一類具有隔離效應的隨機SIS傳染病系統的動力學行為

趙 春 園

(1.東北師范大學環境學院，吉林 長春130024； 2.吉林交通職業技術學院管理工程學院，吉林 長春 130021)

1 預備知識

研究流行病發生機理、傳染規律及防治策略對疾病的預防與控制具有重要意義.隨著科學的發展，學者們在不斷利用科學知識通過建立模擬傳染病傳播規律的數學模型，將疾病傳播規律與特點公式化.最近，在隨機干擾的作用下，研究某種疾病消失及流行的可能性已經成為流行病學中的一個研究主題.[1-4]隔離效應也已經成為消除傳染病的一個重要策略，許多學者研究了具有隔離效應的傳染病模型.[5-8]在許多現有的模型中，雙線性發生率已被頻繁使用.Gray等[9]研究具有雙線性發生率的隨機SIS傳染病模型時，通過控制隨機噪聲強度得到了該系統中感染者種群滅絕及持久的充分性條件.然而，當易感者個體的數量較大時，在一定時間內易感者個體之間存在著感染性接觸，即存在著飽和效應.這些事實表明，飽和發生率對許多情形來講都更為合理.[10-13]基于這樣的考慮，本文主要考慮具有隔離效應和飽和發生率的隨機SIS傳染病模型

(1)

2 正解的存在唯一性

研究隨機傳染病模型的動力學行為，首先要考慮模型是否存在全局正解.眾所周知，存在唯一性定理一般要求系統滿足局部Lipschitz條件和線性增長條件.然而，系統(1)的系數只是滿足局部Lipschitz條件，線性增長條件并不滿足，所以有可能會在有限時間內爆破.本文主要利用文獻[10]中Lyapunov分析方法證明隨機微分方程(1)存在唯一的全局正解.

τm=inf{t∈[0，τe)|S(t)?(1/m，m)或者I(t)?(1/m，m)或者Q(t)?(1/m，m)}，

假設上述結論不成立，那么存在常數T和∈(0，1)，使得P{τ∞≤T}>，存在整數m1≥m0，對于m≥m1，滿足

P{τm≤T}≥.

(2)

由伊藤公式可得

(3)

其中

對(3)式兩邊積分，取期望得

EV(S(τk∧T)，I(τk∧T)，Q(τk∧T))≤
V(S(0)，I(0)，Q(0))+KE(τk∧T)≤
V(S(0)，I(0)，Q(0))+KT.

(4)

對于k≥k1，令Ωk={τk≤T}，則P(Ωk)≥ε.由于對每一個ω∈Ωk，在S(τk，ω)，I(τk，ω)和V(τk，ω)中至少有一個等于k或1/k，所以V(S(τk，ω)，I(τk，ω)，Q(τk，ω))不小于

于是

由(2)和(4)式，

3 無病平衡點P0附近的漸近性行為

研究傳染病數學模型時，疾病何時流行、何時消亡一直是關鍵問題.對于確定性傳染病模型，許多學者通過研究傳染病模型的無病平衡點和地方病平衡點的穩定性，來分析得到的疾病流行與滅絕的條件.然而，隨機模型中一般不存在有病平衡點和無病平衡點，那么如何研究隨機傳染病模型的滅絕性和持久性便成為一個非常有意義的問題.本文主要探討隨機傳染病系統(1)在無病平衡點處的漸近行為和遍歷性，在一定程度上反映了疾病的消亡或流行，并關注白噪聲對原確定系統的動力學行為的影響.

(5)

dV∶=lVdt+c1σ2ydB2(t)+(x+y)[σ1(x+A/μ)dB1(t)+σ2ydB2(t)]+
c2(x+y+z)[σ1(x+A/μ)dB1(t)+σ2ydB2(t)+σ3zdB3(t)]+c3σ3z2dB3(t).

由于R0<1，得到

注意到當

成立時，定理條件r1，r2，r3均大于0，從而

于是

因此

注1定理2表明，在R0<1和白噪聲強度滿足一定條件的情況下，系統(1)的解會在確定系統的無病平衡點附近震動，且震動強度和白噪聲強度成正比.從生物學角度來解釋，若傳染病系統受到白噪聲的影響越小，則系統(1)解的長時間行為會越接近于無病平衡點.

4 隨機系統的遍歷性行為

由于隨機系統(1)的擴散項是非退化的，本文利用Hasminskii理論[4]給出系統(1)存在平穩分布，并且證明此平穩分布具有遍歷性，從而表明疾病在定理條件下將會流行.

引理1[4]存在具有正則邊界Γ的有界區域U?El，具有如下性質：

(1) 在U和它的一些鄰域，擴散陣Λ(x)的最小特征值是非零的.

證明由于R0>1，則確定系統存在地方病平衡點P*，因此

(6)

利用伊藤公式求導有

其中

這里

由于

則橢圓

由引理1，隨機系統(1)存在平穩分布μ(·)，且是遍歷的.

5 總結

本文研究具有隔離效應和飽和發生率的隨機SIS傳染病模型的動力學行為.首先考慮具有任意正初值系統(1)全局正解的存在唯一性.然后根據基本再生數和白噪聲強度，得到保證疾病持久和滅絕的充分條件.所得結果表明環境白噪聲對疾病的持久性與滅絕性具有重要的影響.

當然一些有意義的問題值得進一步研究.一方面，可以提出一些更加符合實際情形并且復雜的模型，例如可以考慮時滯對系統(1)的影響.另一方面，本文所用到的方法也可以用來研究其他有意義的模型，如具有其他形式的非線性發生率的SIS(Susceptible Infective Susceptible)模型、SIRS(Susceptible Infective Removed Susceptible)模型和SEIRS(Susceptible Exposed Infective Susceptible)模型等.

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