平面向量最值問題的破解策略

☉濰坊（上海）新紀元學校 高繼勇 王興亮

平面向量的最值問題是高考平面向量中比較常見的考查形式之一，往往涉及向量的模、向量的夾角、向量的數量積、參數值等相關最值的求解.此類問題往往難度較大，切入點較多，如何正確破解，下面結合高考真題就常見的破解策略加以分析.

一、函數法

例1（2017年全國Ⅱ卷理12）已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內一點，則·（+）的最小值是（ ）.

分析：通過巧妙構造直角坐標系，確定點A、B、C的坐標，設出點P的坐標，通過平面向量的坐標表示與數量積公式得到有關參數x、y的二次關系式，通過配方，結合函數法確定最值即可.

解：以BC所在直線為x軸，BC的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系，如圖1，則B（-1，0），C（1，0），A（0，）.

圖1

故選擇答案：B.

點評：在解決平面向量的數量積問題中，通過巧妙構造平面直角坐標系，利用坐標法來求解相應的向量的數量積問題，轉化為相應的函數問題，結合函數的圖像與性質來確定相應的最值問題，這也是高考中解決此類問題比較常見的一類技巧方法.

二、三角法

例2（2017年全國Ⅲ卷理12）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上.若=λ+μ，則λ+μ的最大值為（ ）.

分析：通過建立平面直角坐標系，把矩形放在平面直角坐標系中，設出點P的坐標，根據平面向量的線性關系式得到λ、μ的參數關系式，通過三角變換，利用三角法來解決參數式的最值問題.

解：如圖2，建立平面直角坐

標系，設A（0，1），B（0，0），C（2，0），D（2，1），設點P（x，y），根據等面r，解得圓C的半徑r=，即圓C的方程是（x-2）2+y2=

圖2

所以λ+μ的最大值為3.

故選擇答案：A.

點評：在解答高考平面向量問題時，經常借助三角換元，把題中的相關向量問題轉化為三角問題，選擇一些合適的三角函數（或三角函數式）去代換關系式中的變數，由自變量的范圍限制角的范圍，利用三角函數中的相關知識，將所求問題化歸為三角問題，用三角法來解決向量的相關問題，是實現解題目標的一種非常有效的轉化策略.

三、圖像法

例3 （2017年北京卷文12）已知點P在圓x2+y2=1上，點A的坐標為（-2，0），O為原點，則A →O·A →P的最大值為______.

分析：本題以單位圓為載體，建立相應的平面直角坐標系，利用圖像并結合平面向量的數量積的幾何意義，結合相應的圖像中的向量來確定最值問題.

解：利用數量積的幾何意義，如圖3，點P是單位圓上的動點，當A，O，P三點共線時，AP的長度最大，且A →O與A →P同方向時，易得最大值為2×（2+1）=6，故填答案：6.

點評：通過平面向量的數量積的幾何意義，結合平面向量具有“形”的特征，加以數形結合，通過直觀圖像的分析與觀察來確定相應向量間的關系，進而確定最值.解決問題比較直觀有效，操作起來也比較簡單可行.

圖3

四、不等式法

例4 （2017年浙江卷15）已知向量a，b滿足|a|=1，|b|=2，則|a+b|+|a-b|的最小值是______，最大值是______.

分析：結合平面向量的數量積公式，以及基本不等式來轉化向量關系式|a+b|+|a-b|，進而確定最小值與最大值問題，達到解決問題的目的.

解：由于（|a+b|+|a-b|）2=（a+b）2+（a-b）2+2|a+b|·|a-b|=2a2+2b2+2|a+b|·|a-b|=10+2|a+b|·|a-b|≥10+2|（a+b）·（a-b）|=10+2|a2-b2|=16，則有|a+b|+|a-b|≥4（當且僅當a+b和a-b方向相反，即a∥b時等號成立）.

點評：平面向量本身具有“數”與“形”的特征，可以結合條件建立相應的關系式、不等式，結合基本不等式來處理相應的問題.其實，本題還可以通過構造幾何圖形，把問題放在特殊的幾何圖形中加以直觀分析與判斷，利用圖像法解答更直觀，更簡捷，更可行，便于判斷與操作.

在解答高考平面向量最值問題時，關鍵是結合題目條件，從題意入手，從平面向量的本質出發，選取函數法、三角法、圖像法、不等式法等行之有效的基本方法來參與解決，進而達到解決相關最值問題的目的，提升能力，拓展思維.F