一類三維貨幣混沌系統的動力學分析

張 勇，楊雪玲，舒永錄

(1.河南工業職業技術學院基礎教學部，河南 南陽 473000； 2.河南工業職業技術學院汽車工程學院，河南 南陽 473000； 3.重慶大學數學與統計學院，重慶 401331)

0 引言

Chaos(混沌)一詞來源于希臘語，意味著非預測性.在哲學意義下，它相對于規律和有序是混沌，但并不是說混沌是雜亂無章的、無序的.混沌是有序和無序的統一.混沌存在于非線性科學領域的很多學科中，如物理學、生物學、密碼學、電子電路、社會學等.很多文獻從多個角度來研究混沌系統的性質及其在非線性科學領域中的應用.[1-11]

1963年，E.N.Lorenz在研究大氣的對流運動時發現并命名具有對初始條件敏感依賴的三維非線性Lorenz混沌系統[9]，大量的論文和專著揭示了Lorenz混沌系統理論研究的重要意義和工程應用價值.1975年，國際著名混沌學者T.Y.Li和J.A.Yorke在學術論文中給出了 “li-Yorke chaos”的定義，從此揭開了混沌與混沌系統研究的序幕.

在Lorenz混沌系統研究的基礎上，超混沌Lorenz系統、混沌Chua電路系統、Rossler混沌系統、Chen混沌系統、超混沌MCK電路系統等也得到了深入的研究.[12-24]

金融混沌系統的有界性在控制科學和工程中起著重要的作用.本文依據動力系統的基本理論與方法對一類金融動力系統的基本動力學特性進行了研究，這有助于加深人們對各種金融政策的理解，該混沌系統可應用于控制工程、圖像加密等領域中.

1 數學模型及其主要結果

馬軍海和C.Ma等[25-26]研究的一類三維金融混沌系統的數學模型為

(1)

圖1 系統(1)軌線的相圖

其中：變量x，y和z分別代表利率、投資需要和價格指數；a，b，c是系統的正參數，分別代表節省成本、單位投資成本和市場需要的彈性數.當a=3.0，b=0.1，c=1.0時，系統(1)軌線的相圖見圖1.

1.1 對稱性和不變性

系統(1)具有對稱性，即在坐標變換(x，y，z)→(-x，y，-z)下，系統(1)保持不變.y軸為系統(1)的一個正向不變集，當t→+∞時，從y軸上任何點出發的軌線都趨于點(0，0，0).

1.2 耗散性和吸引子的存在性

金融混沌系統(1)的耗散度為

從而系統(1)是最終耗散的，并且金融混沌系統(1)存在混沌吸引子.

1.3 奇點及其拓撲類型

當c-b-abc=0，01時，平衡點S0為漸進穩定的平衡點；當c-b-abc>0時，由中心流形定理可知當平衡點P1和P2在正參數a，b，c滿足條件bc4+b2c3-2ab2c2+(2ab-2-3b2)c+3b=0時，系統(1)可能出現分岔，因此平衡點P1和P2的拓撲結構類型變得非常復雜.

1.4 全局吸引性

定理對任意的a>0，b>0，c>0，系統(1)的軌線存在指數估計式為

V(X(t))-L0≤(V(X(t0))-L0)e-θ(t-t0).

從而

Ω={(x，y，z)|V(X(t))≤L0}

為系統(1)的一個全局指數吸引集.其中

V(X)=x2+y2+z2；

證明定義李雅普諾夫函數V(X)=x2+y2+z2.

當V(X(t))>L0，V(X(t0))>L0，沿著系統(1)求導

對上述不等式兩邊積分，當V(X(t))>L0，V(X(t0))>L0時，有

V(X(t))-L0≤(V(X(t0))-L0)e-θ(t-t0).

令t→+∞，對上述不等式兩邊取上極限

即

Ω={(x，y，z)|x2+y2+z2≤L0}

為系統(1)的一個全局指數吸引集.其中

2 數值仿真

取參數a=3.0，b=0.1，c=1.0[25-26]，由定理可知θ=min(a，c，b)=0.1，系統的正半軌線最終進入集合

圖2 系統的正半軌線最終界估計

系統(1)的正半軌線的最終界估計如圖2所示.由圖2可見，系統的軌線最終進入三維球內.

3 結論

本文從數學理論上定量和定性分析了一類金融動力系統的動力學行為.這有助于加深人們對各種金融政策的理解，可應用于控制工程、圖像加密等領域中.該混沌系統的其他一些動力學特性，如混沌控制、混沌同步和分岔行為等還有待于進一步研究.

[參 考 文 獻]

[1] 閆振亞.復雜非線性波的構造性理論及其應用[M].北京：科學出版社，2002：15-17.

[2] 陳關榮，呂金虎.Lorenz系統族的動力學分析、控制和同步[M].北京：科學出版社，2003：20-25.

[3] SPARROW C.The Lorenz equation：bifurcation，chaos，and strange attractors[M].New York：Spring-Verlag，1982：40-50.

[4] 高普云.非線性動力學—分叉混沌與孤立子[M].長沙：國防科技大學出版社，2005：192-193.

[5] ZHANG FUCHEN，ZHANG GUANGYUN.Further results on ultimate bound on the trajectories of the Lorenz system[J].Qualitative Theory of Dynamical Systems，2016，15(1)：221-235.

[6] ZHANG FUCHEN，MU CHUNLAI，ZHOU SHOUMING，et al.New results of the ultimate bound on the trajectories of the family of the Lorenz systems[J].Discrete and Continuous Dynamical Systems-Series B，2015，20(4)：1261-1276.

[7] ZHANG FUCHEN，LIAO XIAOFENG，ZHANG GUANGYUN.On the global boundedness of the Lü system[J].Applied Mathematics and Computation，2016，284：332-339.

[8] LIN DA，ZHANG FUCHEN，LIU JIAMING.Symbolic dynamics-based error analysis on chaos synchronization via noisy channels[J].Physical Review E，2014，90：012908.

[9] LORENZ E N.Deterministic nonperiodic flow[J].Journal of the Atmospheric Sciences，1963，20：130-141.

[10] 王興元.廣義M-J集的分形機理[M].大連：大連理工大學出版社，2002：30-40.

[11] 王興元.混沌系統的同步及在保密通信中的應用[M].北京：科學出版社，2011：50-60.

[12] NIU YUJUN，WANG XINGYUAN，WANG MINGJUN，et al.A new hyperchaotic system and its circuit implementation[J].Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation，2010，15(11)：3518-3524.

[13] ZHANG FUCHEN，MU CHUNLAI，ZHENG PAN，et al.The dynamical analysis of a new chaotic system and simulation[J].Mathematical Methods in the Applied Sciences，2014，37(12)：1838-1846.

[14] ZHANG FUCHEN，LIAO XIAOFEGN，ZHANG GUANGYUN，et al.Dynamical analysis of the generalized Lorenz systems[J].Journal of Dynamical and Control Systems，2017，23(2)：349-362.

[15] ZHANG FUCHEN.On a model of the dynamical systems describing convective fluid motion in rotating cavity[J].Applied Mathematics and Computation，2015，268：873-882.

[16] MESSIAS M.Dynamics at infinity and the existence of singularly degenerate heteroclinic cycles in the Lorenz system[J].Journal of Physics A Mathematical and Theoretical，2009，42(11)：12-30.

[17] LEONOV G A.Bounds for attractors and the existence of homoclinic orbits in the Lorenz system[J].Journal of Applied Mathematics and Mechanics，2001，65：19-32.

[18] ZHANG FUCHEN，LIAO XIAOFEGN，ZHANG GUANGYUN.Qualitative behavior of the Lorenz-Like chaotic system describing the flow between two concentric rotating spheres[J].Complexity，2016，21：67-72.

[19] 廖曉峰，肖迪，陳勇，等.混沌密碼學原理及其應用[M].北京：科學出版社，2009：25-40.

[20] 周良強，陳芳啟，陳予恕.一類新四維二次系統的混沌運動[J].動力學與控制學報，2011，9(3)：197-201.

[21] 呂金虎，禹思敏.復雜多卷波混沌系統的理論設計與電路實現[J].應用數學學報，2009，32(6)：997-1007.

[22] LEONOV G A，KUZNETSOV N V，VAGAITSEV V.Localization of hidden Chua’s attractors[J].Physics Letters A，2011，375：2230-2233.

[23] 張付臣，舒永錄，姚憲忠.磁盤發電機系統的動力學研究及其在混沌同步中的應用[J].應用數學學報，2013，36(2)：193-203.

[24] 阿布都熱合曼·卡的爾，王興元，趙玉章.存在參數擾動的超混沌系統的自適應同步[J].計算機工程與應用，2011，47(9)：1-3.

[25] 馬軍海，陳予恕.一類非線性金融系統分岔混沌拓撲結構與全局復雜性研究(Ⅱ)[J].應用數學和力學，2001，22(12)：1236-1242.

[26] MA C，WANG X Y.Hopf bifurcation and topological horseshoe of a novelnance chaotic system[J].Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation，2012，17：721-730.