“概率論與數理統計”課程教學改革新探索

劉柏森

(東北財經大學統計學院，遼寧大連 116025)

“概率論與數理統計”是高等理工、財經院校各專業的核心基礎課之一，為許多后繼課程提供了必要的數學工具。與微積分、線性代數等確定性數學科目不同，“概率論與數理統計”是一種處理隨機現象的數學工具，是一門頗具綜合性與實用性的數學課程：一方面綜合運用微積分、線性代數等多門類數學知識，另一方面又與經濟、管理、金融、保險、信息論等實踐學科緊密相連。但學生在初學時對隨機數學思維往往難以適應，普遍反映較難，不易入門。法國數學家Laplace有一句名言：“生活中最重要的問題，絕大部分其實只是概率問題”。“概率論與數理統計”課程教學的成敗制約著一系列相關專業知識的學習效果，對大學整體教育水平具有關鍵的意義。

1 “概率論與數理統計”課程教學改革的具體內容和方法

在信息化時代，要想提高“概率論與數理統計”(下稱概率統計)課程的教學效果，必須努力做好如下四個“結合”。

1.1 與統計軟件、仿真模擬相結合

隨著數學軟件及統計軟件的普及，特別是大數據時代的來臨，利用計算機執行復雜的數據分析對復雜系統進行隨機模擬仿真顯得日益重要。概率統計教學必須順應時代需要，突破以往那種專注邏輯推理、只顧機械演算的舊路，通過Matlab、R、Python等計算機軟件將課程教學與統計數據分析、計算機模擬緊密結合起來。

利用軟件進行描述統計、估計、檢驗、相關分析、回歸分析、方差分析等統計分析，如今已成為概率統計教學上的共識，具體操作項目也比較固定，此不贅述。與統計分析相比，仿真模擬在概率統計教學中的表現則相對靈活，沒有固定套路，卻大有用武之地，除了鍛煉數學實驗動手能力、提高學生的計算機編程能力之外，至少還有如下幾方面的價值：

1.1.1 動態演示

圖1 貝努里試驗的模擬圖

1.1.2 驗證結論

概率論中的許多重要結論都是可模擬印證的，例如正態分布、泊松分布、三大抽樣分布(卡方分布、Student-t分布和F分布)、中心極限定理等都有明確的形成機制，都可以用計算機模擬其生成過程。此外，傳統教學中的概率計算問題基本依靠純演繹推理，使概率計算成為一項極具挑戰性的工作，誰也不敢保證能正確地計算出一道復雜的古典概率題目。至于普通大眾，似是而非，丟三落四，被概率玩弄更是常有之事。于是，對復雜的概率計算，用仿真模擬方式評判計算結果的正確性就顯得非常必要了。最典型的例子，如蒲豐投針實驗、巴拿赫火柴盒問題、生日問題、信封匹配問題等著名問題，若借助模擬，動態印證理論結果，使學生體會到數學推理的力量，無疑會大大激發學生的學習熱情。再比如，統計理論中的置信區間、置信水平、假設檢驗、顯著性水平等概念，如果僅僅采用敘述和演繹的方式，學生會感覺到枯燥無味。若輔之以計算機模擬，通過仿真給學生以直觀的印象，能夠加深他們的理解。

1.1.3 探索研究

當系統過于復雜以至于難以找到明確的解析解時，用蒙特卡洛法求出問題的模擬近似解，或者從中得到意外啟發，不失為更切合實際的解決方案。這種模擬求解法，在概率統計教學中可以發揮意想不到的作用。例如，一般基于非正態總體的統計量的抽樣分布是極難求得精確分布的，但可用模擬的方式多次重復地從總體中抽樣，獲得統計量的大量觀測值，從而得到其近似分布。又如，熟知的某電視娛樂節目“汽車與山羊”問題的概率計算，與其各執一詞、莫衷一是，不如借助計算機模擬給出最具說服力的答案。其實，模擬計算法的威力遠遠超乎我們的想象。諾貝爾經濟學獎獲得者Roger B Myerson在其《經濟決策的概率模型》一書中拋棄了抽象數學公式，自始至終都在傾力闡明如何用Excel電子表格直觀地處理各種復雜的概率決策問題。該書用模擬法巧妙計算概率的案例精彩紛呈，極具啟發性。與解析法相比，模擬計算法雖沒有精妙的解析演算，最后卻可以得到合乎事實的結論；雖然形式粗糙，卻有很好的普適性和穩健性。

模擬仿真提高了學生對抽象結論的認識效率，拉近了學生與書本的距離，同時又體現了數學探索的精神軌跡，值得教師不斷地加以豐富和思考。

1.2 與其他數學分支緊密結合

整個數學學科的知識體系分支眾多，各分支彼此相通，相互間本來沒有絕對分明的界限。但由于開課順序、學科差異等原因，學生在頭腦中不自覺地形成了學科壁壘與思維壁壘，在學習概率統計時，莫名其妙地把微積分思維、線性代數思維自動封存起來，難于破繭。這種思維的保守和惰性非常不利于對數學知識的融會貫通，嚴重制約了概率統計的學習效果。因此，在教學過程中要刻意關注概率統計與其他數學分支尤其解析幾何、微積分、線性代數的緊密結合，既要提高學生綜合應用數學的能力，又要增進他們對各科知識的認識深度。

1.2.1 與微積分的聯系

1.2.2 與線性代數與矩陣理論的聯系

1.3 與實際應用相結合，多采用案例教學

論及實用性和趣味性，在三門大學數學基礎課中，概率統計穩居第一，尤其在金融、管理、保險等領域有大量精彩的應用案例。在教學中，結合學生的專業特點，將一些有趣、有意義的應用案例融入到概率統計課程教學之中，勢必會顯著增強課程魅力，激發學生的求知熱情，提高概率統計知識的運用水平。

例如，在講授貝葉斯公式時，可以介紹抽樣理論中的敏感問題調查的沃納(Warner)模型。此模型的思想非常有趣，可以在課堂上進行互動實驗。還可以介紹風險決策理論中的貝葉斯決策，發現貝葉斯公式的應用竟然可以達到如此出神入化的境界。這兩個案例是關于貝葉斯公式的絕佳應用，特別值得推薦。

再如，假設檢驗的一個基本思想是“小概率事件在一次試驗中幾乎是不可能發生的”。學生在學習假設檢驗的理論和方法時，往往感覺思路比較混亂，對原理難以理解。然而對其基本思想，我們在日常生活中已經不知不覺地應用上了。如果能夠從生活中挑選一些常見的案例來闡述假設檢驗的基本思想，則會讓學生很容易掌握其原理和檢驗流程。

1.4 與互聯網絡相結合，引入“互聯網+”模式

在新時代的要求下，教師應積極采取措施，引導學生在計算機網絡上查詢資料，擴大知識面，養成探索和創新的能力，對所學的統計概率知識進行思考和運用，積極主動地學習；教師也需要利用既有的網絡資源，學習和探索國內外比較成功的概率統計教學方法，擴大自己的知識面，使學生加強對概率統計知識的理解，養成好的學習習慣。還可以創建概率統計課程網頁，設置資料鏈接，建立小型題庫，讓學生進行練習，加深他們對所學內容的理解。此外，還可以建立微信群、微博式討論空間，增進師生間的互動與交流，由課堂延伸到課下，由校內延伸到校外，充分利用移動互聯網的優勢，讓學習討論無時、無處不在。

2 結語

概率統計的教學不應限于書本知識傳授，不能自限于循規蹈矩的標準教材，不能拘束于一門一類的狹隘壁壘，要積極地將概率統計課置身于軟件模擬、數學思維和精彩案例的源頭活水中,充分展示數學精神，調動學生的學習熱情，逐步邁向素質培養的最高目標。

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