分數階不確定Duffling混沌系統的終端滑模同步

毛北行，周長芹

(鄭州航空工業管理學院理學院，河南 鄭州 450015)

分數階系統大量存在于現實世界，并激起了眾多愛好者的極大興趣.[1-4]考慮分數階系統的滑模控制是極具挑戰性的控制課題，故其引起了學者們的密切關注.[5-11]文獻[12]利用適應控制方法研究了具有終端角度約束的滑模制導律；文獻[13]基于滑模方法研究了R?ssler系統的同步問題；文獻[14]利用滑模方法研究了分數階振子網絡的同步；文獻[15]基于滑模控制研究了分數階異結構混沌系統的同步問題；文獻[16]基于滑模控制研究了分數階金融系統的同步.本文研究了不確定分數階Duffling混沌系統的終端滑模同步，獲得了分數階不確定Duffling系統的主從系統取得滑模同步的充分條件.

定義1[17]Caputo分數階導數定義為

1 分數階不確定Duffling系統的滑模同步

以分數階不確定Duffling混沌系統作為主系統

(1)

系統參數a=-1，b=0.25，c=0.5，ω=1，α=0.873時系統呈現混沌態.從系統設計為

(2)

假設1Δg(y1，y2)+d(t)=f(t).

假設2|f(t)|≤M|e2(t)|.

假設3e2(t)=0時，f(t)=0，e2(t)≠0時，f(t)≠0.

假設40

定義ei=yi-xi(i=1，2)，得到誤差方程

不在滑模面上時，構造Lyapunov函數

則：

s(t)[-M|e2|sgns-ηsgn(s(t))+f(t)]≤
-M|e2||s(t)|+M|e2||s(t)|-η|s(t)|=-η|s(t)|<0.

由引理2，s(t)→0.

2 分數階不確定Duffling系統的終端滑模同步

假設5存在m，n>0，使得|Δg(y1，y2)|

定義ei=yi-xi(i=1，2)，可得誤差系統為

(3)

設計分數階終端滑模函數

(4)

定理2在分數階非奇異滑模面(4)上，系統誤差(3)的軌跡能在有限時間內趨于原點.

設計控制器為雙冪次趨近律

(5)

其中k1>0，k2>0，γ>1，0<μ<1.

定理3在滿足假設5的條件下，如果構造控制器(5)，則誤差系統(3)的軌跡能達到滑模面.

由假設條件5可得

根據引理2，s(t)→0.

3 數值仿真

利用Matlab進行數值仿真，取系統參數a=-1，b=0.25，c=0.5，ω=1，α=0.873.

定理1中設計Δg=-0.05siny1，d(t)=0.2cos(t)，η=2.設置系統初始值為(x1(0)，x2(0))=(0.1，0.2)，(y1(0)，y2(0))=(0.5，-0.6).控制律

定理3中選取參數r=1.5，λ=6，k1=10，k2=4，γ=2，μ=0.5.設計

設計新型雙冪次趨近律來設計控制律為

該趨近律收斂速度較快.設置系統初始值為(x1(0)，x2(0))=(0.1，0.2)，(y1(0)，y2(0))=(-1.6，-0.55)，其系統誤差如圖2所示.

從圖1—2可以發現：定理1中t>0.264 s以后，系統誤差逐漸趨于零，表明系統達到同步；定理3中t>0.237 s以后，誤差逐漸趨于坐標原點，系統取得同步化；定理3達到同步所需時間較定理1少，系統更快趨于同步，表明采用雙冪次趨近控制律控制效果良好.

圖1 定理1中系統的誤差曲線

4 結論

研究了分數階不確定Duffling混沌系統的滑模同步問題，構造分數階滑模函數和控制律可以使驅動-響應系統滑模達到混沌同步.仿真實例驗證了方法的正確性.

[參 考 文 獻]

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