一組有趣的組合公式

☉山東建筑大學(xué)管理工程學(xué)院 田 心

設(shè)p是任意正整數(shù)，數(shù)列的通項(xiàng)公式ak=（-1）kkp，k=0，1，2，…，n.在求這個數(shù)列之和時，發(fā)現(xiàn)n和p有著密切的關(guān)系.當(dāng)n＞p時比較好求，當(dāng)n=p時感到困難，當(dāng)n＜p時就更難求了.關(guān)鍵問題是如何處理kp的問題.為了解決這個問題，我們推導(dǎo)出三個公式.這三個公式的證明順序是：先證明公式1，利用公式1證明公式2，最后利用公式1和公式2證明公式3.證明這三個公式都要用數(shù)學(xué)歸納法，在證明過程中都要用到二項(xiàng)式定理，由于證明方法類似，我們將公式1和公式2寫出，只證明公式3.

一、三個組合公式

公式1：設(shè)p是任意正整數(shù)，當(dāng)n＞p時

公式2：設(shè)p是任意正整數(shù)，當(dāng)n=p時（-1）pp！.

公式3：設(shè)p是任意正整數(shù)（p-1）p！.

我們證明公式3.

證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明.

假設(shè)p=m-1，p=m時等式成立，再證當(dāng)p=m+1時等式也成立.

事實(shí)上，由歸納假設(shè)，注意利用公式1和公式2及二項(xiàng)式定理得：

二、三個組合公式的推廣及應(yīng)用

顯然，由公式2得到：

證明：由公式3和公式2得：

由公式1，利用二項(xiàng)式定理得：

公式6：對任意的正整數(shù)p和自然數(shù)m，當(dāng)n＞p時，均

由公式1、公式2和二項(xiàng)式定理得：

公式7：對任意的正整數(shù)p和自然數(shù)m，均有（k+m）p=（-1）pp！.

公式6和公式7的證明方法和公式8的證明完全類似，我們就省略了.下面我們利用公式1、公式2、公式3和二項(xiàng)式定理證明公式8.

證明：由二項(xiàng)式定理和公式1、公式2、公式3得：

下面舉三個例子來看一下這些公式的應(yīng)用.

例1試求數(shù)列ak=（-1）（kk+1）100Ck10（1k=0，1，2，…，101） 的前102項(xiàng)之和與數(shù)列bk=（-1）k（k+16）100Ck102（k=0，1，2，…，102）的前103項(xiàng)之和.

解析：由公式6得：

例3試求數(shù)列ak=（-1）（kk+1）100（k=0，1，2，…，99） 的前100項(xiàng)之和與數(shù)列bk=（-1）k（k+16）100Ck99（k=0，1，2，…，99）的前100項(xiàng)之和.

解析：由公式8得：

本文的工作還可以繼續(xù)做下去.比如求，望有興趣的讀者努力.F