淺議知識的源頭與上游的教學意義

☉青海省西寧市第二中學 趙小衛(wèi)

源頭之下有無限的可能，具有強大生命力的源頭才能不停泛起思想的漣漪，推演出無盡的變化，更能有效激發(fā)出具有開拓性的創(chuàng)造力，事實上在知識與問題之間尤其不能只徘徊于知識的下游，或僅在知識的末端就耗盡我們的一切，正如墨子所言“原濁者，流不清”，為此關注數(shù)學知識及方法的上游和源頭才能找到數(shù)學思想的根基，喚起人們最原始的求知欲和創(chuàng)造力.源頭在于開創(chuàng)，知識的上游決定著知識體系的設計和應用方法的形成，倘若只局限于知識的下游最多也只能解決在相關知識體系下的個別問題，而難以找到全新的視角和開創(chuàng)性的舉措.

從求知到求解如果沒有“源文化和源思想”我們很多時候就只能無助的困在原地.從源頭或者上游進行審視，必能清醒我們的頭腦，引導推理的路徑，合理我們的選擇，提高求解時的效率.以下借助幾個問題推本溯源，從相關知識的上游對這些問題做一個審視.

一、重溫Ceva定理

為證三角形中的三線共點，人們可謂是用盡了辦法，從不同的角度用不同的方法來予以詮釋和證明，目前除了一些平面幾何的方法，還有向量法以及用杠桿原理作為工具的物理方法等.拋開各種技巧如果按照從源頭順流而下的方式思考，這就需要先重溫一下Ceva定理：

Ceva定理 設D、E、F分別為三角形ABC的邊BC、CA、AB上的點，且=γ，則直線AD，BE，CF共點的充要條件是λμγ=1.

這是一個三角形中有關三線共點的定理，如果置Ceva定理在知識的上游，那么自Ceva定理順流而下，向下審視我們就會看到三角形的內(nèi)心、外心、重心、垂心、旁心，還有葛耳剛納點等一些貌似互不相干的問題，推本溯源其實都是Ceva定理下的幾個特殊情況，如圖1.相反如果孤立起來看將永遠看不到三角形這些特征的統(tǒng)一性.

圖1

二、問題在課堂引發(fā)的沖突與思考

題1 如圖2所示，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像經(jīng)過點（-1，2），且與x軸交點的橫坐標分別為x1，x2，其中-2＜x1＜-1，0＜x2＜1，則函數(shù)關系式中a的取值范圍是什么？

課堂實錄：這一問題在學生的練習中出現(xiàn)了以下兩種不同的算法和結果：

學生1：由圖2可知，a+b+c＜0； ①

a-b+c=2； ②

圖2

其中，從③得b＞2a，a＜.

由②得c=b-a+2. ④

實錄：當這一解法呈現(xiàn)出來的時候，幾乎所有的人都認為這已經(jīng)是確信無疑的了，一位平時很有主見而且數(shù)學成績較優(yōu)異的同學，在默默思考后又給出了如下的另外一種解法：

學生2：由題意知，a-b+c=2； ①

a+b+c＜0； ②

4a-2b+c＜0. ③

由①得b=a+c-2. ④

將④代入②，得a+a+c-2+c＜0，2a+2c＜2，a+c＜1， ⑤

將④代入③，得4a-2（a+c-2）+c＜0，4a-2a-2c+4+c＜0，2a-c＜-4. ⑥

⑤＋⑥，得3a＜-3.

因此a＜-1.

實錄：這位同學無疑給平靜的湖面投下了一枚不小的石子，頓時疑惑和不解自此開始回蕩在學生中間……

回顧一下，兩個結論相比很明顯 {a∈R|a＜-1}?

，說明其中的一個要么冗余，要么漏解，

這讓大家如何取舍呢？面對突如其來的情況，大家做出的第一反應是重新檢查兩位同學的解題過程，可并沒有找到非常明顯的破綻，那就只好利用特例來進行檢驗，在檢驗中大家慢慢開始對方法1逐漸產(chǎn)生了懷疑，細究起來方法2應該比方法1的精確度更好一些，方法1的偏差主要是由“二次放大”造成的.如果對于這一點課前毫無意識，恐怕一堂課會留下無以彌補的質疑和迷茫.

三、對二次函數(shù)取最值的多重理解

（1）二次函數(shù)y=a（x-x1）（x-x2）表示和x軸有兩個交點并且交點坐標分別是（x1，0）和（x2，0）的這樣一條拋物線，我們還可以將其變形成y=-a（x-x1）（x2-x），當x1＜x＜x2時，由基本不等式mn≤ （）2所講“和定積最大”可得，

當x-x1=x2-x，即x=時，如果a＜0，則y取最大值；如果a＞0，則y取最小值.

（2）以上從幾何角度來看，當x1＜x＜x2時，x-x1和x2-x可以作為一個矩形的兩條邊，按照“邊數(shù)及周長給定的多邊形，以正多邊形面積最大”這一定理，當x-x1=x2-x，即x=時，矩形的長和寬兩邊相等，矩形成為正方形時，面積（x-x1）（x2-x）取最大值，此時，如果a＜0，則y取最大值；如果a＞0，則y取最小值.

當然，即便拋物線與x軸沒有公共點，我們依然可以通過坐標系的平移變換，用同樣的方法對二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）取得最值的條件和最值的大小予以討論.

（3）令f（x）=ax2+bx+c（a≠0），由f′（x）=0，得x=-判別導數(shù)兩側的符號，列表如下：

a的符號 -∞，-b 2a（ ）-b 2a -b 2a，+∞（ ）f′（x）-0+a＞0f（x）↘取極小值4ac-b2 4a↗f′（x）+0-a＜0f（x）↗取極大值4ac-b2 4a↘

以上站在源自不同方向知識的上游，從不同的角度對同一問題進行相互印證，這既可以體現(xiàn)出數(shù)學思想方法的科學性，又能反映出數(shù)學知識的內(nèi)在關系，如果沒有來自知識上游的文化審視，就不能形成從不同視角可以聚焦在一起的知識體系.

四、可叩問反函數(shù)以尋求答案的一個問題

我們知道函數(shù)y=（fx）的圖像和它的反函數(shù)y=f-（1x）的圖像關于直線y=x對稱.而反比例函數(shù)y=的圖像本身就關于直線y=x對稱，這說明反比例函數(shù)y=其反函數(shù)上的點仍就在y=的圖像上.并且相互對稱兩點的橫縱坐標順序相反.

題2（2015年成都卷）已知：一次函數(shù)y=-x+4的圖像與反比例y=（k為常數(shù)，且k≠0）的圖像交于A（1，a），B兩點.

（1）求反比例函數(shù)的表達式及點B的坐標；

（2）略

分析：由題意，a=-1+4=3，所以A（1，3），k=1×3=3.

所以所求反比例函數(shù)解析式為y=.

又雙曲線y=關于直線y=x對稱，直線y=-x+4垂直于直線y=x，所以點A和點B關于直線y=x對稱，從而由互為反函數(shù)的圖像關系可知A、B兩點的橫縱坐標次序相反，因此所求B點坐標為（3，1）.

五、來自定比分點的觀點

題3 如圖3，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2-2ax-3a（a＜0）與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），經(jīng)過點A的直線

l：y=kx+b與y軸負半軸交于點C，與拋物線的另一個交點為D，且CD=4AC.

（1）直接寫出點A的坐標，并求直線l的函數(shù)表達式（其中k、b用含a的式子表示）；

（2）、（3）略.

圖3

分析：設P1、P2是直線l上兩點，點P是l上不同于P1、P2的任意一點，則存在一個實數(shù)λ，使=λ，λ叫做P分有向線段所成的比.進一步，如果有P（x，y）、111P2（x2，y2）、P（x，y），那么

根據(jù)題意，A（-1，0），C（0，b）按定比分點坐標關系式易得D點的橫坐標x可滿足=0（其中λ=4），解得x=4，從而D（4，5a）.然后再通過待定系數(shù)法得直線l的解析式為y=ax+a.經(jīng)類比，過點D向x軸引一條垂線，再根據(jù)平行線分線段成比例定理就可以用平面幾何的方法計算出D點的橫坐標了.

六、小結

對于問題，它只是一個問題的終結，還是一系列問題的開始；對于方法，它能否是一個可以得到廣泛應用的方法，還是一個完全被禁錮僅此而已的做法.我們對問題的把握是否存在曲解數(shù)學的情況，還是根本就沒能抓住數(shù)學的靈魂，問題若不能產(chǎn)生出足夠的思想和智慧就會失去真正的數(shù)學價值.

尋求文化自信就必須突出對思想與知識源頭的思索，哪些內(nèi)容和方法屬于同根同源，有助于把分散的知識面收縮成知識點.看到不同內(nèi)容的“血緣”關系，源頭既是知識的根又是孕育思想的魂，正如唐朝的重臣魏征所言：臣聞求木之長者，必固其根本；欲流之遠者，必浚其泉源；思國之安者，必積其德又.源不深而望流之遠，根不固而求木之長，德不厚而思國之安，臣雖下愚，知其不可.F