一種雙曲面演示裝置的設計

洪先亮　邢金龍　李瑞敏　方猛　仝文浩

[摘 要]作為科技館基礎學科展品中不可或缺的一個種類，數(shù)學類展品一直深受觀眾的喜愛。單葉雙曲面是由與回轉(zhuǎn)軸線交叉的母線繞回轉(zhuǎn)軸線旋轉(zhuǎn)而形成的，但是觀眾對其原理難以建立形象，無法直觀地理解。本文對單葉雙曲面進行研究，利用視覺暫留現(xiàn)象設計出一套集成光、電、控制、機械的雙曲面演示裝置。該裝置能廣泛應用于科普場館常設展覽及流動科普巡展等，可有效地展示旋轉(zhuǎn)直紋面的形成原理以及常見旋轉(zhuǎn)直紋面之間的關系，對于促進觀眾理解相關數(shù)學知識，提升數(shù)學學習興趣有很大幫助。

[關鍵詞]科技館 數(shù)學類展品 單葉雙曲面

展示單葉雙曲面與母線之間關系的類似“雙曲狹縫”的展品經(jīng)常出現(xiàn)在各個科普場館常設展覽和流動科普巡展中，深受廣大觀眾的喜愛，有著非常重要的科普教育意義。該類展品歷經(jīng)靜態(tài)展示、動態(tài)展示、動靜結合展示，直至發(fā)展到動靜結合且動態(tài)部分多角度展示以及實心體雙曲狹縫隧道展示。雖然單葉雙曲面演示裝置的展示方式一直在進步，但對于數(shù)學知識相對欠缺的人群來說，現(xiàn)存的展示方式仍然無法直觀、有效地展示單葉雙曲面的形成原理，而且到目前為止，國內(nèi)外也沒有能夠動態(tài)、立體、直觀地展示單葉雙曲面形成原理的展品。于是，我們著手研究一種新的單葉雙曲面演示裝置，能夠全面、動態(tài)、可視化展示單葉雙曲面的形成原理，并應用于科普展覽，使抽象、復雜的數(shù)學知識變得通俗易懂。

一、單葉雙曲面的形成原理

曲面可以看作是一動線在空間運動的軌跡。該動線稱為母線，母線處于曲面上任一位置時，稱為素線。母線作不規(guī)則運動，形成不規(guī)則曲面；作規(guī)則運動，形成規(guī)則曲面[1]。

根據(jù)母線的形狀，可將曲面分為直線面和曲線面。凡可以由直母線運動而形成的曲面均為直線面，也稱直紋面[2]。直紋面分為旋轉(zhuǎn)直紋面和非旋轉(zhuǎn)直紋面，本文只研究旋轉(zhuǎn)直紋面。

旋轉(zhuǎn)直紋面是工程中和日常生活中最常見的一種曲面，在旋轉(zhuǎn)直紋面中，若母線與回轉(zhuǎn)軸線平行，則母線的旋轉(zhuǎn)軌跡形成圓柱面（圖1a）；若母線與回轉(zhuǎn)軸線交叉，則母線的旋轉(zhuǎn)軌跡形成單葉雙曲面（圖1b）。

二、設計需求與原則

（一）設計需求

（1）單葉雙曲面的立體形象可視化。

（2）演示過程中可連續(xù)調(diào)節(jié)單葉雙曲面的高斯曲率，使單葉雙曲面外形連續(xù)變化（由圓柱面變化為單葉雙曲面）。

（3）展示由素線組成單葉雙曲面的空間立體形象。

（二）設計原則

1.科學性原則。該裝置主要演示單葉雙曲面的生成原理和過程，應當由理論入手，即單葉雙曲面的數(shù)學概念：“由與回轉(zhuǎn)軸線交叉的母線繞回轉(zhuǎn)軸線旋轉(zhuǎn)而形成”。根據(jù)科學的數(shù)學理論，確定演示方式和結構。

2.創(chuàng)新性原則。傳統(tǒng)的演示裝置采用多媒體或簡單機械互動形式，雖能演示相應數(shù)學原理，但互動性和趣味性不足，且效果不夠直觀。因此，需要采取相應技術手段，采用更加直觀、立體、有趣的方式展示單葉雙曲面的形成過程。

3.安全穩(wěn)定性原則。該演示裝置主要用于科普展館或流動巡展等人員較多、操作較為頻繁的場合，因此需保證演示裝置的安全性和可靠性。

三、技術手段

由以上設計需求及設計原則，總結歸納出該演示裝置需解決的關鍵問題，主要有三個：如何立體地展示單葉雙曲面的形象，如何實現(xiàn)單葉雙曲面高斯曲率的連續(xù)調(diào)節(jié)，如何實現(xiàn)素線的可視化。下面將針對這三個關鍵問題提出相應的技術手段。

（一）空間立體形象可視化

人眼在觀察景物時，光信號傳入大腦神經(jīng)需經(jīng)過一段短暫的時間，光的作用結束后，視覺形象并不會立即消失，而要延續(xù)0.1～0.4秒的時間，這種現(xiàn)象稱為視覺暫留[3]。要實現(xiàn)單葉雙曲面的空間立體形象可視化，需 “留住”母線繞回轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)的軌跡，而利用“視覺暫留現(xiàn)象”即可實現(xiàn)“留住”軌跡的功能。

根據(jù)視覺暫留現(xiàn)象，人眼若要觀測到連續(xù)的空間曲面，需保證母線在0.1～0.4秒內(nèi)圍繞回轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周，即旋轉(zhuǎn)軌跡形成一個完整的單葉雙曲面。為了保證最佳效果，設定母線每0.1秒繞回轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周，則母線最佳回轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)速為600r/min。理論上不發(fā)光的母線在最佳轉(zhuǎn)速下也可呈現(xiàn)視覺暫留現(xiàn)象，但是由于發(fā)光體對于人眼的刺激更加明顯，所以采用發(fā)光母線會有更好的演示效果。

（二）高斯曲率連續(xù)調(diào)節(jié)

高斯曲率實際反映的是面的彎曲程度[4]，調(diào)整單葉雙曲面的高斯曲率，實質(zhì)就是調(diào)節(jié)單葉雙曲面剖線的彎曲程度。母線與回轉(zhuǎn)軸的交角控制著單葉雙曲面的彎曲程度，交角越大，形成的單葉雙曲面越彎曲，反之就越平滑。在交角為0狀態(tài)時，高斯曲率為0，此時母線的旋轉(zhuǎn)軌跡形成圓柱面。

在回轉(zhuǎn)軸上裝配可控制的連續(xù)轉(zhuǎn)動部件，并使轉(zhuǎn)動部件與母線相連，在母線旋轉(zhuǎn)過程中，控制轉(zhuǎn)動部件轉(zhuǎn)動，帶動與之聯(lián)接的母線，從而改變母線與回轉(zhuǎn)軸的交角，實現(xiàn)單葉雙曲面外形連續(xù)變化（圓柱面到不同曲率的單葉雙曲面）。

（三）素線可視化

母線在曲面上的任一位置稱為素線。素線的可視化，是指在演示過程中可見若干條亮線組成完整（不連續(xù)）的空間單葉雙曲面。實現(xiàn)素線可視化也需要依據(jù)視覺暫留現(xiàn)象，故實現(xiàn)此功能的條件之一是母線達到最佳轉(zhuǎn)速600r/min。

素線可視化的本質(zhì)是將立體連續(xù)的空間曲面中按一定規(guī)律摘取若干母線軌跡，并凸顯表現(xiàn)出來。實現(xiàn)此功能需要母線具備兩種狀態(tài)：顯態(tài)和非顯態(tài)。在母線旋轉(zhuǎn)過程中，控制母線按照一定頻率在顯態(tài)和非顯態(tài)之間快速切換，根據(jù)視覺暫留現(xiàn)象，若干顯態(tài)的母線軌跡會留存到人的大腦里，形成素線構成的空間曲面。

四、結構與演示流程

綜合以上研究內(nèi)容，對單葉雙曲面演示裝置進行結構設計，如圖2所示。

該演示裝置的工作流程為：主電機通過主軸帶動發(fā)光母線旋轉(zhuǎn)，常亮的發(fā)光母線的旋轉(zhuǎn)軌跡形成連續(xù)空間曲面，轉(zhuǎn)動旋轉(zhuǎn)編碼器控制蝸輪蝸桿減速電機旋轉(zhuǎn)，連續(xù)地改變發(fā)光母線與主軸間的交角，使空間曲面形狀發(fā)生變化。光電開關實時采集主電機轉(zhuǎn)速，并控制發(fā)光母線按照實時轉(zhuǎn)速頻率在顯態(tài)和非顯態(tài)之間迅速切換，形成素線演示效果，該方法比程序控制方法更加準確，素線演示效果也更加穩(wěn)定。該演示裝置效果圖如圖3所示。

五、結論

本文依據(jù)科學的理論指導，利用現(xiàn)有的技術手段確定了單葉雙曲面演示裝置的設計需求與原則、技術手段、演示結構等，解決了空間曲面立體可視化、空間曲面曲率連續(xù)可調(diào)節(jié)變化、空間曲面的素線可視化等關鍵技術問題，做到了精確控制發(fā)光母線閃爍頻率與旋轉(zhuǎn)速率相匹配，使其符合人眼的視覺暫留特性，從而在空中呈現(xiàn)出準確、穩(wěn)定的圓柱面和單葉雙曲面等造型，不但能夠展示圓柱面與單葉雙曲面之間的關系，并且可以通過控制發(fā)光母線在顯態(tài)和非顯態(tài)切換時展示回轉(zhuǎn)面是由母線圍繞軸線旋轉(zhuǎn)所形成的這一基本原理。

經(jīng)過對單葉雙曲面演示裝置的設計，本文還總結了幾點關于單葉雙曲面裝置在形體特征方面的規(guī)律：其一，在其他因素不變的前提下，發(fā)光母線與回轉(zhuǎn)軸之間的空間距離越小，旋轉(zhuǎn)形成的曲面越“瘦”，反之越“胖”；其二，在其他因素不變的前提下，發(fā)光母線的長度越長，旋轉(zhuǎn)形成的曲面相對越“高”，反之則越“矮”；其三，在其他因素不變的前提下，發(fā)光母線越細，回轉(zhuǎn)面越清晰。這些規(guī)律對于將來研發(fā)以發(fā)光母線圍繞回轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)形成的回轉(zhuǎn)面或其他形式的曲面都有參考意義。

該演示裝置能廣泛應用于科普場館常設展覽及流動科普巡展等，可以有效地展示旋轉(zhuǎn)直紋面的形成原理以及常見旋轉(zhuǎn)直紋面之間的關系，對于促進中小學生理解相關數(shù)學知識，提升其對數(shù)學學習的興趣有很大幫助，具有非常可觀的經(jīng)濟效益和社會效益。

參考文獻

[1]和丕壯，王魯寧.交通土建工程制圖[M].北京：人民交通出版社，2001.

[2]李小甌.一種空間直線面的演示裝置：201210517697.0[P].2013-04-03.

[3]馬碩.視覺暫留現(xiàn)象演示系統(tǒng)：203085022 U[P].2013-

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[4]丁一.獲得三維曲面相對大小高斯曲率的方法與實現(xiàn)[J].價值工程，2014（35）：204-205.