認識分數的有序性教學設計

張廣成

人教版小學數學把“分數的認識”分布在三年級、五年級、六年級不同的階段，這說明分數的學習對小學生而言，是關于數的認識的一次有序擴展過程。所以，認識分數也是一個需要從時間和訓練兩個方面有序深化的過程。

一、小學生在《分數的初步認識》學習中存在的困難

三年級學生認識分數的困難體現在兩個方面：從意義上說，表示部分與整體的分率關系容易理解，表示比較量與標準量在比較中的倍比關系比較難理解。如：

（1）興趣小組12名學生，其中有4名女生，女生占總人數的幾分之幾？

（2）興趣小組中有女生4名，男生8名，女生是男生的幾分之幾？

這兩道題中：（1）題易于理解，（2）題不容易理解。

從部分量與對應分率的數量上看，分率與對應的部分量在數量上是同一個分數的問題比較好理解，分率與部分量在數量上不是同一個分數的問題就比較難理解。在難理解的問題中，等分后的每份數是整數比等分后的每份數是分數要容易理解。

比如 ：（1）1塊蛋糕的是塊。

（2）8塊蛋糕的是2塊。

（3） 3塊蛋糕的是塊。

（1）題和（2）題，學生比較好理解，即使有困難，但借助幾何直觀或開展實踐操作活動也好理解。（3）題即使借助幾何直觀也不好理解，比如一塊蛋糕的等于3塊蛋糕的，有的同學通過具體操作或者教師的課件演示看似能理解這道題，但一旦數字稍稍復雜一些或者脫離實際操作要靠思維來解決，就又難理解了。比如：9塊蛋糕的是塊，要按照以前的教法理解成1塊蛋糕的，塊從意義角度就超出了小學生理解的部分比整體小的部分與整體關系范疇，而從倍比角度理解又不恰當，所以最佳理解角度就是從假分數的意義角度來理解，但假分數在五年級分數階段只是要求學生從分子分母大小角度進行簡單了解，并沒有從單位1的幾分之幾角度去教學。所以說，1塊蛋糕的是塊，本身就是新知識，把9塊蛋糕的是塊轉化成1塊蛋糕的是塊，屬于新知識轉化成新知識，不可取。那只有限定在9÷4=這個分數與除法的關系范圍內進行理解，這樣的結果學生只是從形式上知道了塊的結果，從意義上并沒有形成塊的表象，這就直接導致學生對于被除數大于除數，商是假分數或帶分數的情況，普遍是明算理，而不清楚數量上的大小。這對于分數作為“數的一次擴展”的目標實現形成了障礙。

二、關于分數的初步認識的有序性內容編排

人教版三年級上冊的分數學習內容，包括分數的初步認識、簡單分數大小的比較、簡單分數加減法的運算和分數的簡單應用等，都是借助幾何直觀或者具體情境展開學習。

如針對分數的簡單應用設計了一個活動，先說出上圖中黃色占一個大正方形的幾分之幾，然后將這個大正方形剪成4個小正方形，再說出黃色占這4個小正方形的幾分之幾，巧妙地實現用一個整體表示一個物體，到一個整體表示多個物體的過渡，幫助學生突破思維的難點。接下來設計了用圓片表示學生，用三角形也能表示學生兩個環節，為下一步用一個大長方形或者用線段圖表示部分與整體的關系做好了鋪墊。教材內容在編排上就滲透了語言—圖示—線段圖—算式等表征的有序轉化思維訓練。

從分數簡單應用的情境實例看，三年級教材在編排“分數的初步認識”中，一是以部分與整體的分率關系情境為主，而把研究比較量與標準量的倍比關系情境放在五年級學習；在分數簡單應用的情境數量選擇上，主要是選擇平均分“單位1”后每份數能得到整數的數量（能整除的數量）。從五年級上冊教學“分數與除法的關系”時，才開始呈現“單位1”數量平均分后每份數是分數的情況（不能整除的數量），進行“倍”與“率”的轉化。在六年級上冊學習了“比”后，又進行分數與比的轉化，也就是“倍”與“比”的轉化。這都體現了教材編排上難易程度的有序性。

三、“分數的簡單應用”的有序性教學設計

1.教材練習題的教學設計要體現從形象思維向抽象思維的有序性過渡的編寫意圖。

“分數的簡單應用”部分的練習題編排，基本上都是求“單位1”的幾分之幾是多少，和求部分占整體的幾分之幾這兩類順向思維練習。還沒有出現已知部分和部分對應的分率，求“單位1”是多少的逆向思維練習。所以，“分數的簡單應用”的練習主要是用分物表象建立的形象思維過程和使用數學語言描述表象的抽象思維過程的練習，先從分一分、涂一涂、折一折等操作活動呈現分物情境到用數學語言描述分物過程，再到通過理解數學語言而形成分物情境中的數量與分數的對應關系，找到解答問題的辦法，并寫出解答過程。根據分數簡單應用的練習編排，教師應設計好以下教學小目標。

練習題1設計目標：教材提供了情境分物的規范的語言范例，呈現了分數認識序列的序列前項，為后面用語言描述提供了模本。

練習題2設計目標：從多個物體中涂出指定的分數，檢驗學生對單位1是多個物體進行分物的理解程度。進而通過涂一涂的動手實踐，在頭腦中建立分率與部分量對應的表象。最后說出沒有涂色的占單位1的幾分之幾。

練習題3設計目標：首先觀察分物的情境，理解事理，達成分物事理與情境表象的對應，再用分數表示情境，用練習1提供的規范的數學語言描述出分物的過程，其中，第二幅和第三幅圖還分別可以用哪些不同的分數來表示？為什么？最后再拓展延伸到不涂顏色部分所表示的分數。

練習4的設計目標有三個：

（1）理解圖文意思，根據要求進行分物，呈現分數對應的分物情境。

（2）能用數學語言簡潔完整地描述分物的過程。

（3）能用合適的方法算出一個數的幾分之幾是多少。

（4）能解答剩余的部分量，并初步感知圈出部分與剩余部分之間的關系。

這幾道練習題的設計目標：通過閱讀理解文字題或者圖文結合的問題情境，首先在頭腦中呈現分數與分物情境對應，教材為降低難度，情境都是學生生活中常見的事物，如小棒，兔子，書籍，魚等，對學生訓練的重點放在部分量與分率的對應上，從而找到等分后的份數關系，最后用數學方法算出要解決的數量。

2.設計相似題對比環節，有序地訓練學生溝通知識的能力。

練習題中，6題和8題基本的數量關系原型都是求15的是多少，但兩道題不同情境中的事理敘述方式不同，6題敘述為“其中是多少”，8題敘述為“吃了這盤魚的”，兩種敘述方式有必要進行溝通理解，即都說成統一的數量關系15的是多少。也有必要把一個情景事理用兩種方式進行敘述，訓練學生靈活使用語言的能力。如：老貓吃了這盤魚的，也可以說成其中的被老貓吃了。

有序訓練設計：

用投影同時給出兩道題，讓學生對比觀察。

要求：

（1）先審題，再解答各題。

（2）找到兩題在數學上的主要共同點和不同點。

（3）每一道題分別用兩種敘述方式呈現。

（4）根據這兩道題的已知條件，分別還能提出什么問題？

3.設計一題多練，培養學生有序的舉一反三的能力。

（1）先按照要求解答。

（2）用規范的數學語言敘述情境，并解答如下問題：

5個笑臉的五分之三是多少？5÷5×3

10個笑臉的五分之三是多少？10÷5×3

15個笑臉的五分之三是多少？15÷5×3

（3）觀察這組題，你還能說出求（ ）的五分之三是多少？并解答。你能說出多少個數，這些數都有怎樣的特點？

（4）這些數，數量不同，結果不同，但計算的方法為什么都相同？

（5）除了說5個笑臉，我們還可選擇不同的對象，例如求5只兔子的是多少，求10棵樹的是多少。

同學們，我們想一想，還能求（ ）的五分之三是多少？

通過這樣一組練習設計，有序引導學生經歷知識的形成過程，積累數學思維活動經驗。

分數概念的內涵非常豐富，有度量、比率、商等多個角度，這樣多角度理解顯然不是一次或幾次教學設計就能完成的。教師要針對概念的內涵有序設計教學內容及過程，幫助學生從多角度理解分數，在內涵和外延上多次建構，有序深化，不斷豐富和完善學生對分數的理解。