球面l1-正則化逼近模型及其應(yīng)用研究

陳斯泳，安聰沛

暨南大學(xué) 信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院 數(shù)學(xué)系，廣州 510632

1 引言

球面上的逼近問題具有廣泛的應(yīng)用背景，例如測(cè)量地球表面的大氣氣流[1]、晶體結(jié)構(gòu)[2]、靜電學(xué)逼近[3]、球面幾何的聲波仿真[1]，熱輻射傳感[4]，宇宙中圖像的恢復(fù)[5]和醫(yī)療圖像重建[6]都是該問題的源泉。在數(shù)學(xué)上，上述實(shí)際問題可以抽象為球面上的最優(yōu)化問題[3]、偏微分方程[5]、積分方程[7]、樣條逼近[1]、鞍點(diǎn)問題[8]與最小二乘問題[9]等。

在二維球面S2上，文獻(xiàn)[10]提出了在連續(xù)和離散情況下帶有旋轉(zhuǎn)不變性的正則化球面最小二乘多項(xiàng)式逼近，涵蓋了球面多項(xiàng)式插值，超插值和過濾超插值等一系列最小二乘模型[10]。

本文主要研究一類在二維單位球面S2:={x=(x,y,z)T∈?3|x2+y2+z2=1}上帶l1-正則項(xiàng)的最小二乘逼近模型：

其中，f是給定的連續(xù)函數(shù)，且其在有N個(gè)點(diǎn)的點(diǎn)集XN={x1,x2,…,xN}?S2上的值是給定的（可能帶有噪聲）；PL:=PL(S2)是?3中所有限定在球面上且次數(shù)小于等于L的多項(xiàng)式所組成的線性空間；正則化算子RL為線性算子，λ>0為正則化參數(shù)。該模型根據(jù)節(jié)點(diǎn)XN和正則化算子RL的選取，可以變換出多種不同的形式。

本文選取適當(dāng)次數(shù)t的球面t-設(shè)計(jì)作為節(jié)點(diǎn)，其定義如下：

定義1[2]稱球面S2上的點(diǎn)集XN={x1,x2,…, }xN?S2為球面t-設(shè)計(jì)，如果其滿足于對(duì)球面上所有次數(shù)不超過t的多項(xiàng)式在XN上的值的算術(shù)平均值準(zhǔn)確等于該多項(xiàng)式在球面上積分的幾何平均值，即XN滿足：

其中，dω(x)是單位球面上的表面測(cè)度。顯然，得到一個(gè)球面t-設(shè)計(jì)，就相當(dāng)于得到一個(gè)對(duì)次數(shù)不超過t的多項(xiàng)式準(zhǔn)確成立的數(shù)值積分公式。在本文中，假定節(jié)點(diǎn)XN是t≥2L且節(jié)點(diǎn)數(shù)滿足N=(t+1)2的球面t-設(shè)計(jì)。