.9 The acceleration vs time curve of blasting vibration signal s(n)

表3 信號s(n)的爆破參數Tab.3 Blasting parameter of signal s(n)

4.2 實測信號分析及結果對比

分別采用MB4.2小波、PA2小波和Db5小波對信號s(n)進行連續小波變換并取模值，分析結果如圖10所示。

圖10(a)為MB4.2小波變換模值曲線，在該曲線中出現了5個局部模極大值點，可以清楚看出5個局部模極大值點均具有較高的分辨率。利用模極大值點的時間坐標確定雷管起爆時刻，經計算MB4.2小波確定的實際微差延期時間如表4所示。圖10(b)為PA2小波變換模值曲線，在該曲線中可以找到5個局部模極大值點，其中，2#、5#和7#雷管對應的局部模極大值點的模值較大，3#、9#雷管對應的局部模極大值點的模值較小，且受局部干擾信號影響。這表明Pa2小波的分辨率較低、穩定性差，很難將爆破振動子信號中的奇異成分和干擾成分進行區分，易造成漏判和誤判，該小波識別的微差延期時間如表4所示。圖10(c)為Db5小波變換模值曲線，在該曲線中可以找到5個局部模極大值點，其中2#、7#雷管對應的局部模極大值點的模值較大，3#、5#和9#雷管對應的局部模極大值點的模值較小，且受局部干擾信號影響。這表明Db5小波的分辨率較低，易造成漏判和誤判，該小波識別出的微差延期時間如表4所示。

(a) 采用MB4.2小波的小波變換模值(a=3)

(b) 采用PA2小波的小波變換模值(a=5)

(c) 采用Db5小波的小波變換模值(a=3)

圖10 微差爆破振動信號s(n)的小波變換模值

Fig.10 Wavelet transform modulus value of blasting vibration signals(n)

在圖10中，MB4.2小波基的分辨率和穩定性明顯優于PA2和Db5小波基。這表明對于該爆破振動信號，MB4.2小波基具有最優的奇異性識別效果，且不受干擾信號影響，也表明MB4.2小波基確定的微差延期時間具有更好的準確性和可靠性。因此可以將MB4.2小波用于實際微差延期時間識別分析。在表4中，將MB4.2小波識別出的實際微差延期時間與雷管的設計延期間隔進行比較，可以看出MB4.2小波得到的3#-5#、5#-7#、7#-9#實際延遲時間均在設計的間隔范圍內，而得到的2#-3#延遲時間略大于設計的間隔范圍。這證明該次微差爆破達到設計要求，但在應用2#、3#雷管進行爆破時需謹慎。

表4三種小波基識別的信號s(n)延期間隔

Tab.4Delayintervalofsignals(n)identifiedbythreewaveletbases

段次設計時間間隔/ms實際間隔/msMB4．2小波PA2小波Db5小波2#?3#5～4546．958．543．03#?5#35～8570．371．374．25#?7#50～125101．687．9101．67#?9#60～165117．1136．7117．1注：段次2#?3#是指2#與3#雷管之間的時間間隔，其他依次類推

此外，MB4.2小波基在模擬信號和實測信號分析中均有較好的微差延期時間識別效果，這進一步證明運用BWBV法構造用于微差延期時間識別的小波基是切實可行的。

5 結 論

(1)基于多分辨分析理論和完全重構濾波器的雙正交小波構造法，提出了一種改進的雙正交小波構造法。根據爆破振動子信號特點和改進的雙正交小波構造法，提出爆破振動信號分析用雙正交小波基的構造法(BWBV法)，構造出新的雙正交小波基(MB4.2小波)，并將MB4.2小波基成功用于模擬信號和實測信號分析。

(2)BWBV法構造的MB4.2小波基能夠精確識別微差延期時間，該小波基在微差延期時間識別方面的穩定性和分辨率明顯優于Db5小波基和模式自適應小波基，從而提高了爆破振動信號的小波分析效果。與模式自適應小波基構造法相比，BWBV法無需根據不同的爆破振動信號而重新構造小波基，從而提高了爆破振動信號的小波分析效率。

(3)爆破振動信號是典型的隨機非平穩信號，爆破振動子信號的波形具有多樣性，因此單個雙正交小波基并不能用于所有爆破振動信號的微差延期時間分析。下一步將運用BWBV法構建用于爆破振動信號分析的雙正交小波系列。

參 考 文 獻

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