懸臂微梁固有頻率和模態的尺寸效應

謝新吉, 劉占芳,2,3, 杜丘美

(1.重慶大學 航空航天學院，重慶 400044； 2.重慶大學 煤礦災害動力學與控制國家重點實驗室，重慶 400044；3.重慶大學 非均質材料力學重慶市重點實驗室，重慶 400044)

近年來隨著半導體制造工藝的不斷革新，微電子機械系統(Micro-Electro-Mechanical System, MEMS)的不斷產業化，微型壓力傳感器、微型加速度計及微型陀螺儀在諸多領域得到廣泛應用[1]。微梁(尺寸為1～100 μm量級)作為MEMS器件中常用的結構之一，其力學特性的測定一直是研究的熱點和重點。劉林仙等[2]采用ANSYS仿真分析雙T型懸臂微梁的動力學特性，韓雷等[3]介紹了幾種微結構動力學特性的測量方法。在此之前不少實驗表明，當微結構尺寸不斷減小到一定范圍，其力學特性會有顯著變化。例如，Fleck等[4]利用不同直徑的細銅絲進行拉伸及扭轉實驗，觀測到銅絲直徑從170 μm減小到12 μm時，其無量綱扭轉硬化提高了約3倍，而拉伸實驗并沒有出現明顯尺寸效應。Stolken等[5-7]對不同厚度的純鎳微梁進行了彎曲實驗，當梁的厚度小于50 μm后，其無量綱彎曲硬化顯著增大。Lam等[8]對不同厚度的環氧樹脂微懸臂梁進行彎曲實驗中發現，當微梁厚度從115 μm減小到18 μm時，其無量綱彎曲剛度增大約2.4倍。

采用經典彈性力學難以解釋和預測上述實驗現象，為此研究者們先后提出了各類細觀彈塑性理論。其中比較典型的有Cosserat等[9]提出的微級彈性理論， Toupin等[10-11]提出的偶應力理論以及Fleek等[12-13]提出的應變梯度理論。期間還有不少相關理論提出，可參見文獻[14-15]。由于特征長度參數的引入，這些理論給出的本構關系都含有較多參數，Yang等[16]提出了修正的偶應力理論，認為曲率張量是對稱的，將附加的彈性參數減少為一個。Liu等[17]基于Mindlin的工作提出了另一種修正的偶應力理論，同樣只含有一個附加的材料參數，與Yang等提出的理論不同的是，Liu等認為偶應力和曲率張量是無跡的非對稱二階張量，給出相應的本構關系。旋轉變形的引入使得該廣義彈性力學較之經典彈性力學更加完備，有效地對微小尺寸結構進行靜力和動力分析[18]。同時在剛柔耦合分析及平板沖擊應力波傳播也得到很好的應用[19-20]。

基于各類細觀理論，Park等[21]建立偶應力Bernoulli-Euler梁理論，Ma等[22]建立偶應力Timoshenko梁理論，康新等[23]利用Cosserat理論分別研究了微梁振動特性的尺寸效應。然而大部分的研究者都只分析了微梁的基頻，很少結合頻率所對應的模態做近一步分析。

本文首先介紹廣義彈性力學，從虛功原理出發建立廣義彈性體有限元動力學方程，對懸臂微梁的固有頻率和模態數值分析。進一步得到不同模態對應頻率的尺寸效應，分析得出結果，為MEMS結構設計提供一定依據。

1 廣義彈性力學理論

考慮小變形范圍內，用位移梯度來描述彈性體的變形。在三維笛卡爾坐標系統中，彈性體任意一點的位移梯度是二階非對稱張量，可以分解為一個對稱張量和一個反對稱張量

ui,j=εij+Ωij

(1)

式中：εij為對稱應變張量；Ωij為反對稱旋轉張量，可以分別表示為

(2)

旋轉張量和旋轉矢量ωi密切相關，通過置換張量∈ijk得到他們之間的關系

(3)

經典彈性力學中只考慮了應變張量εij描述彈性體的變形，而忽略了旋轉變形。廣義彈性力學引入曲率張量χij來描述旋轉變形

(4)

由式(4)得到曲率張量為位移的二階梯度，隨著尺寸的變小，其對彈性體的影響將不斷增加。容易證明曲率張量的跡為χii零，因此由式(4)定義的曲率張量為二階偏斜張量。

在連續介質力學的基礎上，得到任意微元體的動量和動量矩守恒方程，分別為

(5)

(6)

式中：bi和ci分別為體力和體力矩；tji和mji分別為非對稱應力和偶應力。非對稱應力可以分解為對稱應力σij和反對稱應力τij之和

tij=σij+τij

(7)

同時由式(6)容易建立偶應力與反對稱應力的關系

(8)

由式(5)和式(8)可以得到含偶應力的質點動力學方程

(9)

廣義彈性力學建立對應平動和旋轉兩種變形的本構關系。對應于平動變形的本構關系為廣義胡克定律

σij=2μεij+λεkkδij

(10)

旋轉變形對應的本構關系則通過虛功原理建立。在靜力平衡條件下，邊界條件分別寫為

(11)

同時考慮體力和體力距，面力和面力偶所做的虛功為

(12)

從而得到內力虛功的變分形式

(13)

即

(14)

由式(14)可知偶應力和曲率張量互為功共軛，同時均為二階無跡張量，他們的線性關系可以由張量函數表示為

mij=4ηχij

(15)

式中：η為旋轉模量，同楊氏模量一樣為材料的固有屬性，但其數量級要小得多。

考察一個線元，應變張量描述了線元長度的變化，實際上還有線元的三維彎曲，彎曲的程度則用曲率張量來描述。廣義彈性力學計及了連續的轉動變形，增加了與之對應的偶應力以及動量矩守恒方程等，理論更加完備。

2 廣義彈性力學的有限元方程

由式(4)可知曲率張量為位移的二階導數，需要滿足C1連續性要求。為降低連續性要求，在以位移為基本變量的基礎上，增加轉角為獨立變量，并用罰函數法引入約束條件，構造滿足C0連續性要求的有限元方程。

對三維廣義彈性體模型采用Serendipity六面體單元進行離散，單元內任意一點的位移列陣為

(16)

由單元節點位移插值可得

(17)

由幾何方程可得廣義應變矩陣為

(18)

其中，

ε=[εxxεxxεxxεxxεxxεxx]T

χ=[χxxχyyχzzχxyχyzχxzχyxχzyχzx]T

式中：B為單元內任意點應變-曲率張量向量與單元結點位移-轉角的關系矩陣；Lu為應變與位移的關系矩陣；Lφ為曲率張量與轉角的關系矩陣，其表達式分別為

由本構方程可得廣義應力矩陣為

(19)

式中：D1為經典彈性力學中描述應力應變關系的本構陣；D2為描述偶應力與曲率張量的關系矩陣：D2=4ηI9，I9為9×9的單位矩陣。

由虛功原理建立有限元方程，考慮三維廣義彈性體動力學問題，故增加慣性項，虛功方程式(12)可寫為

(20)

(21)

對于罰函數項，基于有限元離散形式，位移和轉角的關系為

φe-ωe=Lα[ueφe]T=LαNde=Bαde

(22)

式中：Bα為罰函數項與結點位移-轉角列陣的關系矩陣；Lα為罰函數項與位移-轉角列陣的微分算子。

將式(17)～式(19)和式(22)代入式(21)可得廣義彈性體動力分析的有限元方程

(23)

3 懸臂微梁不同模態對應固有頻率的尺寸效應

MEMS結構本身的微小尺寸、高速旋轉及超高頻振動響應，決定了MEMS結構動力學特性的復雜性，為此有必要對其高階頻率和模態進行分析。

現今廣泛使用的大型通用有限元分析(Finite Element Analysis, FEA)軟件，都以經典彈性力學為基礎，并不適用于分析微小尺寸結構。本文基于廣義彈性力學，建立三維有限元動力學方程，使用MATLAB語言編制仿真程序，分析計算懸臂微梁不同模態所對應的固有頻率。懸臂微梁的結構尺寸如圖1所示。

采用均質高純度鎳作為分析材料，材料屬性見表1所示。

圖1 懸臂微梁的幾何尺寸Fig.1 The geometry size of cantilever micro-beam

E/GPavρ/(kg·m-3)η/N2070.3128 9002.84

表1中，η為旋轉模量，和楊氏模量一樣為材料的固

有屬性，其取值由實驗測量得到，但量級要小得多。

首先計算10 mm厚和10 mm厚懸臂微梁的動力學特性，其尺寸取值分別為(L=100 mm，b=10 mm,a=8 mm)和(L=100 μm,b=10 μm,a=8 μm)，分別將經典彈性力學和廣義彈性力學的計算結果與ANSY仿真結果對比，對比結果，如表2所示。結果表明宏觀尺寸下廣義彈性理論預測的結果與ANSYS和經典理論的預測結果一致，說明本文的算法可行，在微觀尺寸下，廣義彈性理論預測的結果與ANSYS和經典理論的預測結果有顯著變化，這與文獻[18]分析結果和文獻[23]得到的理論定性分析結果相符。

表2 宏觀和微觀兩種尺度下懸臂微梁前5階固有頻率

為準確描述固有頻率的尺寸效應，結合模態對結果進行整理。不再按照頻率的大小順序定義模態和頻率的階數，而以模態的變形模式進行定義，對比結果，如表3和表4所示。

表3 兩種理論預測10 mm厚懸臂微梁不同模態對應的固有頻率

由表3中數據對比不難發現，對于較大尺寸懸臂微梁，不論何種模態所對應的頻率，廣義彈性力學預測的固有頻率與經典彈性力學基本保持一致，微小的旋轉變形并不能影響結構的變形模式。

表4 兩種理論預測10 mm厚懸臂微梁不同模態對應的固有頻率

對于微觀尺寸懸臂微梁，廣義彈性力學得到的不同模態所對應的固有頻率相比經典彈性力學呈現出不同幅度的提高，即彎曲和扭轉模態包含了旋轉變形，所對應頻率皆有顯著提高，扭轉提高幅度較大，而拉壓模態不涉及旋轉變形，所對應頻率則基本沒有變化，表明懸臂微梁的固有頻率是否存在尺寸效應與對應的模態有關。

逐步減小尺寸，得到不同尺寸下懸臂微梁不同模態對應的固有頻率，以微梁厚b的對數作為橫坐標，廣義彈性力學相比經典彈性力學得到固有頻率的增幅為縱坐標，如圖2所示。

圖2 廣義彈性力學相比經典彈性力學預測不同尺寸下懸臂微梁的不同模態所對應頻率的增幅Fig.2 The corresponding increase amplitude of different modes of cantilever micro-beam predicted by generalized elasticity theory and classical elasticity under different size

圖2中的3條曲線分別表示一階扭轉、一階彎曲和一階拉壓模態所對應的頻率增幅隨尺寸的變化，可以看出隨著尺寸的減小，旋轉變形不斷增大，結構動力學特性的旋轉效應將逐步體現。受旋轉變形影響的彎曲和扭轉模態對應的固有頻率增幅不斷提高，而對于拉壓模態對應的固有頻率則始終沒有變化，不存在尺寸效應。

4 結 論

本文分析結果表明懸臂微梁的固有頻率是否存在尺寸效應與對應的模態密切相關。彎曲和旋轉模態由于包含了旋轉變形，其對應的固有頻率存在顯著的尺寸效應；而拉壓模態不涉及旋轉變形，其對應的固有頻率無尺寸效應。

對于一個彈性體的變形度量，不僅需要考慮應變張量，同時需要考慮描述彎曲程度的曲率張量。宏觀尺寸結構的旋轉效應基本可以忽略，隨著結構尺寸的不斷減小，變形的空間受到越來越大的約束，小尺寸結構的線元彎曲程度會越來越大，旋轉變形的效應也隨之越來越大，成為影響結構變形的重要因素。經典彈性力學由于缺失旋轉變形及其相應的本構關系，預測微小尺寸結構的力學特性低于實驗結果。廣義彈性力學考慮了連續的旋轉變形，完善了經典彈性力學，能夠有效地分析微小尺寸結構的力學特性。

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