基于輸入約束一致性算法的多無人機編隊控制

熊 濤，曹科才，2，柴 運，徐培娟

1.南京郵電大學 自動化學院，南京 210023

2.南京航空航天大學 自動化學院，南京 210016

1 引言

近年來，由于多無人機系統的魯棒性、靈活性、可擴展性及經濟性等因素，多無人機系統協調控制得到了越來越多的關注[1-3]。作為多無人機協調控制最基本的一種控制方法，多無人機的一致性控制問題一直以來都是控制領域的研究熱點[4-6]。一致性控制是指無人機利用自身配置的傳感器來感知周圍無人機的信息，從而實現無人機之間信息的交互與共享。關于多無人機系統的一致性控制問題，目前已取得了一些成果。文獻[7-8]將多無人機系統簡化成一階動態系統，在基于文獻[9]提出的多智能體一致性算法的基礎上，提出了一種基于一致性反饋線性方法解決了沒有明確領航無人機的多無人機編隊控制問題。文獻[5]將多無人機模型反饋線性化成了二階動態模型，研究了帶有虛擬領航無人機的多無人機系統的分布式編隊控制問題。文獻[10]利用經典控制理論與逆動力學理論，研究了基于虛擬結構方法的無人機的編隊飛行，并通過非線性六自由度的仿真驗證了方法的有效性。文獻[11-12]考慮了存在時延情況下的多無人機的一致性控制及編隊控制，通過對定常時延以及時變時延兩種情況設計一致性控制算法研究了多無人機的編隊控制。文獻[13]考慮無人機編隊時無明確領航者，每一個無人機都是基于鄰居狀態信息，研究了非均勻時延以及共連通拓撲約束下的無人機在三維空間中編隊控制。文獻[14]用線性矩陣不等式方法研究了切換通信拓撲下具有二階積分特性的多無人機群的編隊控制問題。注意到，現有文獻中利用輸入約束的一致性控制算法對多無人機系統一致性控制研究較少，且現有文獻中存在將無人機模型直接化簡成一階或者二階動態系統，忽略了很多無人機的非線性因素。另外現有文獻主要考慮了多無人機系統的平面一致性控制，而缺少空間編隊控制的研究。

級聯系統，顧名思義，是由多個子系統通過子系統之間狀態的相互關聯而組成。利用級聯系統理論將復雜的模型簡化成若干個子系統的級聯形式來研究非線性系統的控制問題是一種有效的方法。將復雜的系統模型化簡成級聯形式，避免了直接忽略多項非線性因素將系統模型化簡成簡單的低階或者高階系統所帶來的模型不準確性。文獻[15]給出了非自治級聯系統的穩定性分析。文獻[16]利用文獻[15]中的非自治級聯系統的穩定性分析方法，通過將非完整鏈式智能體系統化成級聯形式研究了其編隊跟蹤控制問題。

2 系統模型及問題描述

文獻[17]根據牛頓-歐拉方法得到了垂直起降無人機系統模型，系統方程表示如下：

其中，m表示無人機的質量，I表示無人機的慣性矩陣；T表示無人機的推力，產生沿機體坐標系k方向上的運動；Γ∈R3表示轉矩矢量，控制無人機姿態；ξ=(ξ1,ξ2,ξ3)T∈R3表示的是無人機的質點在慣性坐標系中的位置；R∈SO(3)表示機體坐標系相對慣性坐標系的旋轉矩陣；d(t)表示無人機的外部擾動；ω=(ω1,ω2,ω3)T∈R3是無人機在機體坐標系中的角速度矢量；Fe表示作用于無人機上的全部外力；ΣR為常數耦合矩陣；e3=(0,0,1)T表示機體坐標系中k方向的單位向量；S(??)是斜對稱矩陣，式（1）中 S(ω)可寫為：

考慮N個機械結構都相同的垂直起降無人機模型組成的系統，系統方程可以表示為：

其中，i=1,2,…,N 。

基于級聯系統理論，可令 xi1=miξi，xi2=miξi，且假設作用于無人機的外部力矩減小到與無人機重量相同，即Fe=mge3。根據模型（3）可得：

其中，xi3=-TiRie3+mge3,ui1=RiΣRΓi。對 xi3求導為：

根據矩陣 S(ω)的定義（2），令 xi3=xi4，且由于T 僅表示無人機機體k方向的推力，所以式（4）可化簡為：

其中，δ=(Tiωi2,-Tiωi1,Ti)T。對xi4求導可得：

將式（3）代入式（6），整理可得：

聯立式（4）～（7），模型（3）可轉化為以下級聯形式：

其中

通過以上化簡可以看出，本文基于原始的無人機系統模型，將其化簡成級聯形式，避免了忽略無人機所收到的外力而造成不能對模型準確描述。相對的，文獻[7]考慮了無人機在二維平面的編隊控制問題，其中，作者將無人機系統簡化成以下一階模型：

其中，ri∈R2表示第i個無人機的位置，ui∈R2表示第i個無人機的控制輸入。系統式（9）從廣義上說可以代表任意的多智能體系統，并不能特指多無人機系統。無人機系統是一個多輸入多輸出且具有多自由度的非線性系統，考慮理想情況下并忽略一些外力因素，將模型線性化可以達到理論研究效果，但此類方法應用到實際無人機系統中往往不能夠達到精確的控制目的。本文的主要貢獻在于基于原始的垂直起降無人機模型，利用級聯系統理論將復雜的無人機模型化簡成級聯形式，而不是直接將無人機模型化簡成簡單的一階動態模型。在控制器設計時利用雙曲正切函數的有界性質研究了基于輸入約束下的一致性算法的多無人機編隊控制問題。為了更能夠說明本文所提控制方法的有效性，本文還對無人機在三維情況下的編隊情況進行了仿真研究。

多無人機系統一致性控制問題描述如下：對于多無人機系統模型（3），通過感知周圍鄰居無人機的信息，使得系統中的所有無人機在所設計的控制器作用下最終能夠達到一致狀態。即對于級聯后的系統模型（8），構造一致性算法，使得：

其中，i=1,2,…,N 。

3 控制律設計

在前人工作的基礎上，針對多無人機系統一致性控制問題，利用雙曲正切函數的有界性質，通過在控制器設計時引入雙曲正切函數使得系統（8）中的所有狀態達到全局一致性。首先設計控制律ui1如下：

其中，k1>0，k2>0是正常數，Ni表示與第i個無人機能夠通信的鄰居無人機的集合。

tanh(x)=(ex-e-x)/(ex+e-x)是有界函數，并且有tanh(x)=sinh(x)/cosh(x),sinh(x)=(ex-e-x)/2，cosh(x)=(ex+e-x)/2。因為tanh(x)是有界的，故ui1也是有界的。假設由N個智能體組成的系統其通信拓撲結構可以由圖G=( )

V,E 來表示，圖G表示由若干個節點以及組成這些節點的邊組成的圖形，V表示頂點的集合，其包括圖中所有的節點，E表示邊的集合，其包括所有組成節點的邊。aij是鄰接矩陣A=[eij]∈?n×n中的元素，其可當(j ,i)∈E時，aij=1；當(j ,i)?E時，aij=0。aij=1表示第i個無人機可以接受第 j個無人機的狀態信息。aij=0則表示第i個無人機不能接受第 j個無人機的狀態信息。圖G的度矩陣為 D=[dij]∈?n×n，當i=j時，L=[lij]∈ ?n×n表示圖G的Laplacian矩陣，當i=j時，當i≠j時，lij=-aij。

對控制輸入ui2設計如下形式：

其中，k3>0，k4>0為正常數。

4 主要結果

為了后續理論證明，首先定義矩陣 Z1=[x11,x21,…,xN1]T,Z2=[x12,x22,…,xN2]T,Z3=[x13,x23,…,xN3]T,Z4=[x14,x24,…,xN4]T。在給出本文主要結果之前，首先給出以下引理。

引理1[14]考慮一個時變級聯系統z=f( )t,z，可以將其寫成：

其中，z1∈?n,z2∈?m。函數 f1(t ,z1)在(t ,z1)處是連續可微的，f2(t ,z2)和g(t ,z1,z2)是局部Lipschitz的。系統式（12）可以看成是系統：

受到系統Σ2的輸出擾動。

引理2[14]如果滿足以下條件，那么，級聯時變系統（12）將達到全局一致穩定：

（1）子系統（13）是全局一致穩定的；

（2）級聯函數g(t ,z1,z2)對所有t≥t0滿足以下條件：

其中，θ1:?+→?+,θ2:?+→?+是連續函數；

（3）子系統Σ2是全局一致漸近穩定的。

根據以上引理，給出本文主要結果，如下：

定理1假設系統通信拓撲結構為固定無向連通圖，如果k1>0和k2>0是常數，且 L∈?n×n是系統無向連通圖的Laplacian矩陣，那么系統

將達到全局一致穩定。

證明 選擇Lyapunov函數為：

因為cosh(x )≥1，ln[c osh(xi-xj) ]≥0，aij≥0，故式（15）為正定的，對其求導得：

根據式（8）、式（17）進一步化簡可得：

進一步可得：

且對于無向連通圖有aij=aji，則以上可寫成：

因此，根據Lyapunov穩定性理論可知，系統式（15）是全局一致穩定的。

定理2假設系統通信拓撲結構是固定無向連通圖，則系統式（8）在控制律式（10）和式（11）作用下能夠達到全局一致穩定。

證明 在控制律式（10）和式（11）的作用下，系統式（8）可以寫成如下形式：

根據級聯系統原理，系統式（19）可以被看成是系統式（15）被以下系統：

級聯，級聯項為Z3。

（1）根據定理1，如果系統的通信拓撲結構是固定無向連通的，則子系統式（15）是全局一致穩定的；當V1=0時，從式（19）可得，Z2=0，則從公式（15）易得 Z1=0，根據不變集理論，子系統式（21）根據定理1可證明是全局一致漸近穩定的。

（2）級聯項 Z3滿足式（14）條件。

基于以上兩個條件，再根據引理2可知，系統拓撲結構為固定無向連通情況下，系統式（8）在控制律式（10）和式（11）的作用下能夠達到全局一致穩定，證畢。

定理3假設系統通信拓撲結構是固定無向連通圖，則系統式（8）在以下編隊控制算法作用下能夠收斂到給定值，即形成固定的隊形。

其中，都為正常數分別表示各狀態之間的編隊距離。定理3的證明過程與定理1、定理2類似，此處不再重述。

5 仿真驗證

本章基于Matlab仿真平臺直接對級聯后的模型式（8）進行數值仿真研究，進一步闡述所提控制方法的有效性。基于所提一致性算法的控制思想對多無人機系統一致性控制及編隊控制進行仿真研究。為了驗證所提控制方法的有效性，本文對比了無人機輸入不受約束情況下無人機的運動情況。

5.1 一致性仿真

假設系統是由6架具有相同機械結構的無人機組成的多無人機系統，每一個無人機只能夠和其鄰居無人機相互通信，系統通信拓撲結構如圖1所示。

根據圖論相關知識，多無人機通信拓撲結構圖的信息可由以下矩陣表示，其中矩陣為D度矩陣，矩陣L是Laplacian矩陣，其定義見第3章：

圖1 6架無人機的通信拓撲結構

對輸入約束下多無人機一致性控制問題研究時對比研究了輸入不受約束情況下無人機系統各狀態的變化情況。假設兩組實驗仿真數據一致，各狀態初始值為下：6架無人機狀態 xi1初始值為{-30,-10,0,2,10,50}；6架無人機狀態xi2初始值為{10,0.1,2.5,0,-5.5,-10}；6架無人機狀態 xi3初始值為{0.15,0.3,-0.2,0.5,-0.1,0.4}；6架無人機狀態 xi4初始值為{0.5,0.1,0.12,0.4,0.12,0.18}。

圖2～圖5為輸入不受約束下無人機級聯系統各狀態的變化情況，圖6～圖9表示了輸入約束下無人機級聯系統各狀態的變化情況。

當無人機控制輸入不受約束時，狀態xi3和狀態xi4能夠達到一致，但是由于控制輸入過大，系統會發生飽和作用，所以狀態xi1和狀態xi2無法達到一致。

圖2 輸入不受約束下xi1的一致性

圖3 輸入不受約束下xi2的一致性

圖4 輸入不受約束下xi3的一致性

圖5 輸入不受約束下xi4的一致性

圖6 輸入約束下xi1的一致性

圖7 輸入約束下xi2的一致性

圖8 輸入約束下xi3的一致性

圖9 輸入約束下xi4的一致性

從圖6～圖9可以看出，在所設計輸入約束一致性算法作用下，無人機級聯系統4個狀態都能夠趨于一致。為了更好地說明方法的有效性，通過對每個狀態建立3組元素作為無人機在空間中3個坐標軸的數據，選擇6架無人機初始位置為[30,-30,-30]、[90,-10,70]、[40,0,30]、[0,2,-40]、[10,10,-20]、[-50,50,-100]，無人機在空間中運動軌跡如圖10所示，從圖10可以看出，無人機在空間中最終能夠趨于一致的狀態。

圖10 無人機在空間中的一致性

5.2 編隊仿真

編隊控制可以看成是一致性控制的延伸，本節將基于編隊控制算法式（21）和式（22）對系統模型式（8）進行編隊控制仿真研究。考慮3個無人機的直線編隊，且系統通信拓撲結構為無向連通圖，如圖11所示。

圖11 三架無人機的通信拓撲結構

根據圖論相關知識，多無人機通信拓撲結構圖的信息可由以下度矩陣和Laplacian矩陣表示：

基于所設計的一致性控制算法，3架無人機在空間中初始位置為[10,1,-3]、[-6,3,7]、[7,-5,3]。無人機在空間中編隊控制的運動軌跡如圖12所示，從圖中可以看到，系統中3架無人機在所涉及的編隊控制算法下最終能夠保持直線隊形運動。

圖12 無人機在空間中的編隊

6 結束語

本文針對復雜的多無人機系統模型，通過利用級聯系統理論處理復雜非線性模型的優點，將一般性的多無人機模型簡化為級聯形式，然后針對級聯后的系統模型，基于輸入約束一致性控制算法對多無人機編隊控制問題進行了研究。利用雙曲正切函數的有界性質，通過在控制器設計時引入雙曲正切函數研究了在輸入約束一致性算法下系統的一致性控制問題。最后，將輸入約束一致性算法思想應用到編隊控制算法的設計中，研究了多無人機的編隊控制問題。基于Matlab仿真平臺對所提出的控制算法驗證其有效性，仿真結果表明，在所提出的一致性控制算法的作用下，級聯后系統所有狀態最終都能夠得到收斂到一致。在基于輸入約束一致性控制算法思想設計的編隊控制算法下，多無人機能夠形成固定的隊形，表明了所提控制方法的有效性。本文假設系統通信拓撲結構為固定無向的通信拓撲，后續考慮具有約束情況下具有切換拓撲結構的多無人機一致性控制問題值得去研究。

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