基于兩種接觸模型的柔性體間多次微碰撞問題研究

王檢耀， 劉鑄永， 洪嘉振(上海交通大學 工程力學系，上海 200240)

工程中經(jīng)常會發(fā)生結構間的多次碰撞，如航天器對接時導向板之間的接觸碰撞[1]；高速列車受電弓/接觸網(wǎng)間的碰撞振動[2]；連桿機構的鉸間隙引起的反復沖撞[3]。多次碰撞會激發(fā)柔性體的高頻振動，影響機械系統(tǒng)的運行精度，而且往復碰撞對結構強度的破壞甚至高于單次高強度的碰撞[4]。

多次碰撞不僅指肉眼或聽覺能分辨的往復的宏觀碰撞。在一次短暫的宏觀的碰撞過程中，由于結構的彈性振動與碰撞發(fā)生相互作用，很有可能會發(fā)生多次間歇性“接觸-分離-再接觸”的微碰撞現(xiàn)象。Stoianovici等[5-6]在碰撞實驗研究中捕捉到了一次宏觀碰撞中的多次微碰撞過程。在碰撞問題的理論研究中，剛體碰撞理論[7-8]忽略了彈性振動，因此無法表現(xiàn)出多次微碰撞現(xiàn)象；高玉華等[9-10]利用應力波理論解析求解了柔性桿縱向碰撞問題，并解釋了多次微碰撞現(xiàn)象；對于柔性梁、板等結構的碰撞問題，段玥晨等[11]用假設模態(tài)法求解了柔性梁的多次碰撞問題，劉錦陽等[12]用動態(tài)子結構方法求解了太陽帆板鎖定時的撞擊問題，也有二次或多次微碰撞現(xiàn)象發(fā)生。對于復雜的三維結構的碰撞問題，更通用的做法則是用有限元方法求解。在有限元方法中，處理接觸碰撞的方法有兩種：接觸力元方法[13-14]和接觸約束方法[15]。接觸力元方法將接觸作用視為彈簧阻尼器力元，根據(jù)物體間的嵌入量直接由相應函數(shù)給出接觸力，又稱為罰函數(shù)法(Penalty Method，PM)。接觸約束方法將接觸作用視為接觸約束，接觸約束方程與帶Lagrange乘子的動力學方程聯(lián)立求得接觸力，又稱為Lagrange 乘子法或附加約束法(Lagrangian Method，LM)。

本文基于有限元法的三維實體單元模型，分別采用罰函數(shù)法和附加約束法對柔性結構間一次碰撞產(chǎn)生的多次微碰撞過程進行研究。利用點-面接觸對接觸域進行離散，分別推導了罰函數(shù)法和附加約束法的動力學方程，對桿-梁多次微碰撞問題進行仿真，研究了接觸剛度、網(wǎng)格尺寸等參數(shù)對多次微碰撞過程中碰撞次數(shù)、碰撞力峰值和碰撞時間的影響。

1 接觸域處理

在有限元方法中，為了精確描述接觸的作用，對接觸進行細致的空間離散化，在離散后的接觸域上形成多個接觸對，而接觸力元或約束施加在各個接觸對上。碰撞過程中，接觸點對的形成與分離表現(xiàn)了接觸區(qū)域的時變過程。最廣泛使用的接觸域離散形式為點-面接觸對(node to segment)。如圖1所示，把撞擊物體稱為從物體(slave body)，被撞擊物體稱為主物體(master body)，從物體上的一點i與主物體單元表面si上的最近投影點i′構成接觸對。接觸對間距矢量有如下形式

圖1 點-面接觸對Fig.1 A node-to-segment contact pair

gi=ri-ri′=ri0-ri′0+ui-ui′

(1)

式中：ri和ri′分別表示節(jié)點i和i′在慣性坐標系下位置；ui和ui′分別表示表示節(jié)點i和i′的位移。接觸點間的法向距離可以寫為

gNi=ni·gi

(2)

式中:ni主物體表面si上點i′位置的法向矢量。當gNi>0，表示沒有碰撞發(fā)生；當gNi=0，表示碰撞剛剛開始；當gNi<0，則表示接觸點對之間有互相穿透。

2 接觸作用的力學模型

系統(tǒng)中物體的相互作用有兩種力學模型：力元和約束。相應地，目前處理接觸/碰撞過程的方法有兩種：接觸力元方法和接觸約束方法。接觸力元方法將接觸作用視為彈簧阻尼器力元，力元根據(jù)接觸點對嵌入量直接由相應模型給出接觸力，又稱為罰函數(shù)法。接觸約束方法將接觸作用視為接觸約束，接觸約束方程與帶Lagrange乘子的動力學方程形成封閉的方程組，該方法又稱附加約束法。

2.1 罰函數(shù)方法

罰函數(shù)方法把碰撞力作為力元處理，檢測到接觸發(fā)生時，在接觸域內(nèi)的各接觸對間添加相應的接觸力元，直至分離。當碰撞發(fā)生時，從物體上的點i將嵌入主物體表面si，嵌入量δi=-gNi。罰函數(shù)法中給出嵌入與碰撞力的關系，從而通過嵌入量直接計算出碰撞力。罰函數(shù)法將接觸作用視為彈簧力元，接觸力大小表達為

Fi=kδi

(3)

式中:k為彈簧剛度，由主物體上si所在單元的體積模量Ki、單元體積Vi、接觸面面積Ai計算得到

(4)

式中:fs稱為罰因子，用于調(diào)節(jié)接觸剛度。

有限元中，接觸力需要分布到單元相關節(jié)點上。對于從物體接觸點i，節(jié)點力為Fi=kδini，對于主物體接觸單元表面，由節(jié)點j(j=1,2,3,4)組成，接觸作用的等效節(jié)點力表示為

(5)

式中:ξi′,ηi′是i′在表面si的局部坐標,Nj為插值函數(shù)，表示為

(6)

接觸對i-si的接觸力可以寫為

(7)

從而在碰撞期間，系統(tǒng)的動力學方程為

(8)

式中:M為質量陣;u為位移矢量陣;Fint和Fext分別為內(nèi)力陣和外力陣;Fc為所有接觸點對的接觸力的組集。

罰函數(shù)方法的優(yōu)點在于不需要求解約束方程，且動力學方程的維數(shù)固定，不隨接觸狀態(tài)改變。其不足之處在于，需要人為選取合適的罰因子，且沒有統(tǒng)一的選取準則，需要根據(jù)經(jīng)驗多次試算才能獲得可靠結果。

2.2 附加約束方法

附加約束方法中，檢測到接觸發(fā)生時，根據(jù)互不穿透的約束條件，施加相應的約束方程。接觸約束方程與帶Lagrange乘子的動力學方程聯(lián)立求解運動學變量和接觸力。當從物體節(jié)點i接觸到主物體表面si時，位置形式的約束方程可以寫為

Φi(u)=ni·gi=0

(9)

把式(1)和式(6)代入式(9)中，得到：

(10)

當更多的節(jié)點進入接觸時，所有的接觸約束方程可以組集為

(11)

式中:m為接觸點對數(shù)。那么系統(tǒng)的動力學方程可寫為

(12)

式中:Φu是接觸約束矩陣的雅可比矩陣;λ是相應的Lagrange乘子。

為了求解式(11)，對其二階求到后，得到加速度形式的約束方程

(13)

(14)

不同于罰函數(shù)方法，附加約束方法的優(yōu)點在于不需要人為選取剛度等參數(shù)，并且互不嵌入的約束條件是嚴格滿足的。但是附加約束法中的約束方程增加了方程維數(shù)，并且隨接觸狀態(tài)改變，另外微分-代數(shù)方程的數(shù)值求解也更加困難。

3 算 例

如圖2所示，為一柔性球頭圓柱桿撞擊兩端固支方形截面橫梁的三維有限元模型。分別使用罰函數(shù)方法和附加約束方法對該碰撞過程進行數(shù)值仿真。碰撞物體的幾何和材料參數(shù)列于表1中。

圖2 桿-梁撞擊的三維有限元模型Fig.2 FE model of the rod-beam impact case

表1 幾何與材料參數(shù)Tab.1 Geometrical and material parameters

3.1 罰因子的影響

罰函數(shù)方法中，罰因子的選取決定了接觸剛度的大小。為了研究罰因子的取值對碰撞結果的影響，分別對不同的罰因子進行仿真。不同罰因子下的碰撞力隨時間的歷程如圖3所示。當罰因子取值為0.01時，由于過小的接觸剛度導致碰撞時間明顯過長，并且碰撞力的峰值偏小。隨著罰因子值的增加，碰撞力和碰撞力時間逐漸收斂。罰因子取值0.5和1時，結果已經(jīng)幾乎一致，此時的罰因子是合適的，當繼續(xù)增大罰因子時，有可能因為過大的接觸剛度發(fā)生數(shù)值不穩(wěn)定。另外可以看到，當罰因子取值為0.01和0.1時，整個過程中碰撞力沒有過零，表示整個過程中接觸物體沒有分離；而當罰因子取值為0.5和1時，則可以看到碰撞力有多次過零。可以看到罰因子的選取不僅影響碰撞力峰值及碰撞持續(xù)時間，還影響碰撞過程的碰撞次數(shù)。因此，罰函數(shù)方法必須通過試算獲得合適的罰因子。

圖3 不同罰因子的碰撞力結果Fig.3 Contact force with different penalty factors

3.2 網(wǎng)格尺寸的影響

在使用有限元方法的接觸碰撞問題中，空間離散的網(wǎng)格尺寸對于仿真結果有很大的影響。在遠離碰撞局部的區(qū)域，網(wǎng)格尺寸應該能夠保證彈性波的傳播特征；在碰撞局部區(qū)域，則應使用更細密的網(wǎng)格來反映局部高應力的分布以及接觸域隨時間的演化歷程。本節(jié)將研究碰撞局部的網(wǎng)格尺寸對罰函數(shù)法和附加約束法的影響。

對于罰函數(shù)方法，如圖2所示，對碰撞局部區(qū)域用4種不同尺寸網(wǎng)格離散，而對于每一種網(wǎng)格，類似于3.1中的步驟，均需要重新選取合適的罰因子，同時網(wǎng)格尺寸越小，積分的步長也越小。網(wǎng)格尺寸信息及每種網(wǎng)格下的罰因子及時間步長信息均列于表2中。在每種網(wǎng)格下罰函數(shù)法計算得到的碰撞力曲線如圖4所示，可以看出，罰函數(shù)法的結果非常依賴于碰撞局部的網(wǎng)格尺寸，隨著網(wǎng)格變細，其結果逐步收斂于“精確解”。而對于附加約束方法，我們計算其在網(wǎng)格1下的結果，同樣作于圖4中，將它與罰函數(shù)方法在4種網(wǎng)格下的結果進行比較。我們發(fā)現(xiàn)附加約束法在網(wǎng)格1下的結果已經(jīng)與罰函數(shù)法在網(wǎng)格4下的“精確解”吻合。因此，可以認為罰函數(shù)法的結果精度更依賴于網(wǎng)格尺寸。由于罰函數(shù)法比附加約束法需要更細密的網(wǎng)格，因此在數(shù)值仿真中，罰函數(shù)法帶來更龐大的自由度并且需要更多的積分步數(shù)。兩者在計算耗時上的對比如表3所示，附加約束法在計算效率上有一定優(yōu)勢。總結來說，罰函數(shù)方法非常依賴于接觸局部的網(wǎng)格尺寸，只有當網(wǎng)格尺寸充分小時，才能預測出正確的多次微碰撞過程，包括碰撞力峰值、碰撞時間和碰撞次數(shù)。而附加約束方法在較粗的網(wǎng)格下已經(jīng)能獲得比較理想的結果。

表2 罰函數(shù)法的參數(shù)Tab.2 Parameters of penalty method

(a)

(b)

(c)

(d)圖4 網(wǎng)格尺寸對仿真精度的影響Fig.4 Influence of mesh size on simulation accuracy

上述過程得到了碰撞力歷程的數(shù)值收斂解，圖4(d)顯示出碰撞過程中碰撞力有多次過零。為了更直觀地展示碰撞過程中接觸點對的“接觸-分離-再接觸”現(xiàn)象，將桿上圓頭的中心撞擊點和梁上相應的被撞擊點的位置關系作于圖5中。可以看出由于彈性振動與碰撞的相互作用，使得桿和梁上的接觸點對發(fā)生了多次分離。另外聯(lián)系圖4(d)看出，接觸點對發(fā)生分離的時刻與碰撞力過零的時刻是一一對應的，說明該例中桿與梁的一次宏觀碰撞的確產(chǎn)生了多次微碰撞過程。

表3 罰函數(shù)法與附加約束法的計算規(guī)模比較Tab.3 Computation scale of the two contact methods

圖5 碰撞過程中接觸點對的位置Fig.5 The position of contact pair during the impact process

4 結 論

柔性體間的多次微碰撞行為會激發(fā)柔性體的高頻振動，往往會對結構造成各種形式的損害。傳統(tǒng)的方法多利用應力波理論求解簡單結構的多次微碰撞問題，為了能正確預測任意形狀柔性體間的多次微碰撞過程，本文基于有限元三維實體模型，分別用罰函數(shù)法和附加約束法對桿-梁碰撞問題進行仿真。對于罰函數(shù)方法，要對多次微碰撞過程中的碰撞力峰值、碰撞時間及碰撞次數(shù)進行準確預測，不僅需要選擇合適的罰因子，還需要細密的網(wǎng)格單元支撐。對于附加約束方法，不需要人為選取剛度參數(shù)，并且即使在較粗糙的網(wǎng)格也能獲得可靠的結果。因此在對多次微碰撞問題的動力學仿真中附加約束方法有一定優(yōu)勢。數(shù)值仿真得到的收斂結果表明，由于彈性振動與碰撞的相互作用，一次宏觀碰撞中的確出現(xiàn)了多次“接觸-分離-再接觸”的微碰撞過程。

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