懸臂微梁固有頻率和模態(tài)的尺寸效應(yīng)

謝新吉, 劉占芳,2,3, 杜丘美

(1.重慶大學(xué) 航空航天學(xué)院，重慶 400044； 2.重慶大學(xué) 煤礦災(zāi)害動(dòng)力學(xué)與控制國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400044；3.重慶大學(xué) 非均質(zhì)材料力學(xué)重慶市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400044)

近年來(lái)隨著半導(dǎo)體制造工藝的不斷革新，微電子機(jī)械系統(tǒng)(Micro-Electro-Mechanical System, MEMS)的不斷產(chǎn)業(yè)化，微型壓力傳感器、微型加速度計(jì)及微型陀螺儀在諸多領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用[1]。微梁(尺寸為1～100 μm量級(jí))作為MEMS器件中常用的結(jié)構(gòu)之一，其力學(xué)特性的測(cè)定一直是研究的熱點(diǎn)和重點(diǎn)。劉林仙等[2]采用ANSYS仿真分析雙T型懸臂微梁的動(dòng)力學(xué)特性，韓雷等[3]介紹了幾種微結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性的測(cè)量方法。在此之前不少實(shí)驗(yàn)表明，當(dāng)微結(jié)構(gòu)尺寸不斷減小到一定范圍，其力學(xué)特性會(huì)有顯著變化。例如，F(xiàn)leck等[4]利用不同直徑的細(xì)銅絲進(jìn)行拉伸及扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)，觀測(cè)到銅絲直徑從170 μm減小到12 μm時(shí)，其無(wú)量綱扭轉(zhuǎn)硬化提高了約3倍，而拉伸實(shí)驗(yàn)并沒(méi)有出現(xiàn)明顯尺寸效應(yīng)。Stolken等[5-7]對(duì)不同厚度的純鎳微梁進(jìn)行了彎曲實(shí)驗(yàn)，當(dāng)梁的厚度小于50 μm后，其無(wú)量綱彎曲硬化顯著增大。Lam等[8]對(duì)不同厚度的環(huán)氧樹脂微懸臂梁進(jìn)行彎曲實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)微梁厚度從115 μm減小到18 μm時(shí)，其無(wú)量綱彎曲剛度增大約2.4倍。

采用經(jīng)典彈性力學(xué)難以解釋和預(yù)測(cè)上述實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，為此研究者們先后提出了各類細(xì)觀彈塑性理論。其中比較典型的有Cosserat等[9]提出的微級(jí)彈性理論， Toupin等[10-11]提出的偶應(yīng)力理論以及Fleek等[12-13]提出的應(yīng)變梯度理論。期間還有不少相關(guān)理論提出，可參見(jiàn)文獻(xiàn)[14-15]。由于特征長(zhǎng)度參數(shù)的引入，這些理論給出的本構(gòu)關(guān)系都含有較多參數(shù)，Yang等[16]提出了修正的偶應(yīng)力理論，認(rèn)為曲率張量是對(duì)稱的，將附加的彈性參數(shù)減少為一個(gè)。Liu等[17]基于Mindlin的工作提出了另一種修正的偶應(yīng)力理論，同樣只含有一個(gè)附加的材料參數(shù)，與Yang等提出的理論不同的是，Liu等認(rèn)為偶應(yīng)力和曲率張量是無(wú)跡的非對(duì)稱二階張量，給出相應(yīng)的本構(gòu)關(guān)系。旋轉(zhuǎn)變形的引入使得該廣義彈性力學(xué)較之經(jīng)典彈性力學(xué)更加完備，有效地對(duì)微小尺寸結(jié)構(gòu)進(jìn)行靜力和動(dòng)力分析[18]。同時(shí)在剛?cè)狁詈戏治黾捌桨鍥_擊應(yīng)力波傳播也得到很好的應(yīng)用[19-20]。

基于各類細(xì)觀理論，Park等[21]建立偶應(yīng)力Bernoulli-Euler梁理論，Ma等[22]建立偶應(yīng)力Timoshenko梁理論，康新等[23]利用Cosserat理論分別研究了微梁振動(dòng)特性的尺寸效應(yīng)。然而大部分的研究者都只分析了微梁的基頻，很少結(jié)合頻率所對(duì)應(yīng)的模態(tài)做近一步分析。

本文首先介紹廣義彈性力學(xué)，從虛功原理出發(fā)建立廣義彈性體有限元?jiǎng)恿W(xué)方程，對(duì)懸臂微梁的固有頻率和模態(tài)數(shù)值分析。進(jìn)一步得到不同模態(tài)對(duì)應(yīng)頻率的尺寸效應(yīng)，分析得出結(jié)果，為MEMS結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)提供一定依據(jù)。

1 廣義彈性力學(xué)理論

考慮小變形范圍內(nèi)，用位移梯度來(lái)描述彈性體的變形。在三維笛卡爾坐標(biāo)系統(tǒng)中，彈性體任意一點(diǎn)的位移梯度是二階非對(duì)稱張量，可以分解為一個(gè)對(duì)稱張量和一個(gè)反對(duì)稱張量

ui,j=εij+Ωij

(1)

式中：εij為對(duì)稱應(yīng)變張量；Ωij為反對(duì)稱旋轉(zhuǎn)張量，可以分別表示為

(2)

旋轉(zhuǎn)張量和旋轉(zhuǎn)矢量ωi密切相關(guān)，通過(guò)置換張量∈ijk得到他們之間的關(guān)系

(3)

經(jīng)典彈性力學(xué)中只考慮了應(yīng)變張量εij描述彈性體的變形，而忽略了旋轉(zhuǎn)變形。廣義彈性力學(xué)引入曲率張量χij來(lái)描述旋轉(zhuǎn)變形

(4)

由式(4)得到曲率張量為位移的二階梯度，隨著尺寸的變小，其對(duì)彈性體的影響將不斷增加。容易證明曲率張量的跡為χii零，因此由式(4)定義的曲率張量為二階偏斜張量。

在連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的基礎(chǔ)上，得到任意微元體的動(dòng)量和動(dòng)量矩守恒方程，分別為

(5)

(6)

式中：bi和ci分別為體力和體力矩；tji和mji分別為非對(duì)稱應(yīng)力和偶應(yīng)力。非對(duì)稱應(yīng)力可以分解為對(duì)稱應(yīng)力σij和反對(duì)稱應(yīng)力τij之和

tij=σij+τij

(7)

同時(shí)由式(6)容易建立偶應(yīng)力與反對(duì)稱應(yīng)力的關(guān)系

(8)

由式(5)和式(8)可以得到含偶應(yīng)力的質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)方程

(9)

廣義彈性力學(xué)建立對(duì)應(yīng)平動(dòng)和旋轉(zhuǎn)兩種變形的本構(gòu)關(guān)系。對(duì)應(yīng)于平動(dòng)變形的本構(gòu)關(guān)系為廣義胡克定律

σij=2μεij+λεkkδij

(10)

旋轉(zhuǎn)變形對(duì)應(yīng)的本構(gòu)關(guān)系則通過(guò)虛功原理建立。在靜力平衡條件下，邊界條件分別寫為

(11)

同時(shí)考慮體力和體力距，面力和面力偶所做的虛功為

(12)

從而得到內(nèi)力虛功的變分形式

(13)

即

(14)

由式(14)可知偶應(yīng)力和曲率張量互為功共軛，同時(shí)均為二階無(wú)跡張量，他們的線性關(guān)系可以由張量函數(shù)表示為

mij=4ηχij

(15)

式中：η為旋轉(zhuǎn)模量，同楊氏模量一樣為材料的固有屬性，但其數(shù)量級(jí)要小得多。

考察一個(gè)線元，應(yīng)變張量描述了線元長(zhǎng)度的變化，實(shí)際上還有線元的三維彎曲，彎曲的程度則用曲率張量來(lái)描述。廣義彈性力學(xué)計(jì)及了連續(xù)的轉(zhuǎn)動(dòng)變形，增加了與之對(duì)應(yīng)的偶應(yīng)力以及動(dòng)量矩守恒方程等，理論更加完備。

2 廣義彈性力學(xué)的有限元方程

由式(4)可知曲率張量為位移的二階導(dǎo)數(shù)，需要滿足C1連續(xù)性要求。為降低連續(xù)性要求，在以位移為基本變量的基礎(chǔ)上，增加轉(zhuǎn)角為獨(dú)立變量，并用罰函數(shù)法引入約束條件，構(gòu)造滿足C0連續(xù)性要求的有限元方程。

對(duì)三維廣義彈性體模型采用Serendipity六面體單元進(jìn)行離散，單元內(nèi)任意一點(diǎn)的位移列陣為

(16)

由單元節(jié)點(diǎn)位移插值可得

(17)

由幾何方程可得廣義應(yīng)變矩陣為

(18)

其中，

ε=[εxxεxxεxxεxxεxxεxx]T

χ=[χxxχyyχzzχxyχyzχxzχyxχzyχzx]T

式中：B為單元內(nèi)任意點(diǎn)應(yīng)變-曲率張量向量與單元結(jié)點(diǎn)位移-轉(zhuǎn)角的關(guān)系矩陣；Lu為應(yīng)變與位移的關(guān)系矩陣；Lφ為曲率張量與轉(zhuǎn)角的關(guān)系矩陣，其表達(dá)式分別為

由本構(gòu)方程可得廣義應(yīng)力矩陣為

(19)

式中：D1為經(jīng)典彈性力學(xué)中描述應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的本構(gòu)陣；D2為描述偶應(yīng)力與曲率張量的關(guān)系矩陣：D2=4ηI9，I9為9×9的單位矩陣。

由虛功原理建立有限元方程，考慮三維廣義彈性體動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，故增加慣性項(xiàng)，虛功方程式(12)可寫為

(20)

(21)

對(duì)于罰函數(shù)項(xiàng)，基于有限元離散形式，位移和轉(zhuǎn)角的關(guān)系為

φe-ωe=Lα[ueφe]T=LαNde=Bαde

(22)

式中：Bα為罰函數(shù)項(xiàng)與結(jié)點(diǎn)位移-轉(zhuǎn)角列陣的關(guān)系矩陣；Lα為罰函數(shù)項(xiàng)與位移-轉(zhuǎn)角列陣的微分算子。

將式(17)～式(19)和式(22)代入式(21)可得廣義彈性體動(dòng)力分析的有限元方程

(23)

3 懸臂微梁不同模態(tài)對(duì)應(yīng)固有頻率的尺寸效應(yīng)

MEMS結(jié)構(gòu)本身的微小尺寸、高速旋轉(zhuǎn)及超高頻振動(dòng)響應(yīng)，決定了MEMS結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性的復(fù)雜性，為此有必要對(duì)其高階頻率和模態(tài)進(jìn)行分析。

現(xiàn)今廣泛使用的大型通用有限元分析(Finite Element Analysis, FEA)軟件，都以經(jīng)典彈性力學(xué)為基礎(chǔ)，并不適用于分析微小尺寸結(jié)構(gòu)。本文基于廣義彈性力學(xué)，建立三維有限元?jiǎng)恿W(xué)方程，使用MATLAB語(yǔ)言編制仿真程序，分析計(jì)算懸臂微梁不同模態(tài)所對(duì)應(yīng)的固有頻率。懸臂微梁的結(jié)構(gòu)尺寸如圖1所示。

采用均質(zhì)高純度鎳作為分析材料，材料屬性見(jiàn)表1所示。

圖1 懸臂微梁的幾何尺寸Fig.1 The geometry size of cantilever micro-beam

E/GPavρ/(kg·m-3)η/N2070.3128 9002.84

表1中，η為旋轉(zhuǎn)模量，和楊氏模量一樣為材料的固

有屬性，其取值由實(shí)驗(yàn)測(cè)量得到，但量級(jí)要小得多。

首先計(jì)算10 mm厚和10 mm厚懸臂微梁的動(dòng)力學(xué)特性，其尺寸取值分別為(L=100 mm，b=10 mm,a=8 mm)和(L=100 μm,b=10 μm,a=8 μm)，分別將經(jīng)典彈性力學(xué)和廣義彈性力學(xué)的計(jì)算結(jié)果與ANSY仿真結(jié)果對(duì)比，對(duì)比結(jié)果，如表2所示。結(jié)果表明宏觀尺寸下廣義彈性理論預(yù)測(cè)的結(jié)果與ANSYS和經(jīng)典理論的預(yù)測(cè)結(jié)果一致，說(shuō)明本文的算法可行，在微觀尺寸下，廣義彈性理論預(yù)測(cè)的結(jié)果與ANSYS和經(jīng)典理論的預(yù)測(cè)結(jié)果有顯著變化，這與文獻(xiàn)[18]分析結(jié)果和文獻(xiàn)[23]得到的理論定性分析結(jié)果相符。

表2 宏觀和微觀兩種尺度下懸臂微梁前5階固有頻率

為準(zhǔn)確描述固有頻率的尺寸效應(yīng)，結(jié)合模態(tài)對(duì)結(jié)果進(jìn)行整理。不再按照頻率的大小順序定義模態(tài)和頻率的階數(shù)，而以模態(tài)的變形模式進(jìn)行定義，對(duì)比結(jié)果，如表3和表4所示。

表3 兩種理論預(yù)測(cè)10 mm厚懸臂微梁不同模態(tài)對(duì)應(yīng)的固有頻率

由表3中數(shù)據(jù)對(duì)比不難發(fā)現(xiàn)，對(duì)于較大尺寸懸臂微梁，不論何種模態(tài)所對(duì)應(yīng)的頻率，廣義彈性力學(xué)預(yù)測(cè)的固有頻率與經(jīng)典彈性力學(xué)基本保持一致，微小的旋轉(zhuǎn)變形并不能影響結(jié)構(gòu)的變形模式。

表4 兩種理論預(yù)測(cè)10 mm厚懸臂微梁不同模態(tài)對(duì)應(yīng)的固有頻率

對(duì)于微觀尺寸懸臂微梁，廣義彈性力學(xué)得到的不同模態(tài)所對(duì)應(yīng)的固有頻率相比經(jīng)典彈性力學(xué)呈現(xiàn)出不同幅度的提高，即彎曲和扭轉(zhuǎn)模態(tài)包含了旋轉(zhuǎn)變形，所對(duì)應(yīng)頻率皆有顯著提高，扭轉(zhuǎn)提高幅度較大，而拉壓模態(tài)不涉及旋轉(zhuǎn)變形，所對(duì)應(yīng)頻率則基本沒(méi)有變化，表明懸臂微梁的固有頻率是否存在尺寸效應(yīng)與對(duì)應(yīng)的模態(tài)有關(guān)。

逐步減小尺寸，得到不同尺寸下懸臂微梁不同模態(tài)對(duì)應(yīng)的固有頻率，以微梁厚b的對(duì)數(shù)作為橫坐標(biāo)，廣義彈性力學(xué)相比經(jīng)典彈性力學(xué)得到固有頻率的增幅為縱坐標(biāo)，如圖2所示。

圖2 廣義彈性力學(xué)相比經(jīng)典彈性力學(xué)預(yù)測(cè)不同尺寸下懸臂微梁的不同模態(tài)所對(duì)應(yīng)頻率的增幅Fig.2 The corresponding increase amplitude of different modes of cantilever micro-beam predicted by generalized elasticity theory and classical elasticity under different size

圖2中的3條曲線分別表示一階扭轉(zhuǎn)、一階彎曲和一階拉壓模態(tài)所對(duì)應(yīng)的頻率增幅隨尺寸的變化，可以看出隨著尺寸的減小，旋轉(zhuǎn)變形不斷增大，結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性的旋轉(zhuǎn)效應(yīng)將逐步體現(xiàn)。受旋轉(zhuǎn)變形影響的彎曲和扭轉(zhuǎn)模態(tài)對(duì)應(yīng)的固有頻率增幅不斷提高，而對(duì)于拉壓模態(tài)對(duì)應(yīng)的固有頻率則始終沒(méi)有變化，不存在尺寸效應(yīng)。

4 結(jié) 論

本文分析結(jié)果表明懸臂微梁的固有頻率是否存在尺寸效應(yīng)與對(duì)應(yīng)的模態(tài)密切相關(guān)。彎曲和旋轉(zhuǎn)模態(tài)由于包含了旋轉(zhuǎn)變形，其對(duì)應(yīng)的固有頻率存在顯著的尺寸效應(yīng)；而拉壓模態(tài)不涉及旋轉(zhuǎn)變形，其對(duì)應(yīng)的固有頻率無(wú)尺寸效應(yīng)。

對(duì)于一個(gè)彈性體的變形度量，不僅需要考慮應(yīng)變張量，同時(shí)需要考慮描述彎曲程度的曲率張量。宏觀尺寸結(jié)構(gòu)的旋轉(zhuǎn)效應(yīng)基本可以忽略，隨著結(jié)構(gòu)尺寸的不斷減小，變形的空間受到越來(lái)越大的約束，小尺寸結(jié)構(gòu)的線元彎曲程度會(huì)越來(lái)越大，旋轉(zhuǎn)變形的效應(yīng)也隨之越來(lái)越大，成為影響結(jié)構(gòu)變形的重要因素。經(jīng)典彈性力學(xué)由于缺失旋轉(zhuǎn)變形及其相應(yīng)的本構(gòu)關(guān)系，預(yù)測(cè)微小尺寸結(jié)構(gòu)的力學(xué)特性低于實(shí)驗(yàn)結(jié)果。廣義彈性力學(xué)考慮了連續(xù)的旋轉(zhuǎn)變形，完善了經(jīng)典彈性力學(xué)，能夠有效地分析微小尺寸結(jié)構(gòu)的力學(xué)特性。

參 考 文 獻(xiàn)

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