對(duì)數(shù)的基本不等式與應(yīng)用*

☉四川省內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 李雪蓮 趙思林

顯然，不等式lnx≤x-1（x＞0）（*）等價(jià)于不等式ln（1+x）≤x（x＞-1）（**）.

本文定義：（*）和（**）均可稱為對(duì)數(shù)的基本不等式［1］.

這兩個(gè)對(duì)數(shù)的基本不等式有廣泛的應(yīng)用.它們是近年來一些高考數(shù)學(xué)壓軸題命制的常用背景.

ln（1+x）≤x（x＞-1）的高等數(shù)學(xué)背景之一是ln（1+x）泰勒公式，即：

另外，由ex=1+x++！+…++…可得：當(dāng)x≥0時(shí)，ex≥1+x，從而也能得到x≥ln（1+x），即ln（1+x）≤x.

例1（2017年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷Ⅲ理科21題）已知函數(shù)（fx）=x-1-alnx.

（1）若f（x）≥0，求a的值；

分析：（1）易證：a≤0不合題意.事實(shí)上，當(dāng)a≤0時(shí)，取0＜x＜1，則x-1＜0，且-alnx≤0.從而，f（x）=x-1-alnx＜0，這不合題意.故必有a＞0.

將“alnx≤x-1（x＞0）”與“l(fā)nx≤x-1（x＞0）”相比較，即可猜測(cè)a=1.

在alnx≤x-1（x＞0）中，令x=et，則有at≤et-1.

故必有a=1.

（2）利用（**），得：

例2（2017年全國(guó)卷Ⅲ文科21題）已知函數(shù)（fx）=lnx+ax2+（2a+1）x.

（1）討論（fx）的單調(diào)性；

（2）當(dāng)a＜0時(shí)，證明（fx）≤--2.

分析：（1）過程從略.

當(dāng)a≥0時(shí)，（fx）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；

當(dāng)a＜0時(shí)，（fx）在 （0， -）上單調(diào)遞增，在 （-，+∞ ） 上單調(diào)遞減.

（2）由（1）知，當(dāng)a＜0時(shí)，（fx）在x=-處取得最大值，且最大值為f（-）.

由（*）式，得：

例3（2017年全國(guó)卷Ⅰ理科21題）已知函數(shù)（fx）=ae2x+（a-2）ex-x.

（1）討論（fx）的單調(diào)性；

（2）若（fx）有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

分析：（1）過程從略.

當(dāng)a≤0時(shí)，（fx）在R上單調(diào)遞減；

當(dāng)a＞0時(shí)，（fx）在（-∞，-lna）上單調(diào)遞減，在（-lna，+∞）上單調(diào)遞增.

（2）若a≤0，（fx）在R上單調(diào)遞減，至多只有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意，舍去；

若a＞0，當(dāng)x→+∞時(shí)，（fx）→+∞；x→-∞時(shí)，（fx）→+∞.

要使（fx）有兩個(gè)零點(diǎn)，只要（fx）min= （f-lna）＜0，即a·

由（*）式知，lna≤a-1（a＞0）.所以lna的上界函數(shù)是a-1（a＞0）.

因此，欲使①式恒成立，只需令a-1＜-1，即a＜，解得0＜a＜1.

故a的取值范圍是（0，1）.

例4（2015年全國(guó)Ⅱ卷文科21題）已知函數(shù)（fx）=lnx+a（1-x）.

（1）討論（fx）的單調(diào)性；

（2）當(dāng)（fx）有最大值，且最大值大于2a-2時(shí)，求a的取值范圍.

分析：（1）過程從略.

當(dāng)a≤0時(shí)，（fx）在（0，+∞）上單調(diào)遞增.

當(dāng)a＞0時(shí)，（fx）在（0，）上單調(diào)遞增，在 （， +∞）上單調(diào)遞減.

（2）由（1）知，當(dāng)a≤0時(shí)，（fx）在（0，+∞）上無最大值；當(dāng)a＞0時(shí)，（fx）在x=處取得最大值，最大值為f（）=ln+a（ 1-）=-lna+a-1.

由（*）式知，lna≤a-1（a＞0）.所以lna的上界函數(shù)是a-1（a＞0）.

因此，欲使①式恒成立，只需令a-1＜-a+1（a＞0），解得0＜a＜1.

故a的取值范圍是（0，1）.

例5（2007年四川卷理科22題改編）設(shè)函數(shù)f（x）=

（1）對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，證明是f（x）的導(dǎo)函數(shù)）.

（2）是否存在a∈N，使得an＜成立？若存在，試證明你的結(jié)論并求出a的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

故（f2x）+（f2）＞2f（′x），原不等式成立.

點(diǎn)評(píng)：本題當(dāng)年給的“標(biāo)準(zhǔn)答案”非常冗長(zhǎng)，此題用（**）式解答顯得十分簡(jiǎn)潔.這說明，本文所給對(duì)數(shù)的基本不等式的確是處理有關(guān)問題的一個(gè)工具，值得關(guān)注.

1.趙思林.初等代數(shù)研究［M］.北京：科學(xué)出版社，2017.

2.李秀萍，趙思林.2016年高考數(shù)學(xué)四川卷理科21題的思路發(fā)現(xiàn)［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊（下旬），2017（6）.F